Werk:Dedomena/LXXIII.
Steht von zwei Parallelogrammen mit gleichen oder ungleichen gegebenen Winkeln eine Seite des einen zu einer Seite des anderen Parallelogramms im gleichen Verhältnis wie die andere Seite des anderen Parallelogramms zu einer Strecke, deren Verhältnis zur anderen Seite des einen Parallelogramms angegeben ist, dann ist das Verhältnis der beiden Parallelogramme gegeben.
Wenn zu den beiden Parallelogrammen AB, EG mit gleichen oder ungleichen gegebenen Winkeln an C, F, wobei die Seite CB zu FG im gleichen Verhältnis steht wie die Seite EF zu CK, das Verhältnis AC zu CK gegeben ist, dann, sage ich, ist das Verhältnis des Parallelogramms AB zum Parallelogramm EG gegeben.
Denn wenn das Parallelogramm AB dem Parallelogramm EG gleichwinklig ist und über BC das dem Parallelogramm EG gleiche Parallelogramm CH so errichtet wird, dass AC und KC auf einer Geraden liegen, dann liegen auch DB und HB auf einer Geraden.
Da die Parallelogramme CH, EG gleich und gleichwinklig sind und ihre Seiten deshalb im umgekehrten Verhältnis stehen [wie Stoicheia VI.14.], verhält sich CB zu FG wie EF zu CK.
Wie CB zu FG verhält sich EF zu einer Strecke, zu der AC im gegebenen Verhältnis AC zu CK steht. Damit ist das Verhältnis AB zu CH und deshalb das Verhältnis AB zu EG gegeben. Sind die Parallelogramme nun nicht gleichwinklig, ist über CB im Punkt C der dem Winkel EFG gleiche Winkel BCL anzulegen und das Parallelogramm CM zu vervollständigen.
Da dann die Winkel ACB, LCB gegeben sind, ist der Winkel ACL gegeben.
Der Winkel CAL ist gegeben, womit auch der Winkel CLA und damit die Konfiguration des Dreiecks ACL gegeben ist. Damit ist das Verhältnis AC zu CL gegeben. Es verhält sich CB zu FG wie EF zu einer Strecke, zu der AC im gegebenen Verhältnis steht.
Da das Verhältnis AC zu CL gegeben ist, verhält sich CB zu FG wie FE zu CL. Da der Winkel BCL gleich EFG ist, ist somit das Verhältnis des Parallelogramms CM zu EG gegeben.
Das Parallelogramm CM ist gleich CD, also ist das Verhältnis des Parallelogramms CD zu EG gegeben.