Kepler-Poinsot-Körper
angelegt 03.04.2021 http://www.mathematische-basteleien.de/keplerpoinsot.htm
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Was sind die Kepler-Poinsot-Körper?
Es gibt neun regelmäßige Körper. Fünf sind konvex und bilden die bekannten
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Dazu kommen noch vier nichtkonvexe Körper, die Kepler-Poinsot-Körper:
 Kleines Sterndodekaeder |
 Großes Sterndodekaeder |
 Großes Dodekaeder |
 Großes Ikosaeder |
Die ersten beiden Sternkörper gehen auf Johannes Kepler zurück, die beiden anderen auf Louis Poinsot.
Auf dieser Seite werden die vier Körper der Reihe nach besprochen.
Die folgenden Bildpaare auf dieser Seite ermöglichen eine räumliche Sicht der Körper.
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Kleines Sterndodekaeder
top
Ausgangskörper ist das Pentagondodekaeder. Dieses hat 12 Seitenflächen.
Auf seine Seitenflächen werden gerade, fünfseitige Pyramiden gesetzt.
Es entsteht ein dreidimensionaler Stern mit 12 Zacken, von denen hier 11 zu sehen sind.
Durchsichtig
Man erkennt vielleicht im Zentrum das Dodekaeder.
Es gibt eine andere Sicht dieses Sterndodekaeders, durch die die Höhen der fünfseitigen Pyramiden bestimmt sind.
Die 12 Fünfecke des Pentagondodekaeders sind Teil eines fünfzackigen, ebenen Sterns. Im folgenden Bild wird ein "Pentagramm" markiert.
Es gibt 12 Pentagramme. Das sind zwei hintereinander und parallel liegende Pentagramme. Dazu kommen noch 2x5 Pentagramme, deren Spitzen vorne und hinten je eine Pyramide bilden.
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Verbindet man die Spitzen eines Pentagramms, so entsteht das regelmäßiges Fünfeck ABCDE. Die Diagonalen des Fünfecks bilden das Pentagramm. |
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Man kann auch das Pentagramm als ein regelmäßiges Fünfeck ABCDE auffassen, und zwar als ein überschlagenes Fünfeck. Dazu werden die Eckpunkte umbenannt. |
In diesem Sinne ist das Kleine Sterndodekaeder ein regelmäßiger Körper. Es wird von 12 Pentagrammen gebildet.
Neben den 12 Seitenflächen hat das Sterndodekaeder noch 30 Kanten und 12 Ecken.
Betrachtet man die gleichschenkligen Dreiecke des Pentagramms, so gibt es 60 Flächen, 90 Kanten und 32 Ecken.
Verbindet man die Spitzen der Zacken miteinander, entsteht ein Ikosaeder.
Das ist deshalb nicht weiter erstaunlich, weil das Ikosaeder der duale Körper des Pentagondodekaeders ist.
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Großes Sterndodekaeder
top
Auch für den nächsten Körper geht man von einem platonischen Körper aus, dem Ikosaeder. Es hat 20 Seitenflächen.
Auf seine Seitenflächen werden gerade, dreiseitige Pyramiden gesetzt.
Es entsteht ein dreidimensionaler Stern mit 20 Zacken, von denen hier 15 zu sehen sind.
Durchsichtig
Man erkennt vielleicht im Zentrum das Ikosaeder.
Es gibt eine andere Sicht dieses Sterndodekaeders. Wieder kann man Pentagramme finden.
Im folgenden Bild wird ein Pentagramm rot markiert.
Dann gibt es noch zehn Pentagramme, deren Spitzen vorne eine fünfzackige Krone bilden.
Schließlich gibt es noch ein zwölftes Pentagramm, das parallel zum ersten liegt. Es ist blau markiert.
Man kann im Körper also auch 12 Pentagramme ausmachen.
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Auch hier kann man die Pentagramme als regelmäßige, überschlagene Fünfecke ABCDE auffassen. |
In diesem Sinne ist auch das Große Sterndodekaeder ein regelmäßiger Körper aus 12 Pentagrammen.
Neben den 12 Seitenflächen hat es noch 30 Kanten und 20 Ecken.
Verbindet man die Spitzen der Zacken miteinander, entsteht ein Pentagondodekaeder.
Das ist deshalb nicht weiter erstaunlich, weil das Pentagondodekaeders der duale Körper des Ikosaeder ist.
