Werk:Über die Dekade und die in ihr enthaltenen Zahlen

Anmerkung: Die Schrift von Anatolios mit dem Titel Über die Dekade und die Zahlen in ihr (Περὶ δεκάδος καὶ τῶν ἐντὸς αὐτῆς ἀριθμῶν / Peri dekados kai ton entos autes arithmon) ist selbst nicht vollständig als eigenständiges Werk im Original erhalten. Was wir von Anatolios wissen, stammt zum großen Teil aus Exzerpten, die andere Autoren (wie eben der Kompilator der Theologoumena oder später byzantinische Gelehrte) zitiert haben.

Verloren ist eine Einführung in die Geometrie (Geōmetrikḗ eisagōgḗ), die Nikomachos in seiner Einführung in die Arithmetik erwähnt

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Über diese Seite Werk

Gründet auf dem Werk „Περὶ δεκάδος καὶ τῶν ἐντὸς αὐτῆς ἀριθμῶν“ Anatolios von Laodicea
250 n. Chr. hrsg.  
Abschrift

unüberarbeitet
ungeprüft

Περὶ δεκάδος καὶ τῶν ἐντὸς αὐτῆς ἀριθμῶν

= Über die Dekade und die in ihr enthaltenen Zahlen.

= On the Decad

= Περὶ δεκάδος

= De decada et de numeris.

Biographische Nachweise setzen Anatolios noch 262 n. Chr. in Alexandria und seine Erhebung zum Bischof von Laodikeia 268 n. Chr.; gestorben ist er 283 n. Chr.

Anatolios von Laodikeia, Περὶ δεκάδος καὶ τῶν ἐντὸς αὐτῆς ἀριθμῶν / De decada et de numeris — Mitte 3. Jh. n. Chr. (wohl ca. 250–268, vor 283).

ANATOLIUS SURLES DIX PREMIERS NOMBRES

Le petit traité publié ci-dessous nous est conservé dans le cod. Monac. gr. 384 (fol. 57v-59^r), écrit sur papier oriental au xv^e siècle par plusieurs mains, très négligemment; j'ai cherché en vain d'autres manuscrits. George Valla en a eu un, qui lui a servi pour la traduction latine, sans nom d'au-teur et mêlée d'interpolations d e son cru, qu'il a insérée dans son œuvre monstrueux : De expetendis el fugiendis rebus, livre III^e, chap. 10 à 20 (v. Jahrbuecher fuer class. Philologie, Supplementband, XII, p. 399 et suiv.). Dans la collection pythagorique des Theologumena arithmeticae (p. p . Ast, Lipsiae, 1817) on trouve des extraits d e notre opuscule, qui présentent généralement un texte meilleur, mais raccourci; partant, il n'est pas inutile de publier le traité complet; je signale spécialement le fragment d'Héraclite, p . 36, 4 et suiv.

Sur l'auteur, professeur d e philosophie aristotélique à Alexandrie a u m e siècle, voir P. Tannery, La géométrie grecque, p . 42.

Pour la matière, il y a des ressemblances avec Théon de • Smyrne, p. 100 et suiv. (éd. Hiller), p. ex. :

p. 33, ult. – 34, 4 = Théon p. 101, 14-19

p. 34, 16 – 24 = Théon p. 102, 5-16

p. 36, 3 en rem. = Théon p. 103, 16-18

p. 39,13 – 15 = Théon p. 106, 7-10.

Mais elles semblent plutôt provenir d'une source commune que d'un emprunt direct;

ср. р. 29, 12-15 à Théon p . 100, 1-2,

p. 29, 16 Théon p. 100, 3

p. 31, 3 Théon p. 100, 11-12

p. 31, 8 Théon p . 100, 18-20

p. 431, 9 Théon p. 100, 17

p. 35, 6-8 Théon p. 103, 2-5

p . 35, 8-12" Théon P. 103, 6-14.

Les nolices de Théon, p. 104, 14-19 sont dispersées dans Anatolius comme suit : p . 36, 14, 11-13, 23-24, et dans le passage d'Hérophilus il y a une variante remarquable (κα' Anatolius, κη' Théon).

Les passages de Solon et d'Hippocrate, p . 37, se trouvent aussi réunis chez Philon De opif. mundi; 104-5; mais l à aussi les variantes font l'hypothèse d'une source commune plus vraisemblable que celle d'un emprunt.

Dans les notes critiques, je m e suis servi des notations suivantes:

M = cod. Monac. gr. 384

V = George Valla, De exp. et fug. reb.

Theol. arithm. ou Theol. = Theologumena arithmelicae ed. Ast.

