Ellipse (Eigenschaften)

Eigenschaften

Brennpunkteigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der folgenden Eigenschaft:

Der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse wird durch die Normale in diesem Punkt halbiert.
Anwendungen

Der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet, ist gleich dem Ausfallswinkel, den die Tangente mit dem anderen Brennstrahl bildet. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.
Da alle Wege von einem zum anderen Brennpunkt (entlang zusammengehöriger Brennstrahlen) gleich lang sind, wird z. B. Schall durch konstruktive Interferenz „verstärkt“ übertragen.
Die Tangente im Ellipsenpunkt ist die Winkelhalbierende des Außenwinkels. Da Winkelhalbierenden leicht zu konstruieren sind, bietet die Brennpunkteigenschaft eine einfache Methode, die Tangente in einem Ellipsenpunkt zu konstruieren (Eine weitere Tangentenkonstruktion wird in Ellipse (Darstellende Geometrie) beschrieben.).

Zwei Ellipsen mit denselben Brennpunkten $F_{1}, F_{2}$ nennt man konfokal. Durch jeden Punkt, der nicht zwischen den Brennpunkten liegt, gibt es genau eine Ellipse mit den Brennpunkten $F_{1}, F_{2}$ . Zwei konfokale Ellipsen haben keinen Schnittpunkt (s. Definition einer Ellipse).

Beweis der Brennpunkteigenschaft

Da die Tangente senkrecht zur Normalen verläuft, ist die obige Behauptung bewiesen, wenn die analoge Aussage für die Tangente gilt:

Die Tangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen

Der Außenwinkel der Brennstrahlen

\overline{P F_{1}}, \overline{P F_{2}}

in einem Ellipsenpunkt

P

wird von der Tangente in diesem Punkt halbiert (s. Bild).

Es sei $L$ der Punkt auf der Geraden $\overline{P F_{2}}$ mit dem Abstand $2 a$ zum Brennpunkt $F_{2}$ ( $a$ ist die große Halbachse der Ellipse). Die Gerade $w$ sei die Winkelhalbierende der Außenwinkel der Brennstrahlen $\overline{P F_{1}}, \overline{P F_{2}}$ . Um nachzuweisen, dass $w$ die Tangente ist, zeigt man, dass auf $w$ kein weiterer Ellipsenpunkt liegen kann. Anhand der Zeichnung und der Dreiecksungleichung erkennt man, dass

| Q F_{2} | + | Q F_{1} | = | Q F_{2} | + | Q L | > | L F_{2} | = 2 a

gilt. Dies bedeutet, dass $| Q F_{2} | + | Q F_{1} | > 2 a$ ist. Wenn $Q$ ein Punkt der Ellipse wäre, müsste die Summe aber gleich $2 a$ sein.

Bemerkung: Ein Beweis mit Mitteln der analytischen Geometrie befindet sich im Beweisarchiv.^[1]

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik:

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich – mit den Ohren – in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Diese Art der Schallübertragung funktioniert in einigen Stationen der Pariser Métro sogar von Bahnsteig zu Bahnsteig. Das gleiche Prinzip der Schallfokussierung wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet (s. Dornier-Nierensteinzertrümmerer). Auch im lampengepumpten Nd:YAG-Laser wird ein Reflektor in Form einer Ellipse verwendet. Die Pumpquelle – entweder eine Blitzlampe oder eine Bogenlampe – wird in dem einen Brennpunkt positioniert, und der dotierte Kristall wird in den anderen Brennpunkt gelegt.

Direktrix

Für eine echte Ellipse, d. h. $e > 0$ , bezeichnet man eine Parallele zur Nebenachse im Abstand $a^{2} / e$ als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt $P$ der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix $d$ auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrizität:

| P F_{1} | : | P d_{1} | = | P F_{2} | : | P d_{2} | = ε .

Es ist

ε > 0.

Beweis:
Mit $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ sowie $e^{2} + b^{2} = a^{2}$ und den binomischen Formeln ist

| P F_{1, 2} |^{2} = (x \mp e)^{2} + y^{2} =

(x \mp e)^{2} + b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2} x^{2}}{a^{2}} \mp 2 e x + e^{2} + b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} = \frac{e^{2} x^{2}}{a^{2}} \mp 2 \frac{e x}{a} \cdot a + a^{2} = {(\frac{e x}{a} \mp \frac{e a^{2}}{a e})}^{2} =

{(\frac{e}{a})}^{2} {(x \mp \frac{a^{2}}{e})}^{2} = ε^{2} | P d_{1, 2} |^{2}

.

