K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom $ℝ^{n}$ nach $ℝ$ abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf $ℝ^{n}$ verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Gegeben sei eine Funktion $f : D \to ℝ$ mit $D \subset ℝ^{n}$ und ein echter Kegel $K$ im $ℝ^{n}$ sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung $≼_{K}$ und die strikte verallgemeinerte Ungleichung $≺_{K}$ . Dann heißt die Funktion

K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle $x, y \in D$ mit $x ≼_{K} y$ gilt, dass $f (x) \leq f (y)$ ist.
K-monoton fallend, wenn für alle $x, y \in D$ mit $x ≼_{K} y$ gilt, dass $f (x) \geq f (y)$ ist.
strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle $x, y \in D, x \neq y$ mit $x ≼_{K} y$ gilt, dass $f (x) < f (y)$ ist.
strikt K-monoton fallend, wenn für alle $x, y \in D, x \neq y$ mit $x ≼_{K} y$ gilt, dass $f (x) > f (y)$ ist.
strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele

Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K = ℝ_{+} = [0, \infty)$ .
Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels $K = ℝ_{-} = (- \infty, 0]$ . Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
Sind die Funktionen $f_{i} (x_{i})$ monoton wachsend, so ist die Funktion

f (x) = f_{1} (x_{1}) + \dots + f_{n} (x_{n})

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten

ℝ^{n}

. Dies folgt direkt aus der Monotonie der

f_{i}

.

Eigenschaften

Sei $h : ℝ^{n} \supset D \to R$ differenzierbar und $D$ eine konvexe Menge sowie $K^{D}$ der duale Kegel des Kegels $K$ . Dann gilt:

$h$ ist K-monoton wachsend auf $D$ genau dann, wenn $\nabla h (x) ≽_{K^{D}} 0$ für alle $x \in D$ .
$h$ ist K-monoton fallend auf $D$ genau dann, wenn $\nabla h (x) ≼_{K^{D}} 0$ für alle $x \in D$ .
Wenn $\nabla h (x) ≻_{K^{D}} 0$ für alle $x \in D$ gilt, dann ist $h$ strikt K-monoton wachsend auf $D$ .
Wenn $\nabla h (x) ≺_{K^{D}} 0$ für alle $x \in D$ gilt, dann ist $h$ strikt K-monoton fallend auf $D$ .

Matrix-monotone Funktionen

Wählt man als Vektorraum anstelle des $ℝ^{n}$ den $S^{n}$ (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen $h : S^{n} \to ℝ$ Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen $S_{+}^{n}$ , was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante $det : S^{n} \to ℝ$ strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel $S_{+ +}^{n}$ der positiv definiten Matrizen.

Verwendung

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Literatur

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).