Goldener Schnitt/Varianten und Verallgemeinerungen

Silberner Schnitt

Silberner Schnitt im regelmäßigen Achteck, Größenverhältnisse der Streckenteile:
$\delta =\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}$

Der Silberne Schnitt beschreibt das definierte Größenverhältnis zweier Abschnitte mit unterschiedlicher Größe (oder Länge) einer Strecke (oder eines Bereichs).

Ist etwas „nach dem Silbernen Schnitt geteilt“, so versteht man darunter:

Das Verhältnis der Summe des verdoppelten größeren und des kleineren Teils zum größeren Teil ist gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil.

Es gilt also:

$\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}$.

Er hat den Wert

$\delta =1+\sqrt{2}=\mathrm{2,414}\dots$

Ebenso wie der Goldene Schnitt ist er also eine quadratisch-irrationale Zahl. Wegen $\delta =2+\frac{1}{\delta }$ gilt

$\delta =2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots }}}$.

Variante über Rechteckflächen

Es soll eine gegebene Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ mit der Länge $a$ um eine Länge $x$ verlängert werden, sodass ein Rechteck mit der Verlängerung $x$ als Breite und $a+x$ als Länge, gleich ist, einem vorab bestimmten Rechteck mit der Länge $m$ und der Breite $n$. Es soll also

$x(x+a)=mn$

gelten, was sich auf die quadratische Gleichung $x^2+ax-mn=0$ reduziert. Daraus ergibt sich über die Mitternachtsformel sogleich

$x=-\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{4}+mn}$

da $x>0$ gelten soll. Ergeben Konstruktion oder Abmessungen des vorab bestimmten Rechtecks speziell

$mn=a^2$

so ergibt sich zusätzlich

$x(x+a)=a^2\Rightarrow \frac{x}{a}=\frac{a}{a+x}$

nach dem Umformen erhält man mit

$\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}$

das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes. Die Verlängerung $x$ ist in diesem Falle die mittlere Proportionale, sprich das geometrische Mittel, zwischen $a-x$ und $a$.

Ephraim Salomon Unger zeigt seinen Weg, der zur Verlängerung $x$ führt:

„Man findet also die gesuchte Verlängerung, wenn man die mittlere Proportionale zwischen $m$ und $n$ als die eine Kathete und $\frac{a}{2}$ als die andere Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks annimmt; und von der Hypotenuse desselben $\frac{1}{2}$ $a$ abschneidet.“

– Ephraim Salomon Unger: Praktische Übungen für angehende Mathematiker

Die beiden Rechtecke $\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{O}\mathrm{P}$ (blau) und $\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{F}\mathrm{E}$ (grün) haben den gleichen Flächeninhalt. Der Punkt $\mathrm{B}$ teilt $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}|$ im Goldenen Schnitt, sofern $mn=a^2$ gilt.

Konstruktion

(Die Konstruktion wurde, wegen nicht einsehbarer Skizze, der obigen Beschreibung von Unger nachempfunden.)

Es beginnt mit der Halbgeraden $\mathrm{g}$ und dem Abtragen der gegebenen Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ mit Länge $a$ auf $\mathrm{g}$. Der Punkt $\mathrm{E}$, für die Länge $m$ des (grünen) Rechtecks, wird rechts von $\mathrm{B}$ beliebig auf $\mathrm{g}$ gesetzt. Im allgemeinen Fall darf die Breite $n$ frei gewählt werden.

Soll hingegen zum Schluss der Punkt $\mathrm{B}$ die gesuchte Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}$ mit Länge $a+x$ im Goldenen Schnitt teilen, muss $n$ aus $m$ erst noch bestimmt werden. Hierfür wird die Breite $n$ des Rechtecks mittels des Quadrats $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{B}$ mit Fläche $a^2$ durch die Verbindung der Punkte $\mathrm{D}$ mit $\mathrm{E}$ und deren Parallele $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$ festgelegt. Es folgt das Einzeichnen des Rechtecks $\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{F}\mathrm{E}$, dessen Flächeninhalt mit $mn=a^2$ gleich dem des Quadrates $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{B}$ ist. Diese Vorgehensweise ist in der nebenstehenden Skizze dargestellt. Falls keine stetige Teilung erzielt werden soll, wird dieser erste Schritt weggelassen.