Die Umkehrung dieser Aussage gilt auch und kann zu einer weiteren Definition einer Ellipse benutzt werden (ähnlich wie bei einer Parabel):

Für einen Punkt

F

(Brennpunkt), eine Gerade

d

(Leitlinie) nicht durch

F

und eine reelle Zahl

ε

mit

0 < ε < 1

ist die Menge der Punkte (geometrischer Ort), für die der Quotient der Abstände zu dem Punkt

F

und der Geraden

d

gleich

ε

ist, eine Ellipse:

E = {P ∣ \frac{| P F |}{| P d |} = ε}

Die Wahl $ε = 0$ , also die Exzentrizität eines Kreises, ist in diesem Zusammenhang nicht erlaubt. Man kann als Leitlinie eines Kreises die unendlich entfernte Gerade auffassen.

Kegelschnittschar mit einem gemeinsamen Scheitel und einem gemeinsamen Halbparameter

Beweis:

Es sei $F = (f, 0), ε > 0$ und $(0, 0)$ ein Punkt der Kurve. Die Leitlinie $d$ hat die Gleichung $x = - \frac{f}{ε}$ . Mit $P = (x, y)$ und der Beziehung $| P F |^{2} = ε^{2} | P d |^{2}$ ergibt sich

(x - f)^{2} + y^{2} = ε^{2} (x + \frac{f}{ε})^{2} = (ε x + f)^{2}

und

x^{2} (ε^{2} - 1) + 2 x f (1 + ε) - y^{2} = 0.

Die Substitution $p = f (1 + ε)$ liefert

x^{2} (ε^{2} - 1) + 2 p x - y^{2} = 0.

Dies ist die Gleichung einer Ellipse ( $ε < 1$ ) oder einer Parabel ( $ε = 1$ ) oder einer Hyperbel ( $ε > 1$ ). All diese nicht-ausgearteten Kegelschnitte haben den Ursprung als Scheitel gemeinsam (s. Bild).

Für $ε < 1$ führt man neue Parameter $a = \frac{p}{1 - ε^{2}}$ und $b^{2} = a p \Rightarrow 1 - ε^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ein; die obige Gleichung wird dann zu

\frac{(x - a)^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,

was die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt $(a, 0)$ , der $x$ -Achse als Hauptachse und den Halbachsen $a, b$ ist.

Allgemeiner Fall:

Für den Brennpunkt $F = (f_{1}, f_{2})$ und die Leitlinie $u x + v y + w = 0$ erhält man die Gleichung

{(x - f_{1})}^{2} + {(y - f_{2})}^{2} = ε^{2} \cdot \frac{{(u x + v y + w)}^{2}}{u^{2} + v^{2}} .

Die rechte Seite der Gleichung benutzt die Hessesche Normalform einer Geraden, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu berechnen.

Konstruktion der Leitlinie:

Wegen $e \cdot \frac{a^{2}}{e} = a^{2}$ sind der Punkt $D_{1}$ der Leitlinie (siehe Bild) und der Brennpunkt $F_{1}$ bezüglich der Spiegelung am großen Scheitelkreis (im Bild grün) invers. Damit kann $D_{1}$ wie im Bild gezeigt aus $F_{1}$ mit Hilfe des großen Scheitelkreises konstruiert werden. Eine weitere Begründung für die Konstruktion liefert die Tatsache, dass der Brennpunkt $F_{1}$ und die Leitlinie $d_{1}$ sowohl bezüglich der Ellipse als auch bezüglich des großen Scheitelkreises ein Pol-Polare-Paar (siehe unten) bilden.

