Quelltext der Seite Goldener Schnitt/Varianten und Verallgemeinerungen

{{SchaufensterBeginn|Varianten und Verallgemeinerungen}}
=== Silberner Schnitt ===
{{Hauptartikel|Silberner Schnitt}}
[[Datei:01 Silberner Schnitt.svg|mini|hochkant=1.5|Silberner Schnitt im regelmäßigen [[Achteck]], Größenverhältnisse der Streckenteile:<br /> <math>\delta =\frac{2a + b}{a} = \frac{a}{b}</math>]]

Der Silberne Schnitt beschreibt das definierte Größenverhältnis zweier Abschnitte mit unterschiedlicher Größe (oder Länge) einer Strecke (oder eines Bereichs).

Ist etwas „nach dem Silbernen Schnitt geteilt“, so versteht man darunter:
: ''Das Verhältnis der Summe des verdoppelten größeren und des kleineren Teils zum größeren Teil ist gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil.''

Es gilt also:
: <math>\frac{2a+b}{a} = \frac{a}{b}</math>.

Er hat den Wert<ref>{{Internetquelle |autor=Eric Weisstein |url=https://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html |titel=Silver Ratio |hrsg=WolframMathWorld |datum=2021-01-11 |abruf=2022-10-11}}</ref>
: <math> \delta = 1 + \sqrt{2} = 2{,}414\ldots</math>
Ebenso wie der Goldene Schnitt ist er also eine quadratisch-irrationale Zahl. Wegen <math>\delta = 2 + \tfrac{1}{\delta}</math> gilt<ref>{{Internetquelle |autor=Dario Jotanovic |url=http://fbmn.h-da.de/~tksprosem/uploads/Main/JotanovicAusarbeitung.pdf#page=28&zoom=auto,-17,786 |titel=9.1 Silberner Schnitt |werk=Der Goldene Schnitt Implementierung mathematischer Algorithmen |hrsg=Hochschule Darmstadt |seiten=27 |format=PDF |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20210117184955/http://fbmn.h-da.de/~tksprosem/uploads/Main/JotanovicAusarbeitung.pdf |abruf=2022-10-11}}</ref>
: <math>\delta = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \dotsb}}}</math>.

=== Variante über Rechteckflächen ===
Es soll eine gegebene Strecke <math>\mathrm\overline{AB}</math> mit der Länge <math>a</math> um eine Länge <math>x</math> verlängert werden, sodass ein Rechteck mit der Verlängerung <math>x</math> als Breite und <math>a+x</math> als Länge, gleich ist, einem vorab bestimmten Rechteck mit der Länge <math>m</math> und der Breite <math>n</math>. Es soll also<ref name="Unger">Ephraim Salomon Unger: ''Praktische Uebungen für angehende Mathematiker'', Band&nbsp;1: ''Das Berechnen, Verwandeln und Theilen der Figuren.'' F. A. Brockhaus, Leipzig 1828, Abschnitt ''Vermischte Aufgaben'', S.&nbsp;205–206 ({{Google Buch |BuchID=Qpk1AAAAcAAJ |Seite=205 |Linktext=Digitalisat S.&nbsp;205 [Google] |KeinText=ja}}).</ref>
: <math>x\left(x+a \right)=mn</math>
gelten, was sich auf die quadratische Gleichung <math> x^2 + ax - mn = 0</math> reduziert. Daraus ergibt sich über die [[Mitternachtsformel]] sogleich
: <math>x =-\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^2}{4} + mn}</math>
da <math>x > 0</math> gelten soll. Ergeben Konstruktion oder Abmessungen des vorab bestimmten Rechtecks speziell
: <math>mn=a^2</math>
so ergibt sich zusätzlich
: <math>x\left(x+a \right)=a^2\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{a}{a+x}</math>
nach dem Umformen erhält man mit
: <math>\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}</math><ref name="Unger" />
das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes. Die Verlängerung <math>x</math> ist in diesem Falle die mittlere Proportionale, sprich das [[Geometrisches Mittel|geometrische Mittel]], zwischen <math>a-x</math> und <math>a</math>.

