sphärischer Exzess

sphärisch-er Exzess

Innenwinkelsumme und sphärischer Exzess

Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt nach obiger Betrachtung für den Flächeninhalt:

$A_D=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Die Summe $\alpha +\beta +\gamma -\pi$ wird als sphärischer Exzess (von lat. excedere „überschreiten“) bezeichnet und gibt an, um wie viel die Innenwinkelsumme den Wert $\pi$ ($=180^{\circ }$) übersteigt. Im Gegensatz zum euklidischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck nicht konstant $\pi$. Für sie gilt (als Konsequenz der Formel für den Flächeninhalt) im allgemeinen Kugeldreieck:

$\pi <\alpha +\beta +\gamma <5\pi$

im eulerschen Kugeldreieck:

$\pi <\alpha +\beta +\gamma <3\pi$

Bei einem kleinen Kugeldreieck („klein“ im Vergleich zur gesamten Kugeloberfläche) übersteigt die Innenwinkelsumme $\pi$ nur wenig, da sich das Dreieck dem ebenen Fall des Innen-Winkelsummensatzes annähert (Verebnung). Der Satz von Legendre besagt, wie sphärische Dreiecke geringer Größe durch Reduktion der Winkel verebnet werden können. Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (3 Winkel zu fast $\pi$), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als $3\pi$ und der Exzess daher beinahe $2\pi$.