Sehne (Geometrie)

Kreis k mit Sehne s (rot), Kreisbögen b₁, b₂ (grün, schwarz) und Peripheriewinkeln phi (φ) und psi (ψ)

Eine Sehne einer ebenen Kurve ist eine Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kurve. Sie ist also derjenige Teil einer Sekante, der zwischen den beiden Kurvenpunkten liegt.

Sehne am Kreis

Die Sehne eines Kreises teilt den Kreis in zwei in der Regel ungleich große Kreisbögen $b_1$ und $b_2$, in denen jeweils der Peripheriewinkelsatz gilt: Alle Dreiecke mit der Sehne $\overline{AB}$ als Grundseite und einem dritten Punkt $C$ auf einem der Bögen $b_1$ oder $b_2$ haben im Scheitelpunkt $C$ gleich große Winkel $\phi$ bzw. $\psi$.

Verläuft die Sehne durch den Kreismittelpunkt $M$, so heißt sie Durchmesser. Der Peripheriewinkel ist dann ein rechter Winkel (Satz des Thales).

Für die Sehnenlänge $s$ gilt

$s=2r\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$

und wegen $2\psi =\alpha$ sowie $2\phi =360^{\circ }-\alpha$

$s=2r\sin \phi$ und

$s=2r\sin \psi$.

Historisch wurde die Sehnenlänge mit der heute nicht mehr gebräuchlichen Winkelfunktion Chord berechnet. Früher wurde das Lot der Sehne auf den Kreismittelpunkt als Apothema bezeichnet. Die Verlängerung des Lots über die Sehne hinaus auf den Kreisrand nannte man Sagitta. Die Längen von Apothema und Sagitta ergeben zusammen den Kreisradius.

Al-Battânîs (* zw. 850 und 869, † 929) war der erste, der statt geometrischer Sehnen den Sinus gebrauchte.

Siehe auch

• Sehnensatz
• Schmetterlingssatz
• Zindler-Kurve

Literatur

• Schülerduden: Mathematik I, Dudenverlag, 8. Auflage, Mannheim 2008, S. 415–418

Weblinks

Commons: Chord (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Chord. In: MathWorld (englisch).

Chord (geometry)

Common lines and line segments on a circle, including a chord in blue

vgl. https://en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry)

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In geometry, a chord (\{\{ety|la|chorda|catgut, string}}) of a circle is a straight line segment whose endpoints both lie on a circular arc. If a chord were to be extended infinitely on both directions into a line, the object is a secant line. The perpendicular line passing through the chord's midpoint is called sagitta (Latin for "arrow").

More generally, a chord is a line segment joining two points on any curve, for instance, on an ellipse. A chord that passes through a circle's center point is the circle's diameter.

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