Konjugierte Durchmesser

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) $\overline{P P^{'}}$ alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser $\overline{Q Q^{'}}$ . Man nennt $\overline{Q Q^{'}}$ den zu $\overline{P P^{'}}$ konjugierten Durchmesser.^[2]
Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen. In der Zeichnung stimmt also der zu $\overline{Q Q^{'}}$ konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser $\overline{P P^{'}}$ überein.
Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers (etwa $\overline{P P^{'}}$ ) sind parallel zum konjugierten Durchmesser (im Beispiel $\overline{Q Q^{'}}$ ).
Haupt- und Nebenachse sind das einzige Paar orthogonaler konjugierter Durchmesser.
Ist die Ellipse ein Kreis, so sind genau die orthogonalen Durchmesser (auch) konjugiert.
Sind konjugierte Durchmesser nicht orthogonal, so ist das Produkt ihrer Steigungen $\frac{- b^{2}}{a^{2}}$ .
Seien $d_{1}$ , $d_{2}$ konjugierte Durchmesser. Dann ist ${(\frac{d_{1}}{2})}^{2} + {(\frac{d_{2}}{2})}^{2} = a^{2} + b^{2}$ . (Satz des Apollonius)
Für die Ellipse mit der Gleichung $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ und der Parameterdarstellung $(a \cos t, b \sin t)$ gilt:

(x_{1}, y_{1}) = (\pm a \cos t, \pm b \sin t)

( Vorzeichen: (+,+) oder (−,−) )

(x_{2}, y_{2}) = (\mp a \sin t, \pm b \cos t)

( Vorzeichen: (−,+) oder (+,−) )

liegen auf konjugierten Durchmessern und es ist

\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0 .

Im Fall eines Kreises gilt

x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0 .

Konjugierte Durchmesser (erstrangig von Ellipsen) werden auch auf einer eigenen Wikipedia-Seite behandelt, ebenso der Satz des Apollonius (samt Beweis). Ein analytischer Gesamt-Beweis sämtlicher hier aufgeführter Aussagen, der von der gemeinsamen Bilinearform zweier Ursprungsgeraden ausgeht, findet sich im Beweisarchiv. Dieser Beweis benötigt weder trigonometrische Funktionen noch Parameterdarstellungen noch eine affine Abbildung.^[3]

Eine Anwendungsmöglichkeit im Bereich des technischen Zeichnens besteht in der Möglichkeit, den höchsten Punkt einer Ellipse oder eines Ellipsenbogens beliebiger Lage über einer Linie zu finden – nützlich z. B. für korrekte 2D-Darstellungen nicht-orthogonaler Ansichten zylindrischer Körper oder abgerundeter Kanten ohne Verwendung von 3D-Programmen. Wichtig ist dies für den sauberen Anschluss tangential von der Ellipse weg laufender Linien. Hierzu sind in die Ellipse oder den Ellipsenbogen zwei Sehnen parallel zur gewünschten Tangentenrichtung und die durch die Mittelpunkte der beiden Sehnen definierte Linie des zugehörigen konjugierten Durchmessers einzuzeichnen. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Ellipse oder dem Ellipsenbogen definiert den Anschlusspunkt der Tangente (und normalerweise den Endpunkt des Ellipsenbogens).

Orthogonale Tangenten

Für die Ellipse $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Ellipse, es ist der Umkreis des Rechtecks, das die Ellipse umschreibt.

Pol-Polare-Beziehung

Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt, so kann eine beliebige Ellipse mit der Gleichung $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ beschrieben werden (s. o. Abschnitt Gleichung). Weiter ordnet für eine vorgegebene Ellipse eine Funktion $f$ je einem Punkt $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ die Gerade $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ zu. Bezüglich $f$ heißt $P_{0}$ Pol, die zugeordnete Gerade Polare. $f$ ist eine Bijektion; die inverse Funktion bildet je eine Polare auf einen Pol ab. Der Ellipsenmittelpunkt $(0, 0)$ ist in keiner so definierten Polare enthalten, entsprechend existiert zu $(0, 0)$ keine Polare. Die angegebene Gleichung der Polare lässt sich als Normalenform mit dem zugehörigen Normalenvektor $(\frac{x_{0}}{a^{2}}, \frac{y_{0}}{b^{2}})$ auffassen.

Eine solche Beziehung zwischen Punkten und Geraden, die durch einen Kegelschnitt vermittelt wird, nennt man Pol-Polare-Beziehung oder einfach Polarität. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Hyperbeln und Parabeln, siehe auch Pol und Polare.

