Gleichungen der Quantenmechanik
Gleichungen der Quantenmechanik
Gerne. Hier ist eine sachlich geordnete Liste zentraler Gleichungen der Quantenmechanik — von den Grundlagen bis zu häufig verwendeten Spezialformen.
- Verknüpft Energie () und Frequenz ().
- Grundlegend für die Quantisierung.
[
\lambda = \frac{h}{p}
]
- Ordnet einem Teilchen mit Impuls (p) eine Wellenlänge (\lambda) zu.
- Grundgleichung der Materiewellen.
[
\hbar = \frac{h}{2\pi}
]
- Tritt in fast allen quantenmechanischen Gleichungen auf.
[
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf r,t)=\hat H\Psi(\mathbf r,t)
]
- Zentrale Bewegungsgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik.
- (\hat H) ist der Hamilton-Operator.
[
\hat H \psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)
]
- Eigenwertgleichung für stationäre Zustände.
- Dient zur Bestimmung erlaubter Energien (E).
[
\hat H = \hat T + \hat V
]
Für ein Teilchen im Potential:
[
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf r)
]
- Summe aus kinetischer und potentieller Energie als Operator.
[
\rho(\mathbf r,t)=|\Psi(\mathbf r,t)|^2
]
- (|\Psi|^2) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte.
[
\int |\Psi(\mathbf r,t)|^2, d\tau = 1
]
- Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist 1.
[
\langle A\rangle = \int \Psi^* \hat A \Psi , d\tau
]
- Liefert den Mittelwert der Messgröße (A).
[
\hat A \psi = a \psi
]
- (a) ist ein möglicher Messwert der Observablen (A).
[
\hat x = x
]
- Im Ortsraum wirkt der Ortsoperator als Multiplikation.
[
\hat p = -,i\hbar \nabla
]
In einer Dimension:
[
\hat p = -,i\hbar \frac{d}{dx}
]
- Repräsentiert den Impuls als Differentialoperator.
[
[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A
]
- Misst, ob zwei Operatoren vertauschbar sind.
[
[\hat x,\hat p]=i\hbar
]
- Grundrelation der Quantenmechanik.
[
\Delta x,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
]
Ebenso allgemein:
[
\Delta A,\Delta B \ge \frac{1}{2}\left|\langle[\hat A,\hat B]\rangle\right|
]
- Setzt eine untere Grenze für gleichzeitige Bestimmbarkeit.
[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf j = 0
]
- Ausdruck der Wahrscheinlichkeitserhaltung.
[
\mathbf j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^\right)
]
- Beschreibt den Fluss der Wahrscheinlichkeit.
[
\Psi = \sum_n c_n \psi_n
]
- Zustände können linear überlagert werden.
[
\Psi_n(\mathbf r,t)=\psi_n(\mathbf r)e^{-,iE_n t/\hbar}
]
- Zeigt die zeitliche Phase eines Energieeigenzustands.
[
\sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat 1
]
- Für diskrete vollständige Orthonormalbasen.
[
\langle \psi_m | \psi_n \rangle = \delta_{mn}
]
- Zustände einer orthonormalen Basis sind paarweise orthogonal und normiert.
[
i\hbar \frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle = \hat H |\Psi(t)\rangle
]
- Dirac-Notation derselben Grundgleichung.
[
\frac{d\hat A}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A]+\frac{\partial \hat A}{\partial t}
]
- Zeitentwicklung von Operatoren im Heisenberg-Bild.
[
\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{\langle p\rangle}{m}
]
[
\frac{d}{dt}\langle p\rangle = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle
]
- Brücke zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik.
[
\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|
]
- Beschreibung reiner und gemischter Zustände.
[
i\hbar \frac{d\hat\rho}{dt}=[\hat H,\hat\rho]
]
- Zeitentwicklung der Dichtematrix.
\left[
\frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\hat{\mathbf p}-q\mathbf A\right)\right)^2
+q\phi
\right]\Psi
]
- Nichtrelativistische Gleichung für Spin-(\tfrac12)-Teilchen im elektromagnetischen Feld.
[
\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\phi=0
]
- Relativistische Wellengleichung für spinlose Teilchen.
\left(c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf p}+\beta mc^2\right)\Psi
]
- Relativistische Gleichung für Spin-(\tfrac12)-Teilchen.
- Führt natürlich zum Spin und zur Antimaterie.
[
\mathcal A \sim \int \mathcal D[x(t)], e^{iS[x(t)]/\hbar}
]
- Formulierung der Quantenmechanik über Summation über alle Wege.
[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi = E\psi
]
[
V(x)=
\begin{cases}
0 & \text{im Topf} \
\infty & \text{außerhalb}
\end{cases}
]
- Führt auf diskrete Energieeigenwerte.
[
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac12 m\omega^2 x^2
]
Energien:
[
E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right)
]
[
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}
]
Energien:
[
E_n=-\frac{13.6,\text{eV}}{n^2}
]
Wenn du nur die wichtigsten 10 suchst, wären das meist diese:
- (E=h\nu)
- (\lambda=h/p)
- (i\hbar \partial_t\Psi=\hat H\Psi)
- (\hat H\psi=E\psi)
- (|\Psi|^2)
- (\int |\Psi|^2 d\tau=1)
- (\hat p=-i\hbar\nabla)
- ([\hat x,\hat p]=i\hbar)
- (\Delta x,\Delta p \ge \hbar/2)
- (\langle A\rangle=\int \Psi^*\hat A\Psi, d\tau)
Ich kann dir daraus auch noch eine tabellarische Übersicht machen, etwa in den Formen:
„Gleichung | Bedeutung | Bereich | Beispiel“
oder eine nach Schulniveau / Studium / historischer Entwicklung geordnete Fassung.