Werk:Dedomena/LXV.
In einem spitzwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Seite, die dem gegebenen spitzen Winkel gegenüber liegt, kleiner als die Quadrate über den Seiten, die den spitzen Winkel einschließen, zusammen und der Unterschied steht zum Dreieck in einem Verhältnis, das gegeben ist.
Wenn im spitzwinkligen Dreieck ABC mit dem gegebenen spitzen Winkel ABC auf der Seite BC die Senkrechte AD durch den Punkt A errichtet wird, dann, sage ich, ist das Verhältnis des Unterschieds, um den das Quadrat über AC kleiner ist als die Quadrate über AB, BC zusammen, zum Dreieck ABC gegeben.
Denn, da sowohl der Winkel ABD wie auch der Winkel ADB gegeben ist, ist der ergänzende Winkel BAD gegeben. Damit ist die Konfiguration des Dreiecks ABD und somit das Verhältnis BD zu DA gegeben.
Auch das ihm gleiche Verhältnis des Rechtecks aus CB mit BD zum Rechteck aus CB mit DA ist gegeben. Also ist auch das Verhältnis des doppelten Rechtecks aus CB mit BD zum Rechteck aus CB mit AD gegeben.
Da das Verhältnis des Rechtecks aus BC mit AD zum Dreieck ABC gegeben ist, ist deshalb auch das Verhältnis des doppelten Rechtecks aus CB mit BD zum Dreieck ABC gegeben.
Das Quadrat über AC ist um das doppelte Rechteck aus CB mit BD kleiner als die Quadrate über AB, BC zusammen [wie Stoicheia II.13.]. Deshalb ist das Verhältnis des Unterschieds, um den das Quadrat über AC kleiner ist als die Quadrate über AB, BC zusammen, zum Dreieck ABC gegeben.