Werk:Dedomena/XVIII.
Ist eine von drei Größen um eine angegebene Größen größer als die Größen, die zu den beiden anderen Größen in einem angegebenen Verhältnis stehen, dann stehen die beiden anderen Größen entweder im gegebenen Verhältnis oder eine der Größen steht als größere Größe zur anderen in einem Verhältnis, das gegeben ist.
Wenn von den drei Größen AB, CD, EF eine von ihnen, CD um gegebene Größen größer ist als die Größen, die zu AB, EF in einem gegebenen Verhältnis stehen, dann, sage ich, steht AB zu EF entweder im gegebenen Verhältnis oder eine der Größen steht als größere Größe zur anderen in einem Verhältnis, das gegeben ist.
Denn ist die Größe CD um eine gegebene Größe größer als die Größe, die zu AB im gegebenen Verhältnis steht, dann kann diese Größe weggenommen werden; es sei diese Größe CG.
Damit ist das Verhältnis der restlichen Größe GD zu AB das gegebene Verhältnis.
Da CG gegeben ist, kann das dem gegebenen gleiche Verhältnis CG zu AH gefunden werden, das somit gegeben ist.
Damit ist die Größe AH gegeben. Es ist damit das Verhältnis der zusammengesetzten Größe CD zu HB gegeben.
Ist nun die Größe CD um eine gegebene Größe größer als die Größe, die zu EF im gegebenen Verhältnis steht, dann kann diese Größe weggenommen werden; es sei diese Größe CK. Damit steht die restliche Größe KD zu EF im gegebenen Verhältnis. Da CK gegeben ist, kann das dem gegebenen gleiche Verhältnis CK zu LE gefunden werden, das somit gegeben ist. Damit ist die Größe LE gegeben.
Ist das Verhältnis der Größen CD zu HB gegeben, ist das Verhältnis HB zur zusammengesetzten Größe LF gegeben.
Sind die Größen HA, LE gegeben, dann stehen deshalb die Größen AB, EF entweder im gegebenen Verhältnis oder eine der Größen steht als größere Größe zur anderen in einem Verhältnis, das gegeben ist.