[[Ephraim Salomon Unger]] zeigt seinen Weg, der zur Verlängerung <math>x</math> führt:

{{Zitat
 |Text=Man findet also die gesuchte Verlängerung, wenn man die mittlere Proportionale zwischen <math>m</math> und <math>n</math> als die eine Kathete und <math>\tfrac{a}{2}</math> als die andere Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks annimmt; und von der Hypotenuse desselben <math>\tfrac{1}{2}</math> <math>a</math> abschneidet.
 |Autor=Ephraim Salomon Unger
 |Quelle=Praktische Übungen für angehende Mathematiker
 |ref=<ref name="Unger" />}}

[[Datei:01 Goldener Schnitt-Variante.svg|mini|hochkant=1.8|Die beiden Rechtecke <math>\mathrm{AMOP}</math> (blau) und <math>\mathrm{AGFE}</math> (grün) haben den gleichen Flächeninhalt. Der Punkt <math>\mathrm{B}</math> teilt <math>|\mathrm\overline{AM}|</math> im Goldenen Schnitt, sofern <math>mn = a^2</math> gilt.]]

'''Konstruktion'''

(Die Konstruktion wurde, wegen nicht einsehbarer Skizze, der obigen Beschreibung von Unger nachempfunden.)

Es beginnt mit der Halbgeraden <math>\mathrm{g}</math> und dem Abtragen der gegebenen Strecke <math>\mathrm\overline{AB}</math> mit Länge <math>a</math> auf <math>\mathrm{g}</math>. Der Punkt <math>\mathrm{E}</math>, für die Länge <math>m</math> des (grünen) Rechtecks, wird rechts von <math>\mathrm{B}</math> beliebig auf <math>\mathrm{g}</math> gesetzt. Im allgemeinen Fall darf die Breite <math>n</math> frei gewählt werden.

Soll hingegen zum Schluss der Punkt <math>\mathrm{B}</math> die gesuchte Strecke <math>\mathrm{\overline{AM}}</math> mit Länge <math>a+x</math> im Goldenen Schnitt teilen, muss <math>n</math> aus <math>m</math> erst noch bestimmt werden. Hierfür wird die Breite <math>n</math> des Rechtecks mittels des Quadrats <math>\mathrm{ADCB}</math> mit Fläche <math>a^2</math> durch die Verbindung der Punkte <math>\mathrm{D}</math> mit <math>\mathrm{E}</math> und deren Parallele <math>\mathrm\overline{CF}</math> festgelegt. Es folgt das Einzeichnen des Rechtecks <math>\mathrm{AGFE}</math>, dessen Flächeninhalt mit <math>mn=a^2</math> gleich dem des Quadrates <math>\mathrm{ADCB}</math> ist. Diese Vorgehensweise ist in der nebenstehenden Skizze dargestellt. Falls keine stetige Teilung erzielt werden soll, wird dieser erste Schritt weggelassen.