Seite 29 - 41

Ἀνατολίου περὶ δεκάδος καὶ τῶν ἐντὸς αὐτῆς ἀριθμῶν

…

…

Les Theologumena ont dépouillé notre traité d'une manière assez inégale. Souvent ils ont pris presque tout àpeu près liltéralement et avec le titre Ἀνατολίου (Theolog. p. 14, 22-35 ; p . 63, 23-64, 27). Seulement la fin de l'extrait n'est pas toujours signalée; du chap. 2 'Avaroliou περὶ δυὰδος n'appartient réellement à Anatolius que p . 7, 30-8, 5, du ch. 6 περὶ έξἀδος Ἀνατολίου seulement p . 33, 1-22, du ch. 8 'Avaroliou rien que p. 55, 34-56, 71. L'extrait sur nombre 7 (p. 41, 29-42, 27) est assez complet excepté le passage de Solon qui a été omis. Deux fois les extraits d'Anatolius, du reste assez fidéles, n'ont pas de titre spécial, mais sontintroduits par ὅτι Ἀνατολίου … 𝜑ησι (p. 6, 20-7, 16) ou ὤς 𝜑ησιν ό Ἀνατολίος (p. 23, 15-24, 10). D'autre part le nom d'Anatolius a été quelquetois omis, bien que son traité ait fourni les matériaux et même les mols; c'est ainsi que nous pouvons lui restituer maintenant Theolog., p. 24, 13-34 et p . 58, 21-27.

Copenhague, le 2 mai 1900.

J. L. HEIBERG.

TRADUCTION

ANATOLIUS

SUR LA DÉCADE E T LES NOMBRES QU'ELLE COMPREND

La nature de la décade et des nombres qu'elle comprend, présente mille beautés évidentes pour ceux dont l'intellect perspicace est capable d'une telle contemplation. Nous en dirons autant qu'il sera possible sur chacun de ces nombres ; pour le moment et comme préambule, il suffit de remarquer que les Pythagoriens ont ramené tous les nombres à dix et qu'au-dessus de dix il n'y a plus de nombre nouveau, puisque, quelle que soil l'augmentation, dès qu'une dizaine est complétée, nous revenons à l'unité; d'autre part, ils honoraient singulièrement le quaternaire, parce que c'est lui qui constitue la décade [1 + 2 + 3 +4=10].

Sur l'unité.

L'unité est antérieure à tout nombre; tous naissent d'elle, elle-même ne naît d'aucun. Aussi est-elle appelée Semence, étant la matière des nombres, — car sans elle il n'y a plus de nombre, — indivisible, intransitive, ne sortant point de sa propre nature, même dans les multiplications; et même, sinon en acte, aumoins en puissance, à la fois impaire, paire, pairement impaire, cube, carré, et tout le reste. Elle désigne le point.

Les Pythagoriens l'ont appelée intellect et l'ont assimilée à l'Un, au Dieu intelligible, inengendré, Beau et Bien en soi ; d'autre parl, s'ils avaient surtout en vue la l'hronésis de l'Un, ils la comparaient en toutes choses à cette vertu, – car ce qui est droit et ne peut être contredit est un ; – de même ils y voyaient l'essence, la cause, le vrai, le simple, l'exemplaire, l'ordre, la symphonie; dans la série du plus grand et du petit, l'eegal; dans celle de la distance, le milieu; dans celle de la quotié, le mesuré; dans celle de l'antérieur et du postérieur en temps; l'instant présent. Ils ont encore imaginé de l'appelar Un récepteur (?), Nef, Char, Ami, Vie, Félicité. Ils ont dit aussi qu'au milieu des quatre éléments s e trouve un cube unitaire enflammé, dont la situation centrale a été sciemment indiquée par Homére (Iliade, VIII, 16):

« Autant au-dessous de l'Hadès que le ciel est au-dessus de la terre. »

A cet égard la doctrine pythagoricienne paraît avoir inspiré Empédocle, Parménide, et même, peut-on dire, la plupart des sages d'autrefois, alors qu'ils disaient que la nature unitaire occupe la place centrale, comme le foyer (l'Hestia), et que par suite de l'équilibre, elle garde son siège. Et d e fait, EurIpIDe, comme disciple d'Anaxagore, parle ainsi de la Terre :

«Mais les sages parmi les mortels pensent que tu es l'Hestia. »

Les Pythagoriens disent encore que leur maître, considérant les nombres qui forment un triangle rectangle, a reconnu comment o n peut les composer aumoyen de l'unité.

$[{\left(\frac{a^2-1}{2}\right)}^2+(a{)}^2={\left(\frac{a^2-1}{2}\right)}^2]$

Sur le binaire.

C'est à deux que commencent les nombres; le premier accroissement à partir de l'unité, le premier changement donne le binaire oule doublement. C'est le premier terme de la série des nombres pairs; par addition, il équivaut à son propre carré; car en ajoutant le binaire à lui-même, ou en le multipliant par lui-même, on obtient le même résultat, tandis que, pour les autres nombres, l a multiplication donne plus que l'addition. Le binaire désigne la ligne, qui vient après le point; il est en analogie avec la matière et tout ce qui est sensible. On l'a assimilé, dans la série des Vertus, à la Force, — car il a déjà fait un pas, — aussi l'a-t-on appelé encore Audace et Ardeur. D'autre part, on lui a donné le nom d'Opinion, parce que l'opinion comprend le vrai et le faux; et encore les suivants : Mouvement, Génération, Transformation, Division, Longueur, Augmentation, Communauté, Relatif, Rapport de proportion.

Sur le ternaire.

