Eigenzustand - Eigenwert
angelegt 27.03.2021
https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwerte_und_Eigenvektoren
Eigenzustand ist ein grundlegender Begriff der Quantenphysik. Als Eigenzustand zu einer gegebenen physikalischen Größe bezeichnet man einen Zustand eines physikalischen Systems, in dem diese Größe einen wohlbestimmten Wert hat. Nur dieser Wert kann sich als Messergebnis ergeben, wenn an einem System, das sich in dem Eigenzustand befindet, eine fehlerfreie Messung dieser Größe durchgeführt wird. Er wird auch als der Eigenwert bezeichnet, mit dem die betrachtete Größe im betrachteten Zustand vorliegt, und die physikalische Größe an sich wird in diesem Zusammenhang als Observable bezeichnet. Der Eigenzustand wird häufig durch Angabe der Observablen und ihres Eigenwerts charakterisiert, gegebenenfalls z. B. durch eine Quantenzahl, die die laufende Nummer des Eigenwerts in einer Auflistung aller möglichen Eigenwerte der Observablen ist.
Eine besondere Bedeutung haben die Eigenzustände des Hamilton-Operators, denn sie sind die Energieeigenzustände oder stationären Zustände des von diesem Hamilton-Operator beschriebenen Systems. Z. B. befindet sich ein Wasserstoffatom in seinem energetisch tiefstmöglichen Zustand, wenn es im Eigenzustand zur Energie mit der (Haupt-)Quantenzahl n=1 vorliegt.
Ein System kann (bis auf wenige Ausnahmen) verschiedene Eigenzustände derselben Observablen annehmen. Dann stehen dem System nach den Regeln der Quantenmechanik auch alle Überlagerungszustände zur Verfügung, in denen verschiedene Eigenzustände gleichzeitig vorliegen, jeder mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsamplitude. Sind nur Eigenzustände zum selben Eigenwert überlagert, so ist auch der Überlagerungszustand ein Eigenzustand derselben Observablen zum selben Eigenwert. Das Ergebnis einer Messung dieser Observablen ist daher eindeutig vorherzusagen. Sind jedoch Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerten überlagert, so kann bei einer Messung mit gewisser Wahrscheinlichkeit jeder dieser Eigenwerte als Ergebnis erscheinen.
Mit anderen Worten: anders als in der klassischen Physik haben in der Quantenmechanik nicht alle messbaren Größen in jedem Zustand einen wohlbestimmten Wert. Deshalb kann man auch nicht immer mit Sicherheit das Ergebnis einer entsprechenden (fehlerfreien) Messung vorhersagen. Hat aber eine Messgröße in einem Zustand einen wohlbestimmten Wert, dann wird der Zustand als Eigenzustand zu dieser Messgröße bezeichnet und ihr wohlbestimmter Wert als der jeweilige Eigenwert. Die Messung ergibt immer den Eigenwert und hinterlässt das System im selben Eigenzustand.
Besondere Beachtung verdienen die Observablen, zu denen es keine gemeinsamen Eigenzustände gibt. Hat man zu einer Observablen eine Messung durchgeführt, also einen ihrer Eigenwerte als Ergebnis erhalten, so befindet sich das System danach im entsprechenden Eigenzustand zu diesem Eigenwert. Wenn dieser Eigenzustand der ersten Observablen aber kein Eigenzustand der zweiten Observablen ist, ist er jedenfalls ein Überlagerungszustand ihrer Eigenzustände, und zwar mit verschiedenen Eigenwerten. Für eine Messung der zweiten Observablen ist dann das genaue Ergebnis nicht vorhersagbar, es kann jeder ihrer Eigenwerte sein, der in dieser Überlagerung vertreten ist. Darüber hinaus würde das System, wenn man nur die Reihenfolge der Messungen vertauscht, danach in einem anderen Zustand sein. Solche Observablen heißen nicht vertauschbar. Ein bekanntes Beispiel sind die zwei Observablen für Ort und Impuls eines Teilchens.
Im mathematischen Formalismus wird ein Zustand durch einen Vektor im Hilbertraum, z. B. eine Wellenfunktion, repräsentiert; ein Eigenzustand einer Observablen dementsprechend durch einen der Eigenvektoren (bzw. Eigenfunktionen) der Observablen. Die Observable wird durch einen selbstadjungierten linearen Operator dargestellt. Angewandt auf den Eigenzustand ergibt sich derselbe Eigenzustand, multipliziert mit einem skalaren Faktor. Dieser Faktor ist der Eigenwert des betreffenden Operators in diesem Zustand.
Die Überlagerung verschiedener Zustände wird durch eine Linearkombination der betreffenden Zustandsvektoren bzw. Wellenfunktionen dargestellt, wobei die Koeffizienten der einzelnen Komponenten gerade die Wahrscheinlichkeitsamplituden angeben.
Eigenwertproblem
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Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.
Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen[1] und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen, verwendet.
Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.
Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.[2]
Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man
- Eigenfrequenzen, Eigenformen und gegebenenfalls auch die Dämpfungscharakteristik eines schwingungsfähigen Systems,
- die Knicklast eines Knickstabs (siehe Balkentheorie),
- das Beulversagen (eine Art des Materialversagens durch unzureichende Steifigkeit) eines leeren Rohres unter Außendruck,
- die Hauptkomponenten einer Punktmenge (z. B. zur Kompression von Bildern oder zur Bestimmung von Faktoren in der Psychologie: Hauptkomponentenanalyse),
- die Hauptspannungen in der Festigkeitslehre (Umrechnung der Spannungen in ein Koordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt),
- die Hauptstreckungen in der Festigkeitslehre als Eigenwerte der Deformationstensoren,
- die Hauptträgheitsachsen eines asymmetrischen Querschnitts (um einen Balken – Träger oder Ähnliches – in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen),
- vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils spezifisch definierten Stabilität eines Systems zu tun haben,
- den PageRank einer Homepage als Eigenvektor der Google-Matrix, dort gewertet als ein Maß für die relative Wichtigkeit einer Homepage im Internet,
- die Grenzverteilungen von Markow-Ketten mit diskretem Zustandsraum und diskreten Zeitschritten, die durch eine stochastische Matrix beschrieben werden (die Linkseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind die stationären Verteilungen, die Rechtseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind die Absorptionswahrscheinlichkeiten),
- die Drehachse und damit die Fixpunkte, von denen der Satz vom Fußball spricht.
Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle. Physikalische Größen wie z. B. der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z. B. der Hamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann die Energie nur diskrete Werte annehmen, was z. B. für die Energieniveaus in einem Atom typisch ist. So stellen bei den Lösungen der bekannten Schrödingergleichung (im Jahr 1926 durch den Physiker Erwin Schrödinger aufgestellt) die Eigenwerte die erlaubten Energiewerte der Elektronen und die Eigenfunktionen die zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar.
Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. B. von Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert.