Goldener Schnitt/Anwendung in Technik und Mathematik

Der Goldene Zirkel (Reduktionszirkel)

Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein Goldener Zirkel – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Insbesondere im Schreinerhandwerk kam ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels zur Anwendung. Bereits in der Antike fand der Reduktionszirkel Verwendung, dies zeigt z. B. der Fund eines Vorläufers bei den Ausgrabungen in Pompeji. Solche Zirkel, wie die im Folgenden näher beschriebenen Beispiele, werden auch heute noch hergestellt. Die einfachste Ausführung besteht nur aus zwei Stäben – in moderner Bauweise zusätzlich mit vier Nadeln – deren Drehpunkt sie im Goldenen Schnitt teilt.

Für die Lage des Drehpunktes gilt:

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}|:|\overline{\mathrm{C}\mathrm{E}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|:|\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}|=\mathrm{\Phi }$.

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  Lage des Drehpunktes
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  Innere Teilung
• 
  Äußere Teilung

Mithilfe eines solchen Reduktionszirkels gelingt die Teilung einer gegebenen Streckenlänge $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|$ in $C$ (innere Teilung) sowie die Verlängerung einer Strecke $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|$ um die Länge $b$ (äußere Teilung). Punkt $B$ teilt die Streckenlänge $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|$ im Goldenen Schnitt.

Der von Adalbert Göringer im Jahre 1893 erfundene Reduktions- bzw. Proportionalzirkel – dargestellt in den nebenstehenden Bildern – ist eine Weiterentwicklung. Um als Werkzeug für die innere und äußere Teilung dienen zu können, müssen die Bauteile des Reduktionszirkels ebenfalls die Teilung nach dem Goldenen Schnitt beinhalten.

Wenn

$|\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}|:|\overline{\mathrm{D}\mathrm{E}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}|:|\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}|=|\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}|:|\overline{\mathrm{D}\mathrm{G}}|=|\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}|:|\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}|=|\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}|:|\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}|=|\overline{\mathrm{C}\mathrm{G}}|:|\overline{\mathrm{F}\mathrm{G}}|$,

dann gilt:

$|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|:|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|:|\overline{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\mathrm{\Phi }$.

Rechteck mit einbeschriebenem Dreieck

Goldener Schnitt im Rechteck mit einbeschriebenem Dreieck

„Man beschreibe in ein gegebenes Rechteck ein Dreieck (das mit dem Rechteck eine Ecke gemeinsam hat) so ein, daß die drei dabei entstehenden Dreiecke die gleiche Fläche haben.“

– A. Beutelspacher, B. Petri: Der Goldene Schnitt

Hinweis: In gewisser Analogie zur Quadratur des Quadrates verwendet Heinrich Hemme den Begriff der Triangulation des Rechtecks.

Die Flächengleichheit bedeutet, dass $\frac{a(c+d)}{2}=\frac{bd}{2}=\frac{c(a+b)}{2}$ gilt.

Aus der Gleichheit des ersten und zweiten Terms folgt $a=\frac{bd}{c+d}$ (1) und aus der Gleichheit des ersten und dritten Terms $a=\frac{bc}{d}$ (2).

Aus (1) und (2) ergibt sich:

$d^2=c(c+d)\iff {\left(\frac{d}{c}\right)}^2-\left(\frac{d}{c}\right)-1=0\iff \frac{d}{c}=\mathrm{\Phi }$.

Wegen

$a=\frac{bc}{d}\iff \frac{b}{a}=\frac{d}{c}$

gilt dann auch:

$\frac{b}{a}=\mathrm{\Phi }$

Gleichschenkliges Dreieck, gegebene Strecke teilt gesuchten Schenkel im Goldenen Schnitt

Kaschube nutzte 1717 das geometrische Mittel
($|\overline{\mathrm{G}\mathrm{I}}|$ von $|\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}|$ und $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|$) sowie „diesen Schnitt den goldenen“ als Konstruktionselement.
$|\overline{\mathrm{K}\mathrm{A}}\mathrm{|}\mathrm{:}\mathrm{|}\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{|}\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}\mathrm{|}\mathrm{:}\mathrm{|}\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}\mathrm{|}\mathrm{=}\mathrm{|}\overline{\mathrm{K}\mathrm{F}}\mathrm{|}\mathrm{:}\mathrm{|}\overline{\mathrm{F}\mathrm{B}}|$

Von M. Johann Wentzel Kaschube stammt die im Folgenden beschriebene und im Anschluss konstruktiv dargestellte geometrische Aufgabe aus dem Jahr 1717.

„§.34. Einen gleichschencklichten $\mathrm{\Delta }$, in welchem der auf einem Schenckel stehende perpendicul $\mathrm{A}\mathrm{B}=a$ gegeben, so den Schenckel $\mathrm{K}\mathrm{M}$ selbst in $\mathrm{A}$ auf solche Arth schneidet, wie er von den übrigen perpend. Linien in $\mathrm{E}$ geschnitten wird, kan auf folgende Weise gefunden werden. […]“

– M. Johann Wentzel Kaschube: Cursus mathematicus, oder Deutlicher Begrief der Mathematischen Wissenschaften

Gesucht ist also ein gleichschenkliges Dreieck, in dem eine gegebene Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ sowie ein Schenkel des Dreiecks zueinander orthogonal sind und der Punkt $\mathrm{A}$ diesen Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt.

