Form (Algebra)

Die Form (engl. algebraic form) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra, der seit 1782 verwendet wird. Formen sind besondere homogene Polynome.

Definition

Eine Form ist ein Polynom in zwei oder mehreren Variablen, bei dem jeder Summand den gleichen Grad hat.

Beispiele und Spezialfälle

• Das Polynom $X^3+Y^3+Z^3+X{Y}^2+XYZ$ von Grad drei in drei Variablen ist eine Form.
• Ein Polynom in einer Variablen vom Grad eins nennt man Linearform, da diese Polynome als lineare Abbildungen aufgefasst werden können.
• Ein Polynom in zwei Variablen vom Grad eins nennt man Bilinearform. Eine Sesquilinearform, die der Bilinearform sehr ähnlich ist, kann jedoch nicht als Form im Sinne des Artikels verstanden werden.
• Ein Polynom in $n$ Variablen vom Grad eins nennt man Multilinearform. Eine besondere Klasse der Multilinearformen sind die Elemente der äußeren Algebra. Diese werden in der Differentialgeometrie zu Differentialformen verallgemeinert.
• Ein Polynom in $n$ Variablen vom Grad zwei heißt Quadratische Form. Eine besondere Klasse der quadratischen Formen sind die binären quadratischen Formen. Das sind die Polynome vom Grad zwei in zwei Variablen.

Literatur

• Form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).