Zu Pol und Polare gelten folgende Lagebeziehungen:

Der Brennpunkt $(e, 0)$ und die Leitlinie $x = \frac{a^{2}}{e}$ sind polar zueinander. Da beide auch polar bezüglich des Scheitelkreises $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ sind, lässt sich die Leitlinie auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruieren (siehe hierzu auch Kreisspiegelung). (1)
Genau dann, wenn der Pol außerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare zwei Punkte mit der Ellipse gemeinsam (s. Bild: $P_{2}, p_{2}$ ). (2)
Genau dann, wenn der Pol auf der Ellipse liegt, hat die Polare genau einen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (= die Polare ist eine Tangente; s. Bild: $P_{1}, p_{1}$ ). (3)
Genau dann, wenn der Pol innerhalb der Ellipse liegt, hat die Polare keinen Punkt mit der Ellipse gemeinsam (s. Bild: $F_{1}, l_{1}$ ). (4)
Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol $P$ an die Ellipse (s. Bild: $P_{2}, p_{2}$ ). (5)
Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Geraden durch die Pole. (6)

Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare; alternative Herleitung einer Tangenten- und einer Ellipsengleichung

A. Ist eine Polare parallel zur $y$ -Achse, so hat sie auch die Form $0 \neq c = x \Leftrightarrow \frac{1}{c} \cdot x + 0 \cdot y = 1$ . Mit dem zugehörigen Normalenvektor $(\frac{x_{0}}{a^{2}} = \frac{1}{c}, \frac{y_{0}}{b^{2}} = 0)$ ist der zugehörige Pol $(x_{0} = \frac{a^{2}}{c}, y_{0} = 0) .$ Insbesondere folgt für $x_{0} = \frac{a^{2}}{c} = e \Leftrightarrow c = \frac{a^{2}}{e}$ die Polarität (1) von Brennpunkt und Direktrix.

Einsetzen der betrachteten Polare in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Ordinate $y$ eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung $\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in $y$ hat bis auf einen positiven Faktor die Form

T_{1} = (\frac{a^{2}}{c^{2}} - 1 =) \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - 1

.

B. Ist eine Polare nicht parallel zur $y$ -Achse, so hat sie die Hauptform $y = m x + n$ . Wegen $n \neq 0$ lässt sich diese in die Normalenform $- m x / n + y / n = 1$ umformen. Vergleich mit der Normalenform ergibt als Darstellung Koordinaten des Pols mit den Parametern der Hauptform:

x_{0} = - \frac{m a^{2}}{n}, y_{0} = \frac{b^{2}}{n}

.

Einsetzen der Hauptform $y = m x + n$ in die Mittelpunktform einer Ellipse ergibt für die Abszisse $x$ eines beliebigen Schnittpunkts die Bedingung $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{(m x + n)^{2}}{b^{2}} = 1$ ; die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung in $x$ hat bis auf einen positiven Faktor die Form

T_{2} = (\frac{m^{2} a^{2}}{n^{2}} + \frac{b^{2}}{n^{2}} - 1 =) \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} - 1.

C. Insgesamt erlaubt der Term $T = T_{1}$ bzw. $T = T_{2}$ für eine beliebige Polare folgende Unterscheidung paarweise disjunkter Fälle:

Für $T < 0$ hat die Polare mit der Ellipse keinen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt innerhalb der Ellipse. Hieraus folgt (2).
Für $T = 0$ hat die Polare mit der Ellipse genau einen Punkt gemeinsam, und der Pol liegt auf der Ellipse. Also ist die Polare eine Tangente an die Ellipse, der Pol ihr Berührpunkt (s. Bild: $P_{1}, p_{1}$ ). Hieraus folgt (3).
Für $T > 0$ hat die Polare mit der Ellipse zwei Punkte gemeinsam, und der Pol liegt außerhalb der Ellipse. Hieraus folgt (4).