Le ternaire provient de l'addition de l'unité au binaire; c'est le premier nombre impair. Quelques-uns l'appellent parfait, parce qu'il est le premier qui signife le tot, commencement, milieu et fin. Nous L'employons pour mettre en relief ce qui est extraordinaire, comme quand nous disons trois fois heureux; les prières et les libations se répètent trois fois. Le ternaire désigne, en premier lieu, commencement. milieu et fin, puis la surface, qui vient après le point et la ligne; c'est l'image du plan et la première hypostase dans les triangles, [3 = 1 + 2 est le premier nombre triangle effectif, 1 n'étant triangle qu'idéalement] dont il y a d'ailleurs trois genres, équilatéral, isoscèle, scalène. Il y a de même trois sortes d'angles rectilignes : le droit, l'aigu, l'obtus; trois parties du temps : le présent, le passé, l'avenir.

Nous assimilons le ternaire, parmi les vertus, à la Tempérance, car elle est la juste mesure entre l'excès et le défaut. Le lernaire résulte du binaire plus l'unité, ou inversement. En l'ajoutant à la somme de l'unité et du binaire, on a 6 , qui est proprement le premier nombre parfait.

Sur le quaternaire.

Le quaternaire est appelé Justice, parce que le carré qui en provient a une aire égale à son périmètre, tandis que, pour les nombres qui précèdent, le périmètre du carré est supérieur à Taire, et que pour ceux qui suivent, le périmètre est inférieur à Taire. Il est d'ailleurs le premier carré, tant pour tous les nombres que pour les pairs en particulier. C'est la première tétractys, puisque la somme des termes consécutifs de 1 à 4 fait 10, qui est dit nombre parfait. C'est le premier nombre qui désigne la nature du solide  ; car on a d'abord le point, puis la ligne, puis la surface, puis le solide, c'està-dire le corps. On le voit dans le jeu qui consiste à construire des pyramides avec des noix.

Il y a quatre éléments, quatre saisons qui divisent Tannée en quatre parties égales. D'autre part, 4 est le premier nombre pairement pair, le premier qui soit à un autre dans le rapport d'un tiers en sus et fournisse la première consonance, celle de quarte. Il présente [comme carré] une égalité, complète, entre la valeur de Taire, le nombre des angles, celui des côtés. II y a quatre climats [directions], le levant, le couchant, le septentrion, le midi; quatre points [astrologiques], celui du levant, celui du couchant, celui du méridien, celui du milieu du ciel  ; quatre vents principaux. De plus, l'univers comprend l'intelligible et le sensible : l'intelligible est objet, d'un côté, de la science, de Tautre, de la dialectique, tandis que le sensible est objet soit de la croyance, soit de la conjecture, ce qui fait 4.

D'autres disent que l'univers est ordonné selon quatre principes, l'essence, la figure, l'espèce, la raison. Ce n'est pas au reste avec le corps seul, que, parmi les nombres, le quaternaire a du rapport; il en a également avec l'âme; car, ainsi qu'on le dit, le rôle de Tâme dans Têtre vivant est semblable à celui de Tharmonie dans le monde; or la parfaite harmonie consiste en trois consonances, la quarte dans le rapport d'un tiers en sus, la quinte dans le rapport de moitié en sus, l'octave dans le rapport double; dès lors, les quatre premiers nombres, 1, 2, 3, 4, comprennent l'idée de Tâme sous le rapport harmonique; car 4 est double de 2, et 2 est double de 1, ce qui correspond à la consonance d'octave; 3 est égal à 2 plus sa moitié, ce qui fait la consonance de quinte; 4 est égal à 3 plus son tiers, ce qui fait la consonance de quarte. Si donc dans le nombre 4 est représenté le tout que forment Tâme et le corps, il est également vrai qu'il achève l'accomplissement de toutes les consonances.

Sur te quinaire.

Le nombre 5 est le premier à renfermer les deux espèces, à savoir le premier pair et le premier impair  ; car si l'unité est impaire, elle n'est pas nombre. Ainsi 5 provient en longueur, c'est-àdire par addition, des premiers pair et impair, mâle et femelle; aussi lui donne-t-on cette dernière dénomination. En l'ajoutant à lui-même, on obtient 10, tandis que pour les autres nombres, 1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 4 + 6 = 10, les termes sont inégaux et ont 5 pour moyen. Si on élève 5 au carré, il reste conservé à la fin du nombre formé, 3 X 5 = 25. Si on passe au cube, le carré est conservé en entier et le nombre finit toujours par 5  ; en effet 5 x 25 = 125.

Il y a cinq figures solides ayant tous leurs côtés égaux et tous leurs angles égaux  : le tétraèdre ou pyramide, l'octaèdre, l'icosaèdre, le cube, le dodécaèdre; ce sont, d'après P/a/on, les formes respectives du feu, de l'air, de Teau, de la terre et de Tunivers. En dehors du soleil et de la lune, il y a cinq planètes; les cercles parallèles bien connus sur la sphère sont aussi au nombre de cinq, l'équateur, les deux tropiques, le cercle arctique et Tantarctique. Il y a cinq zones, deux glaciales, deux tempérées, une torride. Il y a cinq sens.

Le carré de 5 est le premier qui soit égal à la somme dé deux carrés, celui de 3 et celui de 4. Un tétrachorde est regardé comme dérivé du premier nombre pair et du premier impair , d'après quoi la consonance est géométriquement assimilée à 5. Comme ce nombre provient d'ailleurs de Taddilion de 2 et de 3, on Ta appelé mariage. Enfin de quelque façon qu'on forme 10 par addition, on trouve 5 comme moyen arithmétique des deux termes; 9 et 1, 8 et 2, 7 et 3, 6 et 4; fais la somme de chaque couple, tu auras 10 et tu trouveras 5 comme moyen arithmétique, ce que montre bien la figure.

1	4	7
2	5	8
3	6	9

Sur le sénaire.

Le nombre 6 est le premier parfait; car il est égal à la somme de ses parties aliquotes; 1 + 2 + 3 = 6, et une fois 6 fait 6; deux fois trois font 6; trois fois 2 font 6. Il est ainsi le premier qui soit composé d'une moitié, d'un tiers et d'un sixième. Si on l'élève au carré, il se retrouve en finale  : 6 X 6 = 36; de même si on passe au cube, mais alors le carré ne se retrouve plus  : 6 x 36 = 216. Ce dernier nombre finit bien par 6, mais non par 36. Le sénaire provient par puissance ou multiplication du premier pair et du premier impair, des premiers mâle et femelle  ; aussi a-t-il été appelé Mâle-femelle, Mariage, Pairement impair. Le nom de Mariage lui vient proprement de ce qu'il est égal, ainsi qu'on Ta vu, à la somme de ses parties, et de ce que l'œuvre du mariage est de produire des enfants semblables aux parents. C'est sur le sénaire que se forme d'abord une médiété harmonique, — en prenant après 6, 8 dans le rapport d'un tiers en sus, et 12 dans le rapport double, car 8, comparé aux extrêmes, surpasse l'un et est surpassé par l'autre d'une même fraction de l'extrême  ;$[8-6=\frac{6}{3}et12-8=\frac{12}{3}]$

— et que peut se former en même temps une médiété arithmétique, — en prenant après 6, 9 dans le rapport de moitié en sus, et 12 dans le rapport double; car 9 comparé aux extrêmes, surpasse l'un et est surpassé par l'autre du même nombre, 3 De plus les parties aliquotes de 6, à savoir 1,2, 3, forment la première proportion arithmétique dont il est la somme. Il est le terme moyen d'une proportion géométrique, si l'on prend comme extrêmes, d'une part sa moitié 3, de Taulre, son double 12. Les dimensions des corps sont au nombre de 6. Enfin on obtient 10 en ajoutant à 6 le premier carré 4.

Sur le septénaire.

Le nombre 7 est le seul qui à la fois n'en engendre aucun autre de la décade et n'est engendré par aucun, sauf l'unité  ; c'est pourquoi les Pythagoriens l'appellent Vierge sans mère , et en effet des autres nombres de la décade, 4 est engendré par 2 et, avec 2, engendre 8; 6 n'engendre pas, mais est engendré par 3; enfin 3 et 5 sont générateurs,, 3 de 6 et de 9, 5 de 10. L'addition des sept termes consécutifs de 1 à 7 donne le nombre parfait 28, égal à la somme de ses parties aliquotes. Il y a 28 jours de la lune formant des semaines complètes. La suite de sept termes en rapport double à partir de l'unité aboutit à 64 qui est le premier nombre à la fois carré et cube  : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. La suite de sept termes en rapport triple aboutit de même à un nombre à la fois carré et cube, 729, carré de 27, et cube de 9. — 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729. Si on continue ces progressions, le septième terme aura toujours la même propriété; ainsi, dans la progression double, le septième terme à partir dé 64[inclus]sera le cube de 16. Composé des trois dimensions et des quatre limites, le septénaire désigne le corps et l'organique ; les limites sont le point, la ligne, la surface, l'épaisseur ; les dimensions  : longueur, largeur, hauteur. On considère 7 comme le nombre de la première consonance, celle de quarte, 4/3, et aussi de la première proportion géométrique, 1,2, 4. On le nomme encore Télesphoros [accomplissement]; car les enfants, nés à 7 mois, sont viables. Dans les maladies, la semaine est critique. Dans le triangle rectangle prototype, 7 est la somme des deux côtés de l'angle droit, 4 et 3. Il y a sept planètes et sept phases de la lune, deux croissants, deux quartiers, deux convexes, et la pleine lune. L'Ourse a sept étoiles.

Héraclite  : Le septénaire contribue au compte des saisons et des temps de la lune; il se distribue dans les Ourses, ces inoubliables constellations.

La Pléiade a sept étoiles. Les équinoxes sont au septième mois l'un de l'autre, de même les solstices. Si l'on met à part, dans Tâme, la partie souveraine, il y en a sept autres, correspondant aux cinq sens, à la voix et à la gênération. Dans le corps, il y a sept parties intégrantes  : la tête, le cou, le tronc, les deux jambes, et les deux bras; — sept viscères  : l'estomac, le cœur, le poumon, le foie, la rate, les deux reins.

Hérophile dit que l'intestin de Thomme mesure 21 coudées, ce qui fait trois septénaires.

La tête a sept ouvertures  : les deux yeux, les deux oreilles, les deux narines et la bouche. Nous voyons sept choses :1e corps, la distance, la figure, la grandeur, la couleur, le mouvement et le repos. La voix a sept formes  : aiguë, grave, circonflexe, aspirée rude, aspirée douce, longue, brève. Il y a sept mouvements  : en haut, en bas, en avant, en arrière, à droite, à gauche, en cercle. Il y a sept voyelles  : α, ε, η, ι, ο, υ, ω. Il y a sept cordes à la lyre. Terpandre a dit de la lyre  :

«  Mais nous, dédaigneux du chant sur quatre sons, nous ferons retentir des hymnes nouveaux sur la phorminx à sept tons.  »

Platon, dans le Timée, compose Tâme de sept nombres. Dans les détroits, le courant change d'ordinaire sept fois par jour.

Tout aime le nombre sept. De la naissance à la vieillesse il y a sept âges  : enfant, éphèbe, adolescent, jeune homme, homme fait, homme mûr, vieillard  ; et de sept ans en sept ans, nous passons de Tenfance à Téphébie, puis à Tadolescence et aux âges suivants.

Voici à ce sujet les vers de Solon  :

«  De Tenfant impubère, encore sans raison, le cercle des dents pousse et tombe une première fois en sept ans. Lorsque le soleil a accompli les sept années suivantes, apparaissent les signes de la puberté. Au troisième septenaire, quand le corps a grandi, le menton se couvre d'un duvet, fleur de la peau renouvelée. Au quatrième, chacun atteint le plus haut degré de la force, par laquelle les hommes obtiennent les témoignages de la valeur. Au o cinquième, il est temps pour Thomme de songer au mariage et de chercher à laisser des enfants après lui. Au sixième, Tesprit de Thomme atteint en tout sa maturite, et il ne veut plus faire d'actes maladroits. Au septième et au huitième, pendant quatorze ans, avec la puissance de Tesprit, éclate aussi en plus le talent de la parole. Au neuvième, la capacité subsiste, mais la langue et la. sagesse ne suffisent plus pour les grandes œuvres. Quant au dixième, celui qui en atteint le terme, n'aura pas succombé à une mort survenue avant l'heure.  »

Hippocrate  : Il y a sept saisons, que nous appelons âges  : petit enfant, enfant, adolescent, jeune homme, homme fait, homme mûr, vieillard. Petit enfant jusqu'à la chute des premières dents à sept ans; enfant jusqu'à la production de la semence, à deux fois sept; adolescent jusqu'à l'apparition de la barbe à trois fois sept  ; jeune homme jusqu'au complet développement du corps, à quatre fois sept: homme fait jusqu'à quarante-neuf ans, sept fois sept; homme mûr jusqu'à cinquante-six ans, huit fois sept; et au delà, vieillard.

Sur l'octonaire,

Huit est le premier cube; on l'appelle Solidité et Fondement. Sa racine est le premier pair. Il est la somme de 1 + 3 + 4. La somme des huit premiers nombres en partant de l'unité fait 36, nombre de jours pendant lesquels prennent forme, dit-on, les embryons des enfants qui naissent à sept mois. La sphère qui renferme l'univers est la huitième, d'où le proverbe  : Huit est tout. Eratosthéne dit que les huit sphères du monde tournent autour de la

terre  ; voici comment il s'exprime  :

«  Tous ces huit sont entre eux harmoniquement adaptés et les huit sphères de l'univers tournent circulairement autour de la neuvième, la terre.  »

Sur le novénaire.

Neuf est le premier carré du premier impair, comme 4 lest du premier pair. Les neuf premiers nombres à partir de l'unité donnent comme somme 45  ; c'est le nombre de jours nécessaire, dit-on, pour que prennent forme les embryons des enfants qui naissent à neuf mois. La terre est la neuvième sphère autour de laquelle tournent les huit autres. Le novénaire est aussi appelé Télesphoros, comme amenant à viabilité les enfants qui naissent à neuf mois  ; — Parfait, en tant que provenant du parfait 3, répété trois fois.

Homère [Iliade, VII, 161]  : «  Ils se levèrent neuf en tout.  »

On dit encore que 9 = 4 + 3 + 2, renferme les rapports de consonance; celui de tiers en sus, 4 à 3; de moitié en sus, 3 à 2  ; de double, 4 à 2. Enfin 9 est le premier nombre qui, par rapport à un autre, soit d'un huitième en sus.

Sur la décade.

