Quelltext der Seite Goldener Schnitt/Geometrische Aussagen

{{SchaufensterBeginn|Geometrische Aussagen}}
=== Konstruktionsverfahren ===
Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal]] (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine ''innere'' und ''äußere'' Teilung. Bei der ''äußeren Teilung'' wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der [[Harmonische Teilung|harmonischen Teilung]] dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

==== Innere Teilung ====
{| class="wikitable"<!-- Die Darstellung als Tabelle ist bei mobiler Wiedergabe zerstört!? -->
|-
| [[Datei:Goldener Schnitt Konstr beliebt.svg|300px|links|Klassische innere Teilung]]
| '''Klassisches Verfahren mit innerer Teilung nach [[Heron von Alexandria]], das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:'''<ref name="BS198">Bronstein, Semendjajew et al.: ''Taschenbuch der Mathematik.'' 6.&nbsp;Auflage. Verlag Harri Deutsch, S.&nbsp;198.</ref>
# Errichte auf der Strecke {{Oberstrich|AB}} im Punkt&nbsp;B eine Senkrechte der halben Länge von {{Oberstrich|AB}} mit dem Endpunkt&nbsp;C.
# Der Kreis um C mit dem [[Radius]] {{Oberstrich|CB}} schneidet die Verbindung {{Oberstrich|AC}} im Punkt&nbsp;D.
# Der Kreis um A mit dem Radius {{Oberstrich|AD}} teilt im Punkt&nbsp;S die Strecke {{Oberstrich|AB}} im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Dies kann wie folgt eingesehen werden: Über den [[Satz des Pythagoras]] ergibt sich für die Länge der Hypotenuse der Wert
:|{{Oberstrich|AC}}|<math>=\sqrt{1^2 + \left(\tfrac12\right)^2}</math>|{{Oberstrich|AB}}|<math> = \tfrac{\sqrt{5}}{2}</math>|{{Oberstrich|AB}}|.
Subtrahiert man von dieser die Länge |{{Oberstrich|DC}}|<math>=\tfrac12</math>{{Oberstrich|AB}}, verbleibt gerade {{Oberstrich|AD}}<math>=\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}</math>|{{Oberstrich|AB}}|<math>=\Phi^{-1}</math>|{{Oberstrich|AB}}|<math>=</math>|{{Oberstrich|AS}}|. Aus den algebraischen Vorüberlegungen ist nun bekannt, dass dies das Verhältnis der stetigen Teilung ist.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;21.</ref>
|-
| [[Datei:Goldener Schnitt (Euklid).svg|300px|Innere Teilung: Verfahren nach Euklid]]
| '''Innere Teilung nach [[Euklid]]:'''
[[Datei:01-Goldener Schnitt-Euklid.gif|300px|rechts|Goldener Schnitt, innere Teilung nach Euklid]]
[[Johann Friedrich Lorenz]] beschrieb im Jahr 1781 in seinem Buch ''Euklids Elemente'' folgende Aufgabe von Euklid:

{{" |Text=Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.}}<ref>{{Literatur |Autor=[[Johann Friedrich Lorenz]] |Hrsg=Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses |Titel=Euklids Elemente, fünfzehn Bücher |Ort=Halle |Datum=1781 |Seiten=31 ff. |Online=[https://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/2675547?zoom=0&lat=978.42857&lon=1487.35714&layers=B Euklids Elemente, Zweytes Buch, ''Der 11. Satz. Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden&nbsp;…''] |Abruf=2016-12-19}}</ref>

Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, die Strecke {{Oberstrich|AB}} ist in einem Verhältnis geteilt, das als Goldener Schnitt mit innerer Teilung bezeichnet wird.