D. Ist eine Tangente nicht senkrecht, so ergibt Auflösung der Gleichung $T_{2} = 0$ nach $n$ und Einsetzen von $n$ die Hauptform der Tangente:

$y = m x \pm \sqrt{m^{2} a^{2} + b^{2}}$ ;

Einsetzen von $n$ in die Koordinaten $x_{0} = - \frac{m a^{2}}{n}, y_{0} = \frac{b^{2}}{n}$ des Berührpunkts ergibt die Koordinaten der Parameterdarstellung einer Ellipse mit der Steigung $m$ als Parameter: ${\vec{c}}_{\pm} (m) = {(- \frac{m a^{2}}{\pm \sqrt{m^{2} a^{2} + b^{2}}}, \frac{b^{2}}{\pm \sqrt{m^{2} a^{2} + b^{2}}})}^{T}, m \in ℝ$ ;

diese Parameterdarstellung erfasst die Hauptscheitel nicht.

E. Ausgehend von der im Abschnitt „Gleichung“, B. aufgeführten Bilinearform der Ellipse hat die Polare zum Punkt $P$ die Normalenformen

{\vec{p}}^{T} M \vec{x} = 1

mit dem Normalenvektor

{\vec{n}}^{T} = {\vec{p}}^{T} M

und

{\vec{x}}^{T} M \vec{p} = 1

mit dem Normalenvektor

M \vec{p} = \vec{n}

.

Ist $P$ ein Punkt der Ellipse, so beschreiben auch diese Gleichungen eine Tangente.

Diese koordinatenfreie rechnerische Darstellung der Polare eignet sich für Beweise. Mit den Koordinatendarstellungen $P (x_{0}, y_{0})$ und $X (x, y)$ sowie den im Abschnitt „Gleichung“ angegebenen Matrizenkoordinaten für $M$ entsteht durch Auswertung der Matrizenprodukte wieder die im Abschnitt Pol-Polare-Beziehung angegebene Gleichung $\frac{x_{0}}{a^{2}} x + \frac{y_{0}}{b^{2}} y = 1$ .

Beweis von (5) („Jeder gemeinsame Punkt einer Polare und einer Ellipse ist Berührpunkt einer Tangente vom zugehörigen Pol $P$ an die Ellipse.“):
Da die Ellipsenpunkte $S_{1}, S_{2}$ auf der Polare zu $P$ liegen, gilt ${\vec{s}}_{1}^{T} M \vec{p} = 1$ und ${\vec{s}}_{2}^{T} M \vec{p} = 1$ . Fasst man in diesen Gleichungen nicht $M \vec{p}$ , sondern ${\vec{s}}_{1}^{T} M$ bzw. ${\vec{s}}_{2}^{T} M$ als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass die Tangenten in den Ellipsenpunkten $S_{1}, S_{2}$ den Punkt $P$ gemeinsam haben.

Beweis von (6) („Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Gerade durch die Pole.“):
Für einen Schnittpunkt $S$ zweier Polaren zu $P_{1}$ und $P_{2}$ gilt ${\vec{s}}^{T} M {\vec{p}}_{1} = 1$ und ${\vec{s}}^{T} M {\vec{p}}_{2} = 1$ . Fasst man in diesen Gleichungen nicht $M {\vec{p}}_{1}$ bzw. $M {\vec{p}}_{2}$ , sondern ${\vec{s}}^{T} M = {\vec{n}}^{T}$ als Normalenvektor auf, so besagen sie, dass auf der Polare zu $S$ die Punkte $P_{1}$ , $P_{2}$ liegen. Weiter zeigt die Betrachtung der Parameterform $\vec{x} = {\vec{p}}_{1} + λ ({\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1})$ mit

{\vec{n}}^{T} \vec{x} = {\vec{n}}^{T} {\vec{p}}_{1} + λ ({\vec{n}}^{T} {\vec{p}}_{2} - {\vec{n}}^{T} {\vec{p}}_{1}) = 1 + λ (1 - 1) = 1 = {\vec{s}}^{T} M \vec{x}

die punktweise Gleichheit der Gerade $(P_{1} P_{2})$ mit der Polare zu $S$ .

↑ Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Satz vom Flüstergewölbe.
↑ Diese und die folgenden Aussagen finden sich in Bosch: Mathematik-Taschenbuch. Dritte Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1991, S. 227 f.).
↑ Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Konjugierte Durchmesser.

[1] Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Satz vom Flüstergewölbe.

[2] Diese und die folgenden Aussagen finden sich in Bosch: Mathematik-Taschenbuch. Dritte Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1991, S. 227 f.).

[3] Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Konjugierte Durchmesser.

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