Dix est engendré, par multiplication, d'un pair et d'un impair; car 5x 2 = 10. C'est le cercle et la limite de tout nombre, car c'est à lui que nous tournons et revenons en arrière, comme à la borne les coureurs qui doublent le stade. Il est en effet la limite 'pour l'indétermination des nombres; car nous comptons depuis l'unité jusqu'à dix, puis nous disons  : dix et un, dix et deux, etc. Quant à vingt, double de dix, il est formé par addition en répétant deux fois les termes dont dix est formé; car si 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 20 est la somme de deux fois 1, deux fois 2, deux fois 3, deux fois 4; et de même pour les dizaines suivantes. La décade est surnommée Force et Toute-Parfaite, parce qu'elle limite tout nombre et qu'elle renferme à son intérieur toute nature, pair-impair, muable-immuable, bonmauvais. On l'appelle aussi Dékhas parce qu'elle reçoit tout. 10 = 4 + 6; mais 10 est aussi la somme des nombres du premier quaternaire, 1 4-2 4-3 4-4. Enfin 10 engendre le nombre 55 qui joint des propriétés remarquables. 1° Il est formé par la somme de quatre nombres en progression par rapport double — 1 + 2 = 4 + 8, ce qui fait 15, — et de quatre en progression par rapport triple, 1 + 3 + 9 + 27 = 40. — La somme [15 + 40] donne en effet 55. Ces nombres sont ceux dont parle Platon dans le Timée au début de la psychogonie  : «  Du tout une partie etc.  » — 2° Le nombre 55 est la somme de la décade, comme 385 est la somme de la décade par puissance  ; si en effet on multiplie par eux-mêmes les nombres de 1 à 10, et que l'on fasse la somme, on aura le nombre précité 385, qui est d'ailleurs égal à sept fois 55. — 3° 55 est nombre triangle . — 4° Si tu fais le compte [suivant la numération grecque] de la valeur des lettres pour ἔν (un), tu trouveras par addition 55. — 5° Le fécond senaire, multiplié par luimême, donne comme puissance 36, qui a sept parties aliquotes, engendrées comme suit  : 2 X 18, 3 X 12, 4 X 9, 6 X 6, 9 X 4, 12 x 3, 18 X 2  ; la somme de ces sept parties fait 55. — 6° 55 est la somme de cinq nombres triangles consécutifs, 3 + 6 + 10 + 15 + 21. Il est aussi la somme de cinq carrés consécutifs, 1 + 4 + 9 + 16 + 25. Or, suivant Platon, la genèse de l'univers dérive du triangle et du carré, le triangle équilaléral formant trois des solides réguliers, la pyramide, Toctaèdre Ticosaèdre, qui sont les formes du feu, de Tair et de Teau, tandis que du carré provient le cube, forme de la terre.

OBSERVATION

Dans le numéro 1 de la Revue de philosophie (Paris, Carré et Naud), paru le 1^er décembre 1900, j'ai résumé en deux pages, sous le titre Un nouveau fragment d'Héraclile pp. 48-50), la communication verbale que j'ai faite au Congrès d'Histoire des Sciences, en présentant la contribution que nous offrait le célèbre mathématicien helléniste de Copenhague. Cette note a eu la bonne fortune de remplir son but, en suscitant, de la part de l'illustre philologue Gomperz une communication à l'Académie de Vienne, du 6 mars 1901, insérée dans l'Anzeiger für philosophisch-historischen Classe. Il a proposé de corriger comme suit le texte d'Héraclite  : Κατὰ λόλον δὲ ώρέων συμϐάλλεται έϐδομάς < και ὲς τὰ > κατὰ σελήνην, διαιρεῑται δὲ κατὰ τὰς ᾰρκτου, ὰθανάτου μνήμης σημείω (au duel), et il a traduit :

« Gleichwie in Ansehung des Jahreszeiten (?) erweist die Siebenzahl ihre Wirksamkeit auch in Rûcksicht der Wandlungen der Mondes  ; sie theilt ihre Macht aber in Betreff der Sternbilder der Baren, diesen zwei Merkzeichen von unverganglichem Gedâchtnis. »

Je me suis inspiré ci-dessus de cette traduction  ; si d'ailleurs M. Gomperz, tout en remarquant que Técrit pseudo-hippocratique Περὶ ὲϐδομάδων contient une division de l'année en sept saisons, éprouve quelque scrupule à admettre que le fragment d'Heraclite vise cette division certainement peu répandue, il semble loisible, en se référant aux citations de Solon et du Pseudo-Hippocrate par Anatolius, d'interpréter (bpécov par saisons ou âges de la vie de l'homme.

D'autre part, j'avais écrit, dans la note précitée, que le texte retrouvé par Heiberg devait être attribué à l'Anatolius chrétien qui vécut dans la seconde moitié du m® siècle de notre ère «  et non pas à l'Anatolius païen qui fut maître «  de Jamblique et auquel on a quelquefois pensé  ». M. Gomperz, par une discussion très serrée, a démontré que [cet Anatolius païen est un personnage inventé mal à propos et que c'est du chrétien, qui, avant 278 de notre ère, occupait à Alexandrie la chaire officielle de philosophie aristotélique, que Jamblique a suivi les leçons. Si, et je m'en confesse, je n'ai pas cru, dans les quelques lignesque je rédigeais pour appeler l'attention sur un texte aussi curieux qu'obscur, rompre en visière, sur une question incidente, avec une opinion consacrée, il me sera peut-être permis de constater qu'en 1887, dans mon ouvrage La Géométrie grecque (Paris, Gauthier-Villars, p. 42) auquel je renvoyais, j'avais déjà mis en avant la thèse développée par M. Gomperz; les arguments qu'il a fait valoir me paraissent trancher définitivement la question, soulevée au reste, dès le xvii° siècle, par Valois.

