sphärische Trigonometrie

sphärisch-e Trigonometrie

Die sphärische Trigonometrie ist ein Teilgebiet der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie). Sie befasst sich hauptsächlich mit der Berechnung von Seitenlängen und Winkeln in Kugeldreiecken, welche auch als sphärische Dreiecke bezeichnet werden.

Wichtige Anwendungsbereiche sind:

• Entfernungs-, Richtungs- und Flächenberechnungen auf der Erdoberfläche aus gegebenen geografischen Koordinaten in der Geodäsie
• Ermittlung der momentanen Position eines Gestirns an der gedachten Himmelskugel mit Hilfe des nautischen Dreiecks
• Bestimmung genauer Sternörter und Bezugssysteme in der Astrometrie
• Verebnung und Näherungsmethoden für Berechnungen auf dem Erdellipsoid.

Historischer Hintergrund

Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie sie nicht lösen. Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 vor Christus dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, diese wurde zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen.

Die älteste Schrift über Sphärik stammt aus dieser Zeit: Sie enthält Sätze über Kugelkreise; ihr Autor ist der Grieche Autolykos von Pitane. Hipparch von Nicäa fand um 140 v. Chr. sowohl rechnerische als auch grafische Methoden, um Sternkarten anzulegen und neue Berechnungen durchzuführen. Menelaos von Alexandria fand dann 98 v. Chr. den Satz über die Winkelsumme im Kugeldreieck und übertrug erstmals Formeln des ebenen Dreiecks auf Kugeldreiecke.

Ptolemäus von Alexandria fand zwischen 125 und 150 n. Chr. die Methoden zur Berechnung rechtwinkliger und schiefwinkliger Dreiecke. Aus Indien stammen die ersten Ansätze zum Kosinussatz. Aufbauend auf den indischen und griechischen Forschungen entwickelten arabische Mathematiker die sphärische Trigonometrie fort, erwähnenswert sind Al-Battani (um 900 n. Chr.) und Nasir Eddin Tusi (um 1250 n. Chr.), die zum ersten Mal den Sinussatz und das Polardreieck in mathematische Überlegungen miteinbezogen. Zur Zeit der großen Entdeckungsreisen im 15. Jahrhundert wurden die Forschungen in sphärischer Trigonometrie wieder forciert, da die Ortsbestimmung auf See verbessert werden sollte, unter anderem bei der Schaffung neuer Seewege nach Indien. Johannes Müller erweiterte das Wissen aus der griechischen, indischen und arabischen Zeit mit der Tangensfunktion und dem Seitenkosinussatz.

Vieta fand im 16. Jahrhundert über das Polardreieck den Winkelkosinussatz. John Napier (Neper, 1550–1617) brachte die trigonometrischen Sätze in leichter anwendbare Formen (z. B. die Neper-Regel). Leonhard Euler (1707–1783) fasste schließlich die Sätze der sphärischen Trigonometrie in der heutigen, übersichtlichen Form zusammen.

Außer Euler haben zahlreiche andere Mathematiker die Sphärik weiter ausgebaut und viele neue Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Kugeldreiecks aufgestellt, darunter Simon L’Huilier (1750–1840), Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749–1822), Carl Friedrich Gauß (1777–1855), Adrien-Marie Legendre (1752–1833) und David Hilbert (1862–1943).

Durch weitere mathematische Entwicklungen wie den Logarithmus wurden viele neue Methoden und Anwendungen der Kugelgeometrie entdeckt, beispielsweise in der Landesvermessung und der Kartografie. Im 19. und 20. Jahrhundert wurden weitere Nichteuklidische Geometrien entwickelt und die sphärische Trigonometrie fand auch ihre Anwendung in der Relativitätstheorie.