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Großes Dodekaeder
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Dieser Körper wurde in Puzzler-Kreisen populär als Alexander's Star. Er ist ein Puzzle aus der Rubik's Cube-Familie. |
Das ist eine Ansicht des großen Dodekaeders.
Es hat die Grundform eines Ikosaeders, dessen Dreiecke Vertiefungen in Form von flachen Dreieckspyramiden haben.
Hier ist eine Pyramide eingezeichnet.
Mit allen Vertiefungen erkennt man ein Fünfeck mit einem erhabenen Stern aus fünf Rippen.
Das Augenmerk soll auf die Fünfecke gerichtet werden, auf denen die Sterne sitzen.
Es gibt 12 Fünfecke.
Dazu muss man wissen, dass ein Ikosaeder auch ein Antiprisma ist. Zu je zwei gegenüberliegenden Ecken gibt es immer zwei Fünfecke als Grundfläche von Fünfeckspyramiden. Da das Ikosaeder sechs Paare gegenüberliegender Ecken hat, kommt man auf insgesamt 12 Fünfecke.
Diese Fünfecke sind regelmäßig und durchdringen sich. Sie bilden das konkave Große Dodekaeder.
Neben den 12 Seitenflächen hat es noch 30 Kanten und 12 Ecken.
Betrachtet man die gleichschenkligen Dreiecke, so gibt es 60 Flächen, 90 Kanten und 32 Ecken.
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Großes Ikosaeder
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Das ist eine Ansicht dieses Körpers.
Er hat die Grundform des Kleinen Sterndodekaeders, des ersten Körpers auf dieser Seite. Hier ist er noch einmal.
Die äußeren Dreiecke erhalten Vertiefungen in Form von flachen Dreieckspyramiden.
Hier ist eine Pyramide eingezeichnet.
Mit allen Vertiefungen erkennt man, dass ein Zacken in Form einer fünfseitigen Pyramide durch einen erhabenen Stern aus fünf Rippen ersetzt wird.
Das Augenmerk soll auf gleichseitige Dreiecke im Körper gerichtet werden. Dazu dreht man den Körper.
(1,2) Man dreht ihn so, dass ein Dreieck ungefähr parallel zur Zeichenebene liegt (rot).
(3) Auf dem Dreieck liegen drei Rippen (blau).
(4) In der Mitte liegen drei Zacken aus Rippen (grün). Sie liegen so, dass die Spitzen ein (fast) gleichseitiges Dreieck bilden.
(5) Zentral liegen sechs Rippen (grau).
Es ist jetzt möglich, die Dreiecke zu zählen:
Sechs Dreiecke bilden die (grauen) Rippen. Die grünen Flächen kennzeichnen drei weitere Dreiecke. Dann gibt es noch das rote Dreieck. Das macht zusammen zehn.
Hinter dem roten Dreieck liegen zehn weitere.
Es gibt somit insgesamt 20 Dreiecke, die sich durchdringen.
Ikosaeder heißt Zwanzigflächner. So kommt es zum Namen Großes Ikosaeder.
Neben den 20 Seitenflächen hat es noch 30 Kanten und 12 Ecken.
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Zusammenfassung
Kleines Sterndodekaeder |
Großes Sterndodekaeder |
Großes Dodekaeder |
Großes Ikosaeder |
Die ersten drei Körper sind Dodekaeder (Zwölfflächner), der vierte ist ein Ikosaeder (Zwanzigflächner).
Sie sind kugelförmig, und an jeder Ecke treffen sie in gleicher Weise aufeinander. So erfüllen sie die Bedingungen eines regelmäßigen Körpers. Es gibt nur 5+4 Körper dieser Art.
Die regelmäßigen Vielecke erkennt man gut in den folgenden farbigen Bildern des Programms Small Stella.
Vom Programm aus kann man die Körper mit der Maus auch noch drehen.
 12 Pentagramme |
 12 Pentagramme |
 12 regelmäßige Fünfecke |
 20 gleichseitige Dreiecke |
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Kepler-Poinsot-Körper im Internet
Deutsch
H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
,
Holger Ullmann (TETRAKTYS)
Wikipedia
Englisch
H.B.Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
,
Herman SERRAS
The four regular non-convex polyhedra
Eric.W.Weisstein
,
,
,
,
,
Fortran friends
George W. Hart
G. Korthals Altes
Paper Small Stellated Dodecahedron
Robert Webb
,
,
Stella Users' Polyhedron Models
Wikipedia
,
,
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List of Wenninger polyhedron models
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Referenzen
top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 89 ff.)
URL meiner Homepage:
© 2008 Jürgen Köller