J'ajouterai quelques nouvelles remarques; dans l'ouvrage de Théon de Smyrne, je suis désormais convaincu que les chapitres relatifs aux nombres de la décade sont étrangers au plan de l'écrivain platonicien et qu'ils représentent une interpolation byzantine. Mais s'il en est ainsi, il n'est plus guère possible de faire remonter avant l'ère chrétienne, comme j'y étais porté, la source commune où ont puisé Anatolius et l'auteur des chapitres en question de Théon de Smyrne. Je suis donc conduit à voir cette source commune dans les Theologumena de Nicomaque (fin du I^er siècle de notre ère), aujourd'hui perdus, mais qu'au IX° siècle, Photius pouvait lire encore. Qu'Anatolius ait extrait de ce fatras un sommaire ad usum chrislianorum, que plus tard quelque littérateur byzantin ait fait le même travail avec un peu moins de scrupule pour l'introduction des noms des divinités classiques, qu'enfin Jamblique ou quelqu'un de ses disciples, pour les Theologumena que nous avons, ait compilé à la fois l'ouvrage original de Nicomaque et l'extrait condensé rédigé par Analolius, ce ne sont là, il est vrai que des conjectures, mais je ne vois aucun indice qui puisse me conduire à les écarter.

Je crois hors de propos de développer ici plus longuement l'opinion que j'émets  ; quant à l'essai de traduction que j'ai tenté, j'ai à peine besoin d'ajouter que j'ai voulu faire œuvre non de philologue, mais simplement de vulgarisateur pour un genre d'écrits dont la connaissance est limitée à un cercle d'érudits très restreint. Les hellénistes reconnaîtront sans peine sur quels points et dans quel sens certaines corrections me semblent devoir s'imposer; mais ce ne sera qu'ailleurs que je reviendrai, à l'occasion, sur un texte en très mauvais état, qu'il ne faut par suite manier qu'avec la prudence consommée dont M. Heiberg nous a donné, après tant d'autres exemples, un nouveau modèle.

Paul Tannery

NOTE

SUR L'HISTOIRE DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS CUBIQUES

On sait que Tartaglia, et avant lui Ferro et Fiore, ont possédé une formule empirique pour résoudre l'équation cubique, et que c'est Cardano qui en a le premier donné Ja démonstration. Mais il serait intéressant de pouvoir signaler la série des tâtonnements qui ont conduit ces géomètres à trouver un résultat si remarquable, lequel ne peut manquer d'avoir sa source dans les connaissances mathématiques des anciens.

Les géomètres grecs savaient déjà que certains problèmes du troisième degré pouvaient se réduire à celui des deux moyennes proportionnelles. Viète énonça cette propriété pour toutes les questions du même genre, mais Sédillot a fait savoir qu'un auteur arabe, que Woepcke a démontré être Alkhayyami, avait mis à profit la même propriété pour résoudre, au moyen d'une construction géométrique, la plus simple des équations cubiques trinômes. Je crois que cette solution était connue des Italiens de la Renaissance, et qu'elle fut le point de départ de leurs recherches.

Pour suivre plus aisément le fil des raisonnements, j'emploierai tout d abord nos notations algébriques modernes.

Soient deux moyennes proportionnelles à insérer entre deux quantités

$\sqrt{P}$ et $\frac{q}{p}-x$

et x et y ces inconnues.

Les trois premiers termes de la progression nous donnent

$x^2=y\sqrt{P}$,

et les trois derniers

$x^2=\frac{q}{P}x-x^2$

d'où Téliminalion dey produit Téquation cubique

$x^3+px=q$

La première de ces équations représente une parabole, la deuxième un cercle, et leur intersection nous donne la racine de Téquation troisième, comme dit Tauteur arabe.

En réfléchissant sur cette solution, les Italiens auront aperçu le rôle important que Tabscisse du cercle devait jouer dans la formule désirée. La double valeur de celte abscisse, donnée par la deuxième des équations ci-dessus, est

$\frac{q\pm \sqrt{q^2-4p^2{y}^2}}{2p}$

et il s'agissait seulement de faire des combinaisons avec ces valeurs pour trouver celle de y qui conviendrait à la solution.

Parmi la foule des combinaisons essayées, on ne pouvait pas oublier les racines cubiques de Tune et de l'autre des deux abscisses. Une racine cubique ne peut être appliquée qu'à une quantité de trois dimensions, et par conséquent il fallait multiplier Texpression de ces abscisses par un carré.

Le plus simple de tous était le même coeflBcient p, de sorte qu'on est parvenu à Thypothèse

$x{=}^3\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-p^2{y}^2}}{+}^3\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-p^2{y}^2}}$.

La substitution de cette expression dans Téquation proposée donne la condition

$3{}^3\sqrt{p^2{y}^2}=-p$ ou $y^2=\frac{-p}{27}$,

donc

$x{=}^3\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}{+}^3\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$,

qui est la formule empirique dont la démonstration fut trouvée par Cardano.

Sans doute il a fallu un grand effort d'esprit et une dépense de patience énorme pour parvenir à ce résultat, mais nous savons que les anciens mathématiciens ne se rebutaient par aucun travail, si pénible qu'il fût, et qu'ils surmontaient de grandes difficultés à force de persévérance et d'opiniâtreté.

Toutefois, je pense qu'on ne peut méconnaître le rapport qu'il y a entre la solution algébrique primitive et la solution géométrique des Arabes, qui serait le point de transition des anciennes aux nouvelles méthodes.

Madrid, le 13 juillet i900.

Eduardo Saavedra,

Président du Conseil des Ponts et chaussées, Membre de l'Académie des Sciences.

OBSERVATIONS DU PRESIDENT

La recherche de Tordre d'idées qui a conduit à une découverte mathématique constitue un problème tout à fait indéterminé, lorsque l'inventeur n*a pas donné des indications suilisantes pour le résoudre (ce qui est le cas en ce qui concerne les formules de Cardan). II est vrai que Ton peut se proposer (ce qui est, en tout état de cause, un exercice intéressant) de trouver la voie la plus simple pour arriver à la découverte, en ne supposant que les connaissances possédées par Tinventeur. Cependant, même ainsi posé, le problème est moins bien défini qu'il ne parait à première vue  ; la détermination réelle de ce que connaissait et de ce qu'ignorait l'inventeur avant sa découverte, peut, en effet, laisser place historiquement à de graves incertitudes; d*autre part, la simplicité d'une déduction mathématique, la facilité avec laquelle elle peut se présenter à l'esprit, ou encore son élégance, sont des caractères qui ne peuvent être Tobjet que d'appréciations subjectives, c'est-à-dire variables suivant l'appréciateur, et cela dans une mesure assez large.

D'après ces remarques, j'ai à peine besoin d'ajouter que je n'attache aucune signification proprement historique à l'ordre d'idées, conduisant aux formules de Cardan, que je vais opposer à celui qu'indique M. Saavedra.

Je remarque tout d abord qu'il est bien difficile de confirmer l'hypothèse que les travaux d'Omar Alkhayami aient été connus en Italie au xvi° siècle. Non seulement il n'existe aucune traduction médiévale de son Algèbre, mais les trois seuls manuscrits que Ton en possède en Europe n'y ont pas été importés d'Orient avant le xvii^e siècle. On peut dire la même chose pour les précurseurs d' Alkhayami, comme Alkouhi, dont Woepcke a également traduit des extraits. Si enfin la méthode géométrique des Arabes se rattache essentiellement, comme Zeuthen l'a si bien fait voir, à des procédés qui remontent à Archimède, il est bien certain aussi qu'à l'époque de Scipione del Kerro et de Tartaglia, les écrits de l'immortel Syracusain étaient trop peu connus en Italie pour avoir pu y amorcer la recherche de la solution de Téquation cubique.

Au contraire, il existait dès lors à Venise un manuscrit de Diophante sur lequel Regiomontanus, en 1464, avait appelé l'attention, qu'il s'était même proposé de traduire, et dont en tous cas plusieurs copies ont été tirées au commencement du xvi^e siècle. Sans supposer la connaissance ou l'étude approfondie de cet auteur, on peut bien croire que quelques problèmes simples y avaient été remarqués et avaient suscité quelques autres questions semblables. Ainsi les deux problèmes de Diophante (IV, 1 et 2)  : «  Trouver deux nombres dont on connaît la somme (ou la différence) et la somme (différence) de leurs cubes  » pouvaient naturellement provoquer les suivants  : «  Trouver deux nombres dont on connaît le produit et la somme (différence) de leurs cubes  ». Ce problème se résout d'ailleurs immédiatement par une équation du second degré, si l'on prend pour inconnues les cubes des deux nombres, puisqu 'alors il s'agit de trouver deux inconnues dont on connaît la somme (différence) et le produit (cube du produit donné).

Mais supposons que Scipione del Ferro, avant d'obtenir cette solution, ait, dans un premier tâtonnement, pris comme inconnue la somme des deux nombres cherchés, pour en déduire ensuite, suivant une règle connue, les deux nombres dont le produit lui était donné. Soit p ce produit et soit 2q la somme des cubes. Le cube de la somme est égal à la somme des cubes, c'est-à-dire 2q, plus trois fois la somme inconnue multipliée par le produit p. Le voilà donc en présence d'une équation cubique sans second terme

x³ = 3 px + 2q,

et il aura la solution algébrique de cette équation dès qu'il sera parvenu au calcul très simple des deux parties de la somme x.

Or il est très remarquable que ce soit en réalité sous cette forme que Tartaglia ait fait connaître à Cardan la solution de l'équation cubique. Voici la traduction des vers qui se rapportent au cas où elle a la forme ci-dessus  :

«  Tu diviseras le terme indépendant (2q) en deux parties telles que leur produit fasse exactement le cube du tiers du coefficient de x. Puis tu prendras les racines cubiques de ces parties, et en ajoutant ces racines, tu obtiendras le nombre cherché.  »

Autrement dit, soient u et v les racines cubiques, on aura x = u + v après avoir résolu le problème défini par les équations  :

u³ + v³ = 2q, u³ v³ = p³ ou uv = p.

La forme de l'énoncé de ce problème, dans les vers de Tartaglia, semble même calquée sur le modèle diophantéen  : «  Partager un nombre donné en deux nombres dont etc.  »

Peut-être l'un de vous, Messieurs, trouvera-t-il que d'aprèsces remarques la solution de Tartaglia contient une indication suffisante de la voie d'invention. Mais en ce qui me concerne, je crois, comme je l'ai dit, devoir laisser comme indécise la question au point de vue historique, et reconnaître sinon la probabilité, au moins la possibilité d'une découverte effectuée dans le sens exposé par M. Saavedra.

Paul TANNERY.