Als Darstellung dieses Verfahrens hat sich eine vereinfachte Konstruktion, siehe linkes Bild, bewährt:
# Errichte auf der Strecke {{Oberstrich|AB}} im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von {{Oberstrich|AB}} mit dem Endpunkt&nbsp;C.
# Der Kreis um C mit dem Radius {{Oberstrich|CB}} schneidet die Verlängerung von {{Oberstrich|AC}} im Punkt&nbsp;D.
# Der Kreis um A mit dem Radius {{Oberstrich|AD}} teilt im Punkt S die Strecke {{Oberstrich|AB}} im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
|-
| [[Datei:Golden-section-simple.gif|300px|Konstruktion nach Hofstetter]]
| '''Konstruktion nach dem österreichischen Künstler [[Hofstetter Kurt|Kurt Hofstetter]], die dieser 2005 im ''[[Forum Geometricorum]]''<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200518.pdf Forum Geometricorum Volume 5 (2005) 135–136.] (PDF; 26&nbsp;kB).</ref> publizierte:'''
# Halbiere die Strecke {{Oberstrich|AB}} in M durch [[Streckensymmetrale]] mit Radius {{Oberstrich|AB}} und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge {{Oberstrich|AB}} und C unterhalb von&nbsp;AB.
# Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck MBD mit Schenkellänge {{Oberstrich|AB}} über der Grundlinie&nbsp;{{Oberstrich|MB}}.
# Die Strecke {{Oberstrich|CD}} teilt im Punkt&nbsp;S die Strecke {{Oberstrich|AB}} im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
|}

==== Äußere Teilung ====
{| class="wikitable"
|-
| [[Datei:Goldener Schnitt (Äußere Teilung).svg|300px|Äußere Teilung]]
|'''Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung nach Euklid:'''
[[Datei:01 Goldener Schnitt-Euklid-2.gif|300px|rechts|Äußere Teilung nach Eklid]]
„Die Seiten eines demselben Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Sechsecks und eines gleichseitigen Zehnecks zusammen ergeben eine Strecke, die in stetiger Teilung geteilt ist, wobei die Seite des Sechsecks der größere Teil ist.“<ref>{{Internetquelle |autor=Euklid |url=http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=7&zoom=80,-227,744 |titel=XIII.9 |titelerg=Euklid: Stoicheia. Buch XIII |hrsg=Opera Platonia |datum=2010 |seiten=9–10 |format=PDF |abruf=2022-10-24}}</ref>
Die nebenstehende Animation (am Ende mit 30&nbsp;s Pause) zeigt prinzipiell die hierfür erforderlichen Konstruktionsschritte. Die abschließend eingetragenen strichlierten Linien sowie die Punkte&nbsp;K und L sind nicht Teil der Lösung nach Euklid. Sie sollen lediglich den konstruktiven Weg zur folgenden Vereinfachung verdeutlichen.

Die Darstellung im linken Bild hat sich als vereinfachte Konstruktion bewährt:
# Errichte auf der Strecke {{Oberstrich|AS}} im Punkt&nbsp;S eine Senkrechte der Länge {{Oberstrich|AS}} mit dem Endpunkt&nbsp;C.
# Konstruiere die Mitte M der Strecke&nbsp;{{Oberstrich|AS}}.
# Der Kreis um M mit dem Radius {{Oberstrich|MC}} schneidet die Verlängerung von {{Oberstrich|AS}} im Punkt&nbsp;B. S teilt {{Oberstrich|AB}} im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Dieses Verfahren wird für die Konstruktion des [[Fünfeck#Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge|Fünfecks bei gegebener Seitenlänge]] verwendet.
|-
| [[Datei:GoldenRatio Constr Odom.svg|300px|Konstruktion nach Odom]]
| '''Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler [[George Odom]], die dieser 1982 entdeckte:'''<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;22–23.</ref>

# Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
# Konstruiere den [[Umkreis]], also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
# Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und&nbsp;S.
# Die Verlängerung von {{Oberstrich|AS}} schneidet den Kreis im Punkt&nbsp;B. S teilt {{Oberstrich|AB}} im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Die algebraische Herleitung ist im Unterabschnitt [[#Im Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks|Im Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks]] beschrieben.
|}

=== Im Fünfeck und im Pentagramm ===
[[Datei:01 Goldener Schnitt-Pentagramm.svg|mini|hochkant=1.1|Goldener Schnitt im [[Fünfeck]] und [[Pentagramm]]]]

Regelmäßiges [[Fünfeck]] und [[Pentagramm]] bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im Goldenen Verhältnis, das heißt, <math>\mathrm{\overline{AD}}</math> verhält sich zu <math>\mathrm{\overline{BD}}</math> wie <math>\mathrm{\overline{BD}}</math> zu <math>\mathrm{\overline{CD}}</math>. Der Beweis dazu nutzt die [[Ähnlichkeit (Geometrie)|Ähnlichkeit]] geeignet gewählter Dreiecke.<ref>John Stillwell: ''Mathematics and Its History.'' Third Edition. Springer, S.&nbsp;28.</ref>

Das Pentagramm, eines der ältesten [[Magie|magischen]] Symbole der [[Kulturgeschichte]], steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;44–45.</ref> Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der [[Penrose-Parkettierung]].<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;80–84.</ref>

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch <math>|\overline{\mathrm{CD}}|=|\overline{\mathrm{CC'}}|</math> gilt. Ursache ist, dass das Dreieck <math>\mathrm{DCC^\prime}</math> zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke <math>\mathrm{\overline{CC^\prime}}</math> erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem [[Strahlensatz]] gilt:

: <math>\frac{|\overline{\mathrm{AB}}|}{|\overline{\mathrm{BB'}}|} = \frac{|\overline{\mathrm{AC}}|}{|\overline{\mathrm{CC'}}|}</math>

Wird <math>|\overline{\mathrm{AC}}| = |\overline{\mathrm{AB}}|+|\overline{\mathrm{BC}}|</math> ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke <math>|\overline{\mathrm{BB'}}| = |\overline{\mathrm{BC}}|</math> und <math>|\overline{\mathrm{CC'}}| = |\overline{\mathrm{AB}}|</math> beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.

=== Im gleichschenkligen Dreieck ===
[[Datei:Goldener Schnitt Inkreisdurchmesser Hoehe.svg|mini|hochkant|Goldener Schnitt im gleichschenkligen Dreieck]]

In einem gleichschenkligen Dreieck <math>\mathrm{ABC}</math>, dessen Grundseite <math>\mathrm{\overline{AB}}</math> längengleich zu der Höhe <math>\mathrm{\overline{DC}}</math> ist, teilt der innerhalb des Dreiecks liegende Schnittpunkt <math>\mathrm{F}</math> des [[Inkreis]]es mit der Höhe diese im Goldenen Schnitt.

[[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] kann <math>|\overline{\mathrm{AB}}|=|\overline{\mathrm{CD}}|</math> angenommen werden. Die rechtwinkligen Dreiecke <math>\mathrm{MBE}</math> und <math>\mathrm{DBM}</math> sind [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]], da sie in zwei Seiten und dem (rechten) Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. Es gilt <math>|\overline{\mathrm{DB}}|=|\overline{\mathrm{BE}}|=1</math> und damit <math>|\overline{\mathrm{CE}}|=|\overline{\mathrm{CB}}|-|\overline{\mathrm{BE}}|=\sqrt{5}-1</math>. Nach dem Satz des Pythagoras gilt <math>|\overline{\mathrm{BC}}|^2=2^2+1^2=5 \Leftrightarrow |\overline{\mathrm{BC}}|=\sqrt{5}</math> in dem rechtwinkligen Dreieck <math>\mathrm{DBC}</math>. Ebenfalls nach dem Satz des Pythagoras gilt in dem rechtwinkligen Dreieck <math>\mathrm{CME}</math>: <math>|\overline{\mathrm{CE}}|^2=(2-r)^2-r^2 \Leftrightarrow (\sqrt{5}-1)^2=4-4r \Leftrightarrow r=\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\Phi^{-1}</math>. Mit <math>d=2r</math> folgt hieraus <math>\Phi=2:d</math> = ''(Höhe von ABC) : (Durchmesser des Inkreises von ABC)'', [[Quod erat demonstrandum|was zu zeigen war]].<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt'', zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 978-3-8154-2511-4, Seiten 73 und 74.</ref>

=== Im Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks ===
[[Datei:Odom Planfigur.svg|mini|hochkant|Bestimmung des Goldenen Schnitts nach dem Verfahren von George Odom]]

In dem gleichseitigen Dreieck <math>\mathrm{ABC}</math> schneidet die durch <math>\mathrm{E}</math> und <math>\mathrm{F}</math> verlaufende Parallele zu <math>\overline{\mathrm{AB}}</math> den [[Umkreis]] in <math>\mathrm{D}</math> und <math>\mathrm{G}</math>. Ist <math>\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{EC}},</math> dann teilt <math>\mathrm{F}</math> die Strecke <math>\overline\mathrm{EG}</math> im Goldenen Schnitt.

Aus den Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks und aus dem Strahlensatz folgen unmittelbar die Längengleichheiten
: <math>|\overline{\mathrm{AE}}|=|\overline{\mathrm{BF}}|=|\overline{\mathrm{CE}}|=|\overline{\mathrm{CF}}|=|\overline{\mathrm{EF}}|=a</math> und <math>|\overline{\mathrm{AB}}|=2a</math>.
Nach dem [[Sehnensatz]] gilt:
: <math>a^2=b(a+b)\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}=a+b\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}+1</math>
: <math>\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2-\left(\frac{a}{b}\right)-1=0\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\Phi</math>
Somit teilt <math>\mathrm{F}</math> die Strecke <math>\overline{\mathrm{EG}}</math> im Goldenen Schnitt.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt'', zweite überarbeitete und erweiterte Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 978-3-8154-2511-4, Seiten 22 und 23.</ref>

=== Im Quader ===
[[Datei:01 Quader-Goldener Schnitt.svg|mini|hochkant=1.1|Goldener Schnitt im Quader <math>\frac{a}{b}=\Phi</math> und <math>\frac{c}{b}=\Phi^{-1}</math>]]
Für einen [[Quader]] mit den Kantenlängen <math>\mathrm{a}</math>, <math>\mathrm{b}</math> und <math>\mathrm{c}</math>, der [[Raumdiagonale]]nlänge <math>\mathrm{d}</math> und dem [[Volumen]] <math>\mathrm{V}</math> gelte <math>a>c</math>, <math>b=1</math>, <math>d=2</math> und <math>V=1</math>.

Dann gilt für den Goldenen Schnitt <math>\Phi</math> das Verhältnis
: <math>\Phi=\frac{a}{b} = \frac{a + b}{a} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.
Aus der Volumengleichung <math>a\cdot b\cdot c=1</math> folgt wegen <math>b=1</math>
: <math>a\cdot c=1</math>.&nbsp;''(1)''
Da die Raumdiagonale die Länge 2 hat, gilt
: <math>\sqrt{a^2+1^2+c^2}=2\Leftrightarrow a^2+c^2=3</math>.&nbsp;''(2)''

Aus ''(1)'' und ''(2)'' erhält man <math>a^2+a^{-2}=3</math>.

Die Lösungen mit positivem Wert sind <math>a=\Phi</math>&nbsp;oder&nbsp;<math>a=\Phi^{-1}</math> und damit analog <math>c=\Phi</math>&nbsp;oder&nbsp;<math>c=\Phi^{-1}</math>.

Wegen <math>a>c</math> kommen nur <math>a=\Phi</math> und <math>c=\Phi^{-1}</math> in Betracht.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt'', zweite überarbeitete und erweiterte Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 978-3-8154-2511-4, Seiten 67 und 68.</ref> Damit ergibt sich
: <math>\frac{a}{b}=\Phi</math>&nbsp;und&nbsp;<math>\frac{c}{b}=\Phi^{-1}</math>.

=== {{Anker|Stuhl}} Im Ikosaeder ===
[[Datei:Icosahedron-golden-rectangles.svg|mini|hochkant=1.1|Die 3&nbsp;Goldenen Rechtecke (hellgrün, grün, lila) bilden mit ihren jeweils 4&nbsp;Ecken die 12&nbsp;Ecken (9&nbsp;hier sichtbar) eines [[Ikosaeder]]s]]

Die 12&nbsp;Ecken des [[Ikosaeder]]s bilden die Ecken von 3&nbsp;gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden [[Rechteck]]en mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die zwölf Ecken eines Ikosaeders sind also die zwölf Ecken dreier goldener Rechtecke, die paarweise aufeinander senkrecht stehen.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;51.</ref> Diese Anordnung der 3&nbsp;Rechtecke wird auch '''Goldener-Schnitt-Stuhl''' genannt. Weil der Ikosaeder zum [[Pentagondodekaeder]] [[Dualität (Mathematik)#Dualität in der Geometrie|dual]] ist, bilden die 12&nbsp;Mittelpunkte der Fünfecke ebenfalls die Ecken eines Goldener-Schnitt-Stuhls.

Ferner kann in ein gegebenes [[Oktaeder]] ein Ikosaeder so einbeschrieben werden, dass dessen Ecken die Kanten des Oktaeders im Goldenen Schnitt teilen.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;53.</ref>

=== Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck ===
Ein [[Rechteck]], dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als [[Goldenes Rechteck]] benannt; ebenso heißt ein [[gleichschenkliges Dreieck]], bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, [[Goldenes Dreieck (Geometrie)|Goldenes Dreieck]].

* Zum Vergleich von Rechtecksproportionen siehe Abschnitt [[#Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen|''Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen.'']]
* Ein Goldenes Dreieck ist Inhalt der Methode ''äußere Teilung'' im Abschnitt [[#Äußere Teilung|''Konstruktionsverfahren, äußere Teilung'']]

=== Goldener Winkel ===
<div style="clear:left;">{{Schaufenster
| Seite = goldener Winkel
| Marke = Goldener Winkel
| modus = ignorieren
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| inline = 1
}}</div>

=== Goldene Spirale und Spira mirabilis ===
Beide Spiralen hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Sie sind nicht als [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]] darstellbar. Für eine Näherungskonstruktion bedarf es – wie im Folgenden erläutert – eines ''Goldenen Rechtecks'' bzw. eines ''Goldenen Dreiecks''.<ref name="AB12">Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S.&nbsp;57–61.</ref>

==== Goldene Spirale ====
{{Schaufenster
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==== Spira mirabilis ====
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=== Geometrisches Mittel ===
{{Hauptartikel|Geometrisches Mittel}}
[[Datei:01-Goldener Schnitt-Geometrisches Mittel.svg|mini|hochkant=2.8|Geometrisches Mittel:<br /> <math>\mathrm{T}</math> teilt die Strecke <math>\mathrm{\overline{AB}}</math> im Verhältnis des Goldenen Schnittes: <math>x= \sqrt{a (a-x)};</math>&nbsp;<math>a= \sqrt{x (a+x)}</math>]]

Wird die Strecke <math>\mathrm{\overline{AB}}</math> mit Länge <math>a</math> durch den Punkt <math>\mathrm{T}</math> im Verhältnis des Goldenen Schnitts in zwei Teilstrecken <math>\mathrm{\overline{AT}}</math> und <math>\mathrm{\overline{BT}}</math> mit Längen <math>x</math> und <math>a-x</math> geteilt, so ist <math>x</math> bereits das geometrische Mittel der Zahlen <math>a</math> und <math>a-x</math>. Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels <math>\bar{x}_\text{geom} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n}</math>, hier: <math>x= \sqrt[2] {a (a-x)}</math>.
In der Tat folgt mit <math>\tfrac{x}{a} = \tfrac{1}{\Phi}</math> bereits
: <math> \sqrt{a(a-x)} = a\sqrt{1 - \frac{1}{\Phi}} = \frac{a}{\Phi} = x</math>.
Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass <math>a</math> wiederum das geometrische Mittel von <math>x</math> und <math>a+x</math> ist.<ref>I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: ''Taschenbuch der Mathematik''. 20. Auflage. Gemeinschaftsausgabe Verlag Nauka Moskau und BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1981, S.&nbsp;167.</ref> Man hat in diesem Fall
: <math> \sqrt{x(a+x)} = a \sqrt{\frac{1}{\Phi}\left( 1 + \frac{1}{\Phi}\right)} = a</math>.

=== Gefalteter und verknoteter Papierstreifen ===
[[Datei:01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-6.svg|mini|Bild 1<br />Goldener Schnitt im gefalteten und verknoteten Papierstreifen]]
[[Datei:01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-2.svg|mini|Bild 2<br />Symmetrisches Trapez, die gepunkteten Linien zeigen das Fünfeck im Umkreis sowie den Papierstreifen]]

Mit der im Folgenden beschriebenen Papierstreifen-Methode erzeugt ein sogenannter [[Überhandknoten]]<ref>{{Internetquelle |autor=Daniel Lordick |url=https://www.researchgate.net/publication/324865962_Von_der_Knotentheorie_zum_Klettergerust |titel=6 Torusknoten, Torusverschlingungen, Zöpfe und Papierbänder |titelerg=Von der Knotentheorie zum Klettergerüst |hrsg=researchgate.net |datum=2012-02 |seiten=67–11 |abruf=2023-04-25}}</ref> ein regelmäßiges Fünfeck (Bild 1), bei dem die Faltenlänge (rot) die Seitenlänge <math>a</math> ist und die Diagonale (grün) –&nbsp;gebildet von der Kante des Papierstreifens&nbsp;– die Länge <math>\Phi\cdot a</math> hat.

Die Diagonale und die sich daran anschließenden drei Seiten des Fünfecks bilden ein symmetrisches Trapez.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;39–44.</ref>

==== Hilfssatz ====
(1) Ist <math>\mathrm{ABCD}</math> ein symmetrisches Trapez (Bild 2), so gilt
: <math>\mathrm{\overline{AB}}=\mathrm{\overline{BC}}=\mathrm{\overline{CD}}</math>,<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;40.</ref>
so ist die Diagonale <math>\mathrm{\overline{AC}}</math> auch die Winkelhalbierende des Winkels <math>\mathrm{BAD}</math>.

(2) Ist der Winkel <math>\mathrm{BAD}=72^\circ</math>, so verhält sich
: <math>|\mathrm{\overline{AC}}|:|\mathrm{\overline{AB}}|=\Phi:1</math><ref name="Petri">Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;41.</ref>

==== Beweise ====
Zu (1)

Vorausgesetzt das Dreieck <math>\mathrm{BAC}</math> ist gleichschenklig, so ist <math>\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{ACB}</math> und <math>\angle\mathrm{CBD}=\angle\mathrm{BDC}</math>.
Aus der Symmetrie des Trapezes ergibt sich die Gleichheit der vier betrachteten Winkel (grün).

Die beiden Diagonalen <math>\mathrm{\overline{AC}}</math> und <math>\mathrm{\overline{BD}}</math> schneiden sich im Scheitel <math>\mathrm{S}</math> und erzeugen damit den [[Winkel#Scheitelwinkel oder Gegenwinkel|Scheitelwinkel]] <math>\angle\mathrm{DSA}=\angle\mathrm{BSC}</math>.

Infolgedessen sind die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks <math>\mathrm{SDA}</math> gleich denen des <math>\triangle\mathrm{SBC}</math>. Demzufolge ergibt sich die Gleichheit <math>\angle\mathrm{BAC}=\angle\mathrm{CBD}=\angle\mathrm{CAD}</math>. Somit ist bestätigt: <math>\mathrm{\overline{AC}}</math> ist die Winkelhalbierende von <math>\angle\mathrm{BAD}</math>.<ref name="Petri" />

Zu (2)

Aufgrund der Voraussetzung folgt mittels Hilfssatz (1), der Winkel <math>\mathrm{CAD}=36^\circ</math>. Wegen der Symmetrie des Trapezes ist auch der Winkel <math>\mathrm{ADC}=72^\circ</math>. Da die Winkelsumme im Dreieck <math>\mathrm{ACD}=180^\circ</math> beträgt, ist auch <math>\angle\mathrm{DCA}=72^\circ</math>.

Demzufolge ist das Dreieck <math>\mathrm{ACD}</math> wegen seiner Innenwinkel <math>36^\circ,\;72^\circ,\; 72^\circ</math> ein Goldenes Dreieck. Das Dreieck <math>\mathrm{ACD}</math> hat – für eine mögliche Zahl <math>a</math> – deshalb die Seitenlängen <math>\Phi\cdot a,\;a,\;\Phi\cdot a</math>. Somit ist bestätigt:
: <math>|\mathrm{\overline{AC}}|:|\mathrm{\overline{AB}}|=|\mathrm{\overline{AC}}|:|\mathrm{\overline{CD}}|=\Phi:1=\Phi</math>.<ref name="Petri" />

==== Vorbereitung des Papierstreifens ====
[[Datei:01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-1.svg|mini|hochkant=2|Bild 3<br />Papierstreifen mit den vier eingezeichneten Trapezen]]
Zuerst ist die Streifenbreite gleich der Trapezhöhe zu ermitteln und anschließend die Anordnung der vier Trapeze (<math>\mathrm{T_1\ldots T_4}</math>) darzustellen (Bild 3). Hierzu werden die ermittelten Abmaße des symmetrischen Trapezes <math>\mathrm{ABCD}</math> –&nbsp;z.&nbsp;B. aus einem bereits konstruierten [[Fünfeck#Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis|Fünfeck]] (siehe Bild 2)&nbsp;– auf einem Blatt Papier übertragen. Nach dem Beschriften der beiden Enden mit <math>\mathrm{E_1, \;E_2}</math>, bedarf es nur noch des Ausschneidens des Papierstreifens.

==== Papierfaltung ====
Bis zum fertigen Fünfeck sind nur drei Faltungen mit gleicher Faltrichtung und das Zusammenziehen des Überhandknotens erforderlich. Begonnen wird mit der Faltlinie <math>\mathrm{F_1}</math>, demzufolge das Trapez <math>\mathrm{T_2}</math> oberhalb des Streifenendes <math>\mathrm{E_1}</math> (Bild 4) zum Liegen kommt. Der Punkt <math>\mathrm{A'}</math> der Diagonale <math>\mathrm{\overline{A'C}}</math> ist dabei direkt auf dem Punkt <math>\mathrm{A}</math> positioniert. Das regelmäßige Fünfeck <math>\mathrm{ABCDE}</math> kann man bereits jetzt erkennen.

Die zweite Faltung mit der Faltlinie <math>\mathrm{F_2}</math> (Bild 5) und dritte Faltung mit <math>\mathrm{F_2}</math> (Bild 6) werden analog zur ersten ausgeführt. Schließlich benötigt es nur noch das Durchziehen (Verknoten) des Streifenendes <math>\mathrm{E_2}</math> zwischen dem Streifenende <math>\mathrm{E_1}</math> und dem Trapez <math>\mathrm{T_2}</math>, um das gesuchte regelmäßige Fünfeck mit Goldenen Schnitt zu erhalten.<ref>Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: ''Der Goldene Schnitt.'' 2.,&nbsp;überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 1996, S.&nbsp;42–44.</ref>

<gallery mode="packed" heights="250">
 01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-3.svg|alt=|Bild 4<br />Falten der ersten Faltlinie <math>\mathrm{F_1}</math>
 01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-4.svg|alt=|Bild 5<br />Falten der zweiten Faltlinie <math>\mathrm{F_2}</math>
 01 Goldener Schnitt-Papierfaltung-5.svg|alt=|Bild 6<br />Falten der dritten und letzten Faltlinie <math>\mathrm{F_3}</math>, Streifenende <math>\mathrm{E_2}</math> zwischen dem Streifenende <math>\mathrm{E_1}</math> und dem Trapez <math>\mathrm{T_2}</math> durchgezogen
</gallery>
{{SchaufensterEnde|Geometrische Aussagen}}