kanonische Vertauschungsrelation

kanonische Vertauschungsrelation

Kanonische Vertauschungsrelation

Die in der Quantenmechanik (QM) gebräuchlichen kanonischen Vertauschungsrelationen lauten:

$\begin{array}{cc}[X_i,X_j]& =0i,j\in \{1,\dots ,3\}\\ [P_i,P_j]& =0\\ [X_i,P_j]& =\mathrm{i}\hslash {\delta }_{ij}\end{array}$

Hierbei bezeichnen

• die $X$ die (hermiteschen) Ortsoperatoren (Anmerkung: im Allgemeinen werden die Operatoren in der QM mit einem „Hütchen“ versehen, dies wird hier aus Gründen der Lesbarkeit weggelassen, es gilt also z. B. für den Ortsoperator $\hat{x}=x$.),
• die $P$ die (hermiteschen) Impulsoperatoren aus der QM,
• die Klammern um die Operatoren, z. B. $[X_i,X_j]$, den Kommutator,
• $\mathrm{i}$ die Imaginäre Einheit,
• $\hslash$ die reduzierte Planck-Konstante.

Die Orts- und Impulsoperatoren unterschiedlicher Richtungen $i$ und $j$ „vertauschen“ paarweise untereinander, d. h. ihr Kommutator ist gleich Null (erste und zweite Gleichung oben). Dies heißt in der Praxis, dass diese Messgrößen (in der QM auch Observablen genannt) gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, sie sind kommensurabel.

Verschwindet der Kommutator nicht, ist er also ungleich Null, so „vertauschen“ die zugehörigen Operatoren nicht (dritte Gleichung). Die Operatoren für Ort und Impuls stellen also ein Beispiel für nicht vertauschbare bzw. inkommensurable Operatoren dar. Sie beschreiben Größen im selben Quantensystem, die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, ihre gleichzeitige Messung ist also mit einer gewissen Unschärfe behaftet. Dies führt direkt auf die Unschärferelation von Werner Heisenberg. Da der Kommutator von Orts- und Impulsoperator nicht nur ungleich Null ist, sondern als Spezialfall auch noch genau den Wert $i\hslash$ aufweist, handelt es sich um komplementäre Observablen.

Herleitung und Begründung

Da das Produkt (d. h. die Hintereinanderausführung) zweier linearer Operatoren im Allgemeinen nicht kommutativ ist (d. h. die Reihenfolge der Hintereinanderausführung nicht einfach vertauscht werden kann), wird der Kommutator (oder auch Vertauschungsrelation) zweier linearen Operatoren $A$ und $B$ wie folgt definiert:

$[A,B]=AB-BA$

Setzen wir die Operatoren für Ort und Impuls einfach in obige Gleichung ein und lassen diese auf eine Wellenfunktion $\psi (\overrightarrow{x})$ wirken, so folgt:

$\begin{array}{cc}[x,p_x]\psi (\overrightarrow{x})& =\left(x\right(-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x}\left)\right)\psi (\overrightarrow{x})-\left(\right(-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x}\left)x\right)\psi (\overrightarrow{x})\\ & =(-\mathrm{i}\hslash x\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{i}\hslash (1+x\frac{\partial }{\partial x}\left)\right)\psi (\overrightarrow{x})\\ & =\mathrm{i}\hslash \psi (\overrightarrow{x})\end{array}$

Die obige Rechnung für die Raumkomponenten $y,p_y$ und $z,p_z$ führen zum gleichen Ergebnis. Interessant hierbei ist, dass z. B.

$\begin{array}{cc}[x,p_y]\psi (\overrightarrow{x})& =\left(x\right(-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial y}\left)\right)\psi (\overrightarrow{x})-\left(\right(-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial y}\left)x\right)\psi (\overrightarrow{x})\\ & =(-\mathrm{i}\hslash x\frac{\partial }{\partial y})\psi (\overrightarrow{x})+\left(\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial y}\right)(x\psi (\overrightarrow{x}))\\ & =(-\mathrm{i}\hslash x\frac{\partial }{\partial y}+\mathrm{i}\hslash x\frac{\partial }{\partial y})\psi (\overrightarrow{x})\\ & =0\end{array}$

vertauscht. Der Beweis, dass Orts- und Impulskomponenten untereinander vertauschen, ist einfach. Insgesamt ergeben sich dann die oben benannten kanonischen Vertauschungsrelationen.

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Band 5/1: Quantenmechanik Grundlagen. Springer Verlag, 2009.
• G. Blatter: Quantenmechanik I. Script zur Vorlesung, ETH-Zürich, 2005.

Canonical commutation relation

In quantum mechanics, the canonical commutation relation is the fundamental relation between canonical conjugate quantities (quantities which are related by definition such that one is the Fourier transform of another). For example, $$[\hat{x},{\hat{p}}_x]=i\hslash 𝕀$$

between the position operator x and momentum operator p_x in the x direction of a point particle in one dimension, where [x , p_x] = x p_x − p_x x is the commutator of x and p_x , i is the imaginary unit, and ℏ is the reduced Planck constant (h/2π), and $𝕀$ is the unit operator. In finite dimensions, position and momentum are vectors of operators and their commutation relation between different components of position and momentum can be expressed as$$[{\hat{x}}_i,{\hat{p}}_j]=i\hslash {\delta }_{ij},$$ where ${\delta }_{ij}$ is the Kronecker delta.

This relation is attributed to Werner Heisenberg, Max Born and Pascual Jordan (1925), who called it a "quantum condition" serving as a postulate of the theory; it was noted by E. Kennard (1927) to imply the Heisenberg uncertainty principle. The Stone–von Neumann theorem gives a uniqueness result for operators satisfying (an exponentiated form of) the canonical commutation relation.

See also

• Canonical quantization
• CCR and CAR algebras
• Conformastatic spacetimes
• Lie derivative
• Moyal bracket
• Stone–von Neumann theorem