Konstruktionsbeschreibung
(Angelehnt an die Beschreibung des Originals, die darin erwähnte Fig. 7 ist auf Tab. I Alg. Fig. 8)

Zuerst wird die Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ mit der frei wählbaren Länge $a$ senkrecht auf die Gerade $g$ errichtet. Es folgt das rechtwinklige Dreieck $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$, in dem die Seite $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ mit Länge $\frac{a}{2}$ auf der Geraden $\mathrm{g}$ liegt. Der Kreisbogen um $\mathrm{C}$ mit Radius $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}|$ ergibt Schnittpunkt $\mathrm{D}$, der Kreisbogen um $\mathrm{B}$ mit Radius $|\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}|$ teilt in $\mathrm{E}$ die Seite $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ im Goldenen Schnitt. Ziehe einen Kreis um $\mathrm{E}$ mit Radius $\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}$, ergibt Schnittpunkt $\mathrm{G}$ und einen Kreisbogen um $\mathrm{E}$ mit Radius $|\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}|$. Nun errichte eine Senkrechte auf $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ ab $\mathrm{G}$ bis sie den Kreisbogen in $\mathrm{I}$ schneidet. Mit $\overline{\mathrm{G}\mathrm{I}}$ ist das geometrische Mittel der beiden Streckenlängen $|\overline{\mathrm{B}\mathrm{G}}|$ und $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}|$ bestimmt. Ein Kreisbogen um $\mathrm{B}$ mit Radius $|\overline{\mathrm{G}\mathrm{I}}|$ schneidet den Kreis um $\mathrm{E}$ in $\mathrm{F}$, und dabei ergibt sich das rechtwinklige Dreieck $\mathrm{E}\mathrm{B}\mathrm{F}$. Abschließend wird die Strecke $\overline{\mathrm{B}\mathrm{F}}$ bis auf die Gerade $\mathrm{g}$ verlängert und um den soeben entstandenen Schnittpunkt $\mathrm{K}$ ein Kreisbogen mit Radius $|\overline{\mathrm{K}\mathrm{B}}|$ gezogen, bis er die Gerade $\mathrm{g}$ in $\mathrm{M}$ schneidet.

Im somit gefundenen gleichschenkligen Dreieck $\mathrm{K}\mathrm{M}\mathrm{B}$ teilt der Punkt $\mathrm{A}$ der Senkrechten $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ den Schenkel $\overline{\mathrm{K}\mathrm{M}}$ im Goldenen Schnitt.

$|\overline{\mathrm{K}\mathrm{A}}|:|\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}|=|\overline{\mathrm{B}\mathrm{E}}|:|\overline{\mathrm{E}\mathrm{A}}|=|\overline{\mathrm{K}\mathrm{F}}|:|\overline{\mathrm{F}\mathrm{B}}|$

Kreispackungen

Bestimmte Kreispackungen im Rechteck weisen Zusammenhänge mit dem Goldenen Schnitt auf. Hierzu wird eine aus fünf Kreisen bestehende Kreispackung betrachtet (Figur 1):

• a sei der Radius des grünen Kreises,
• die beiden roten Kreise haben jeweils den Radius 1,
• die beiden blauen Kreise haben jeweils den Radius b,
• c sei der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des linken roten und des mittleren grünen Kreises (Figur 2).

Für a, b und c erhält man das nicht-lineare Gleichungssystem:

$a+2b=1$

$c=a+1$

$c^2+(a+b{)}^2=(1+b{)}^2$

mit der Lösung

$a=\sqrt{5}-2$

$b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$c=\sqrt{5}-1$.

Aus dieser Lösung resultieren drei Goldene Rechtecke innerhalb der gegebenen Kreispackung:

• Rechteck 1 hat die Seitenlängen 2 und c und ist wegen $\frac{2}{c}=\mathrm{\Phi }$ ein Goldenes Rechteck (Figur 3).
• Rechteck 2 hat die Seitenlängen c und 2b und ist wegen $\frac{c}{2b}=\mathrm{\Phi }$ ein Goldenes Rechteck (Figur 4).
• Rechteck 3 hat die Seitenlängen 2a+2b und 2b und ist wegen $\frac{2a+2b}{2b}=\mathrm{\Phi }$ ein Goldenes Rechteck (Figur 5).

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  Figur 1
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  Figur 2
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  Figur 3
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  Figur 4
• 
  Figur 5

Schnittpunkte von Funktionsgraphen

Wie die nachfolgenden illustrierten Beispiele zeigen, sind in manchen Fällen Merkmale des Goldenen Schnitts erkennbar, wenn zwei Funktionsgraphen sich schneiden.

• Die Parabel mit der Gleichung $y=x^2-1$ schneidet die Ursprungsgerade mit der Gleichung $y=x$ in den Punkten $(\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi })$ und $(-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}|-\frac{1}{\mathrm{\Phi }})$ (Figur 1).
• Die Hyperbel mit der Gleichung $y=1+\frac{1}{x}$ schneidet die Ursprungsgerade mit der Gleichung $y=x$ ebenfalls in den Punkten $(\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi })$ und $(-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}|-\frac{1}{\mathrm{\Phi }})$ (Figur 2).
• Die Hyperbel mit der Gleichung $y=1+\frac{1}{x}$ schneidet die Parabel mit der Gleichung $y=x^2-1$ in den Punkten $(\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi })$, $(-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}|-\frac{1}{\mathrm{\Phi }})$ und $(-1|0)$ (Figur 3).

 

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  Figur 1
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  Figur 2
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  Figur 3

Dreiecksfraktal

Dreiecksfraktal, Animation (am Ende mit 15 s Pause)

Ab 1975 sind in der Mathematik die unterschiedlichsten Fraktale entwickelt worden.

Das folgende Fraktal – mit sieben Iterationsschritten – verwendet ein gleichseitiges Dreieck als Ausgangsform. An seinen Ecken wird ein Dreieck mit einem bestimmten Verkleinerungsfaktor $\mathrm{f}\left(\mathrm{0}<\mathrm{f}<\mathrm{1}\right)$ Spitze an Spitze angehängt. Der Verkleinerungsfaktor $\mathrm{f}$ wird so gewählt, dass das Verhältnis der Seitenlängen zueinander dem Teilungsverhältnis $\mathrm{\Phi }$ des Goldenen Schnittes entspricht.

Fraktale werden meist mithilfe eines Computers erstellt. Dieses zweidimensionale Dreiecksfraktal ist – mit entsprechendem Aufwand – auch als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Skizze

Skizze zur Festlegung der Kriterien, siehe hierzu auch Dreiecksfraktal, Potenzieren der Länge $\mathrm{f}$

Anhand der nebenstehenden Skizze wird der Verkleinerungsfaktor $\mathrm{f}$, die gewünschte Anzahl der Äste (Dreiecke) und somit auch der Abstand der letzten Äste zueinander grafisch bestimmt.

Es beginnt mit der Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge gleich $\mathrm{2}$. Halbiert man nun dessen beide Schenkel und zieht die Gerade $\mathrm{g}$ durch die soeben erhaltenen Mittelpunkte, ergibt sich das gleichseitige (grüne) Ausgangsdreieck des Fraktals mit Seitenlänge gleich $\mathrm{1}$. Es folgen zwei Verbindungslinien, jeweils ab dem Mittelpunkt der Schenkel bis zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks. Sie schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises des großen Dreiecks. Beim Ziehen des Umkreises ergibt sich, mittels der Schnittpunkte auf der Geraden $\mathrm{g}$, der gesuchte Verkleinerungsfaktor $\mathrm{f}$ links und rechts vom Ausgangsdreieck.

Nachweis des Verkleinerungsfaktors f

Graph der kubischen Gleichung

Die oben beschriebenen Konstruktionsschritte gleichen denen der Konstruktion nach Odom.

Somit gilt in diesem Fall:

$\frac{1}{\mathrm{f}}=\frac{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{f}}{1}=\mathrm{\Phi }$

daraus folgt

$\mathrm{f}=\mathrm{\Phi }-1=\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{0,6180339887}\dots$

Die in der Skizze mit gepunkteten Linien angedeutete Konstruktion zeigt: Die Seitenlängen (Kreisradien) für die nachfolgenden, noch gut im Fraktal erkennbaren Dreiecke, ergeben sich, indem man für das nächste Dreieck den Exponent des Verkleinerungsfaktors $\mathrm{f}$ um $\mathrm{1}$ erhöht:

${\mathrm{f}}^{\mathrm{2}},{\mathrm{f}}^{\mathrm{3}},{\mathrm{f}}^{\mathrm{4}},{\mathrm{f}}^{\mathrm{5}},{\mathrm{f}}^{\mathrm{6}},{\mathrm{f}}^{\mathrm{7}}\dots$

Beutelspacher ermittelte in Der Goldene Schnitt den Wert des Abstandes, bei dem sich die entgegenkommenden Äste im Grenzfall berühren, letztendlich aus der kubischen Gleichung (siehe nebenstehendes Bild)

${\mathrm{f}}^{\mathrm{3}}+2{\mathrm{f}}^{\mathrm{2}}-1=0$;

deren einzige positiven Lösung ist

$\mathrm{f}=\frac{1}{\mathrm{\Phi }}$.

Somit ist aufgezeigt: $\mathrm{f}$ ist nicht nur der Wert des Verkleinerungsfaktors, sondern auch der Wert des Abstandes, bei dem sich im Grenzfall die einzelnen Äste berühren, sprich gerade noch nicht überlappen.

Papier- und Bildformate

Im Buchdruck wurde gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der sogenannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie $2:3:5:8$ verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt. Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen.