goldene Spirale

Goldene Spirale und Spira mirabilis

Goldene Spirale und Spira mirabilis hängen mit dem Goldenen Schnitt zusammen. Sie sind nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Für eine Näherungskonstruktion bedarf es – wie im Folgenden erläutert – eines Goldenen Rechtecks bzw. eines Goldenen Dreiecks.

Goldene Spirale

Q: goldener Schnitt (Geometrische Aussagen)

Die Goldene Spirale, auch Bernoulli’sche Spirale genannt, ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale: Ihr Streckungsfaktor (siehe Zentrische Streckung) ist $\mathrm{\Phi }$, die Zahl des Goldenen Schnitts. Sie lässt sich mittels rekursiverTeilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck näherungsweise konstruieren. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor $\mathrm{\Phi }$.

Die Goldene Spirale lässt sich unter Verwendung von Polarkoordinaten durch

$r(\theta )={\mathrm{\Phi }}^{\frac{2\theta }{\pi }}$

parametrisieren. Die Idee von Polarkoordinaten ist hierbei, einen Punkt $\mathrm{P}$ in der Ebene durch seinen Abstand $r$ zum Ursprung und den mit der $x$-Achse eingeschlossen Winkel $\theta$ festzulegen. Dessen Polarkoordinaten sind dann $(r,\theta )$, und durch Wahl des Radius in Abhängigkeit vom sich verändernden Winkel $\theta$ lassen sich manche geometrische Figuren durch eine entsprechende Funktion $r(\theta )$ einfacher beschreiben als in klassischen kartesischen Koordinaten. Zu beachten ist, dass mehrfache Umdrehungen um den Ursprung, etwa in den Fällen ${\theta }_0=0$ (Ausgangslage), ${\theta }_1=2\pi$ (eine Volldrehung), ${\theta }_2=4\pi$ (zwei Volldrehungen) usw. unterschiedliche Radii hervorrufen können, was auch an der nicht-periodischen Figur der Spirale zu erkennen ist.

Eine brauchbare Näherung für die Goldene Spirale findet sich bereits bei Kepler. Man erhält diese Approximation, wenn man in die Quadrate Viertelkreise mit dem Radius der Seitenlänge des Quadrats einzeichnet. Dies ist im mittleren Bild illustriert. Im linken Bild wird die Güte dieser Approximation veranschaulicht.

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  Grün Annäherung durch Vierteilkreise (rechtes Bild); Rot Goldene Spirale; Gelb: Überlappungen.
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  Annäherung der Goldenen Spirale, unter Benutzung von Viertelkreisen und der Fibonacci-Folge $1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$
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  Goldene Spiralen sind selbstähnlich. Ihre Form wiederholt sich unendlich oft, wenn sie vergrößert wird.

Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien $P_1,P_2,P_3,P_4$ vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare $P_1,P_4$ und $P_2,P_3$ harmonisch konjugiert, das heißt, für ihr Doppelverhältnis gilt:

$(P_{\theta },P_{\theta +3\pi };P_{\theta +\pi },P_{\theta +2\pi })=\frac{(-{\mathrm{\Phi }}^6-{\mathrm{\Phi }}^4)(-{\mathrm{\Phi }}^2-1)}{(-{\mathrm{\Phi }}^6+{\mathrm{\Phi }}^2)(+{\mathrm{\Phi }}^4-1)}=\frac{-{\mathrm{\Phi }}^2}{(-{\mathrm{\Phi }}^2+1{)}^2}=-1$