Es folgt der Kreisbogen mit Radius <math>n</math> um <math>\mathrm{E}</math> bis er die Halbgerade <math>\mathrm{g}</math> in <math>\mathrm{H}</math> schneidet. Nach dem Bestimmen des Mittelpunktes <math>\mathrm{I}</math> der Strecke <math>\mathrm\overline{AH}</math> und dem Ziehen des Kreisbogens mit Radius <math>\mathrm{|\overline{IH}|}</math> um <math>\mathrm{I}</math>, wird die Senkrechte zu <math>\mathrm\overline{AH}</math> in <math>\mathrm{E}</math> errichtet, bis sie den Kreisbogen in <math>\mathrm{J}</math> schneidet. Die Strecke <math>\mathrm\overline{EJ}</math> entspricht dem geometrischen Mittel der Längen <math>m</math> und <math>n</math>. Nach dem Halbieren der Strecke <math>\mathrm\overline{AB}</math> in <math>\mathrm{K}</math> wird <math>\mathrm{\overline{AK}}</math> mit Länge <math>\tfrac{a}{2}</math> ab <math>\mathrm{E}</math> auf die Halbgerade <math>\mathrm{g}</math> übertragen und der so erzeugte Schnittpunkt <math>\mathrm{L}</math> mit <math>\mathrm{J}</math> verbunden. Daraus ergibt sich das rechtwinklige Dreieck <math>\mathrm{ELJ}</math>. Der sich anschließende Kreisbogen mit Radius <math>\tfrac{a}{2}</math> um <math>\mathrm{J}</math> liefert mit <math>\mathrm\overline{LN}</math> die gesuchte Länge <math>x</math>. Die Übertragung der Länge <math>x</math> auf <math>\mathrm{g}</math> ab <math>\mathrm{B}</math> erzeugt die Gesamtstrecke <math>\mathrm\overline{AM}</math> mit Länge <math>a+x</math>.

Der Punkt <math>\mathrm{B}</math> teilt somit die Streckenlänge <math>|\mathrm\overline{AM}|</math> im Goldenen Schnitt, sofern <math>mn = a^2</math> gilt.

Das abschließend errichtete blaue Rechteck <math>\mathrm{AMOP}</math> über <math>\mathrm\overline{AM}</math> mit der Breite <math>x</math> hat ganz allgemein den gleichen Flächeninhalt wie das grüne Rechteck <math>\mathrm{AGFE}</math>.

=== Kubische Varianten ===
Man definiert die [[Perrin-Folge]] rekursiv durch <math>g_0 := 3</math>, <math>g_1 := 0</math>, <math>g_2 := 2</math>, und <math>g_{n} = g_{n-2} + g_{n-3}</math> für alle <math> \geq 3</math>. Ähnlich wie sich die Quotienten nacheinander folgender [[Fibonacci-Zahl]]en dem Goldenen Schnitt nähern, folgt für die Perrin-Zahlen
: <math> \lim_{ \to \infty} \frac{g_{n+1}}{g_n} = \psi</math>
wobei <math>\psi > 0</math> die charakteristische Gleichung <math>\psi^3 - \psi - 1 = 0</math> erfüllt. Durch Radikale ausgedrückt ergibt sich
: <math>\psi = \sqrt[3]{\tfrac12 + \tfrac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{\tfrac12 + \tfrac{\sqrt{69}}{18}}} = 1{,}3247 \ldots</math>
Ähnlich wie beim Goldenen Schnitt besitzt auch <math>\psi</math> eine Entwicklung als Kettenwurzel, dieses Mal jedoch kubisch:
: <math>\psi = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \cdots }}}</math>.
In Anlehnung an die Goldene Konstante wird <math>\psi</math> gelegentlich auch als „Plastik-Konstante“ bezeichnet.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants'' (=&nbsp;''Encyclopedia of Mathematics and its Applications, [https://sites.oxy.edu/lengyel/originals/0521818052ws.pdf#page=18&zoom=auto,72,727 1.2.1 Analysis of a Radical Expansion]'', Band&nbsp;94). Cambridge University Press, 2003, S.&nbsp;8–9.</ref>

Im Falle der „[[Tribonacci-Folge]]“ <math>h_0 = h_1 := 0</math>, <math>h_2 := 1</math> und <math>h_n := h_{n-1} + h_{n-2} + h_{n-2}</math> für <math>n \geq 3</math> gilt
: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{h_{n+1}}{h_n} = \chi = \sqrt[3]{\tfrac{19}{27} + \tfrac{\sqrt{33}}{9}} + \frac{4}{9\sqrt[3]{\tfrac{19}{27} + \tfrac{\sqrt{33}}{9}}} = 1{,}8392\ldots</math>.
Es erfüllt <math>\chi</math> die Gleichung <math>\chi^3 - \chi^2 - \chi - 1 = 0</math>.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants'' (=&nbsp;''Encyclopedia of Mathematics and its Applications, [https://sites.oxy.edu/lengyel/originals/0521818052ws.pdf#page=19&zoom=auto,72,727 1.2 The Golden Mean,&nbsp;φ]'', Band&nbsp;94). Cambridge University Press, 2003, S.&nbsp;9.</ref>

=== Verallgemeinerte Kettenbrüche ===
Das Konzept der [[Kettenbruchentwicklung]] lässt sich für ganze positive Zahlen <math>p,q</math> verallgemeinern durch
: <math> w(p,q) := q + \frac{p + \frac{1}{q + \frac{p + \cdots}{q + \cdots}}}{q + \frac{p + \frac{1+\cdots}{q+\cdots}}{q + \frac{p + \cdots}{q + \cdots}}}</math>.
Dies entspricht einer [[fraktal]]en Konstruktion durch die iterative Anwendung der Ersetzungsregeln
: <math> p \mapsto p + \frac{1}{q}, \qquad q \mapsto q + \frac{p}{q}</math>.
Dieser verallgemeinerte Kettenbruch konvergiert stets gegen die positive Lösung der Gleichung<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants'' (=&nbsp;''Encyclopedia of Mathematics and its Applications, [https://sites.oxy.edu/lengyel/originals/0521818052ws.pdf#page=13&zoom=auto,72,727 1.1.1 Generalized Continued Fractions]'', Band&nbsp;94). Cambridge University Press, 2003, S.&nbsp;3.</ref>
: <math>x^3 - qx^2 - px - 1 = 0</math>.
Setzt man in diesem Beispiel also insbesondere <math>p=q=1</math>, so ergibt sich als Grenzwert die Zahl <math>\chi</math>, die eine kubische Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes darstellt.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants'' (=&nbsp;''Encyclopedia of Mathematics and its Applications, [https://sites.oxy.edu/lengyel/originals/0521818052ws.pdf#page=19&zoom=auto,72,727 1.2 The Golden Mean,&nbsp;φ]'', Band&nbsp;94). Cambridge University Press, 2003, S.&nbsp;9.</ref>

=== Asymptotik zufälliger Fibonacci-Folgen ===
Setzt man <math>x_0 = x_1 := 1</math>, sowie
: <math> x_n = \pm \ x_{n-1} \pm x_{n-2}</math>
für <math>n \geq 2</math>, wobei die Vorzeichen durch unabhängige [[Zufallsvariable]]n mit gleichen [[Wahrscheinlichkeitsrechnung|Wahrscheinlichkeiten]] für <math>\pm 1</math> gegeben sind, zeigte D.&nbsp;Viswanadt<ref>D. Viswanadt: ''Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824…'' In: Math. Comp.&nbsp;69, 2000, S.&nbsp;1131–1155.</ref>
: <math> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|x_n|} = 1{,}13198824 \ldots</math>
mit Wahrscheinlichkeit 1. Die gewöhnliche Fibonacci-Folge, die sich in dieser Art Limes dem Goldenen Schnitt annähert, entspricht dem Extremfall, dass die Zufallsgrößen stets den Wert <math>+1</math> annehmen, was aber mit einer (asymptotischen) Wahrscheinlichkeit von 0&nbsp;Prozent eintritt.<ref>Steven R. Finch: ''Mathematical Constants'' (=&nbsp;''Encyclopedia of Mathematics and its Applications, [https://sites.oxy.edu/lengyel/originals/0521818052ws.pdf#page=20&zoom=auto,72,661 1.2.4 Random Fibonacci Sequences]'', Band&nbsp;94). Cambridge University Press, 2003, S.&nbsp;10.</ref>
{{SchaufensterEnde|Varianten und Verallgemeinerungen}}