Werk:Dedomena/XLVIII.
Das Verhältnis zweier Dreiecke, die über der selben Strecke errichtet und deren Konfigurationen angegeben sind, ist gegeben.
Wenn über der Strecke AB die Dreiecke ABC, ADB errichtet und ihre Konfigurationen gegeben sind, dann, sage ich, ist das Verhältnis ABC zu ADB gegeben.
Es sind durch die Punkte C, D die zu AB parallelen ECG, FDH zu legen und in den Punkten A, B die zu AB senkrechten Strecken AE, GB zu ziehen und bis F, H zu verlängern.
Da die Konfiguration des Dreiecks ABC und damit das Verhältnis CA zu BA und der Winkel CAB gegeben ist, ist bei gegebenem Winkel EAB der ergänzende Winkel EAC gegeben. Mit dem gegebenem Winkel AEC ist damit der ergänzende Winkel ECA und deshalb die Konfiguration des Dreiecks AEC gegeben.
Damit ist das Verhältnis EA zu AC und, da das Verhältnis CA zu AB gegeben ist, auch das Verhältnis EA zu AB gegeben. Aus den gleichen Gründen ist das Verhältnis FA zu AB gegeben.
Also ist das Verhältnis EA zu FA gegeben. Wie AE zu AF verhält sich das Parallelogramm AG zum Parallelogramm HA.
Ist das Verhältnis AG zu HA gegeben, ist deshalb, da das Dreieck ABC die Hälfte des Parallelogramms AG und da das Dreieck ADB die Hälfte des Parallelogramms AH ist, das Verhältnis des Dreiecks ABC zum Dreieck ADB gegeben.