Quelltext der Seite Goldener Schnitt/Anwendung in Technik und Mathematik

=== Rechteck mit einbeschriebenem Dreieck ===
[[Datei:Goldener Schnitt Dreieck im Rechteck.svg|mini|hochkant=1.2|Goldener Schnitt im Rechteck mit einbeschriebenem Dreieck]]

{{Zitat
 |Text=Man beschreibe in ein gegebenes Rechteck ein Dreieck (das mit dem Rechteck eine Ecke gemeinsam hat) so ein, daß die drei dabei entstehenden Dreiecke die gleiche Fläche haben.
 |Autor=A. Beutelspacher, B. Petri
 |Quelle=Der Goldene Schnitt
 |ref=<ref name="A.Beutelspacher" />}}
'''Hinweis''': In gewisser Analogie zur [[Quadratur des Quadrates]] verwendet [[Heinrich Hemme]] den Begriff der ''Triangulation des Rechtecks''.<ref>Heinrich Hemme: ''Triangulation des Rechtecks''. [[Spektrum.de]] vom 6. November 2016, abgerufen am 20. Dezember 2024</ref>

Die Flächengleichheit bedeutet, dass <math>\frac{a(c+d)}{2}=\frac{bd}{2}=\frac{c(a+b)}{2}</math> gilt.

Aus der Gleichheit des ersten und zweiten Terms folgt <math>a=\frac{bd}{c+d}</math>&nbsp;''(1)'' und aus der Gleichheit des ersten und dritten Terms <math>a=\frac{bc}{d}</math>&nbsp;''(2)''.

Aus ''(1)'' und ''(2)'' ergibt sich:
: <math>d^2=c(c+d)\Leftrightarrow\left(\frac{d}{c}\right)^2-\left(\frac{d}{c}\right)-1=0\Leftrightarrow\frac{d}{c}=\Phi</math>.
Wegen
: <math>a=\frac{bc}{d}\Leftrightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}</math>
gilt dann auch:<ref name="A.Beutelspacher">Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt'', zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage, [[Spektrum Akademischer Verlag]], Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 978-3-8154-2511-4, Seite&nbsp;71.</ref>
: <math>\frac{b}{a}=\Phi</math>