Es folgt der Kreisbogen mit Radius $n$ um $\mathrm{E}$ bis er die Halbgerade $\mathrm{g}$ in $\mathrm{H}$ schneidet. Nach dem Bestimmen des Mittelpunktes $\mathrm{I}$ der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{H}}$ und dem Ziehen des Kreisbogens mit Radius $\mathrm{|}\overline{\mathrm{I}\mathrm{H}}\mathrm{|}$ um $\mathrm{I}$, wird die Senkrechte zu $\overline{\mathrm{A}\mathrm{H}}$ in $\mathrm{E}$ errichtet, bis sie den Kreisbogen in $\mathrm{J}$ schneidet. Die Strecke $\overline{\mathrm{E}\mathrm{J}}$ entspricht dem geometrischen Mittel der Längen $m$ und $n$. Nach dem Halbieren der Strecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ in $\mathrm{K}$ wird $\overline{\mathrm{A}\mathrm{K}}$ mit Länge $\frac{a}{2}$ ab $\mathrm{E}$ auf die Halbgerade $\mathrm{g}$ übertragen und der so erzeugte Schnittpunkt $\mathrm{L}$ mit $\mathrm{J}$ verbunden. Daraus ergibt sich das rechtwinklige Dreieck $\mathrm{E}\mathrm{L}\mathrm{J}$. Der sich anschließende Kreisbogen mit Radius $\frac{a}{2}$ um $\mathrm{J}$ liefert mit $\overline{\mathrm{L}\mathrm{N}}$ die gesuchte Länge $x$. Die Übertragung der Länge $x$ auf $\mathrm{g}$ ab $\mathrm{B}$ erzeugt die Gesamtstrecke $\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}$ mit Länge $a+x$.

Der Punkt $\mathrm{B}$ teilt somit die Streckenlänge $|\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}|$ im Goldenen Schnitt, sofern $mn=a^2$ gilt.

Das abschließend errichtete blaue Rechteck $\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{O}\mathrm{P}$ über $\overline{\mathrm{A}\mathrm{M}}$ mit der Breite $x$ hat ganz allgemein den gleichen Flächeninhalt wie das grüne Rechteck $\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{F}\mathrm{E}$.

Kubische Varianten

Man definiert die Perrin-Folge rekursiv durch $g_0:=3$, $g_1:=0$, $g_2:=2$, und $g_n=g_{n-2}+g_{n-3}$ für alle $\ge 3$. Ähnlich wie sich die Quotienten nacheinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähern, folgt für die Perrin-Zahlen

$\underset{\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{g_{n+1}}{g_n}=\psi$

wobei $\psi >0$ die charakteristische Gleichung ${\psi }^3-\psi -1=0$ erfüllt. Durch Radikale ausgedrückt ergibt sich

$\psi =\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{69}}{18}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{69}}{18}}}=\mathrm{1,3247}\dots$

Ähnlich wie beim Goldenen Schnitt besitzt auch $\psi$ eine Entwicklung als Kettenwurzel, dieses Mal jedoch kubisch:

$\psi =\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots }}}$.

In Anlehnung an die Goldene Konstante wird $\psi$ gelegentlich auch als „Plastik-Konstante“ bezeichnet.

Im Falle der „Tribonacci-Folge“ $h_0=h_1:=0$, $h_2:=1$ und $h_n:=h_{n-1}+h_{n-2}+h_{n-2}$ für $n\ge 3$ gilt

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{h_{n+1}}{h_n}=\chi =\sqrt[3]{\frac{19}{27}+\frac{\sqrt{33}}{9}}+\frac{4}{9\sqrt[3]{\frac{19}{27}+\frac{\sqrt{33}}{9}}}=\mathrm{1,8392}\dots$.

Es erfüllt $\chi$ die Gleichung ${\chi }^3-{\chi }^2-\chi -1=0$.

Verallgemeinerte Kettenbrüche

Das Konzept der Kettenbruchentwicklung lässt sich für ganze positive Zahlen $p,q$ verallgemeinern durch

$w(p,q):=q+\frac{p+\frac{1}{q+\frac{p+\cdots }{q+\cdots }}}{q+\frac{p+\frac{1+\cdots }{q+\cdots }}{q+\frac{p+\cdots }{q+\cdots }}}$.

Dies entspricht einer fraktalen Konstruktion durch die iterative Anwendung der Ersetzungsregeln

$p\mapsto p+\frac{1}{q},q\mapsto q+\frac{p}{q}$.

Dieser verallgemeinerte Kettenbruch konvergiert stets gegen die positive Lösung der Gleichung

$x^3-q{x}^2-px-1=0$.

Setzt man in diesem Beispiel also insbesondere $p=q=1$, so ergibt sich als Grenzwert die Zahl $\chi$, die eine kubische Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes darstellt.

Asymptotik zufälliger Fibonacci-Folgen

Setzt man $x_0=x_1:=1$, sowie

$x_n=\pm x_{n-1}\pm x_{n-2}$

für $n\ge 2$, wobei die Vorzeichen durch unabhängige Zufallsvariablen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten für $\pm 1$ gegeben sind, zeigte D. Viswanadt

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|x_n|}=\mathrm{1,13198824}\dots$

mit Wahrscheinlichkeit 1. Die gewöhnliche Fibonacci-Folge, die sich in dieser Art Limes dem Goldenen Schnitt annähert, entspricht dem Extremfall, dass die Zufallsgrößen stets den Wert $+1$ annehmen, was aber mit einer (asymptotischen) Wahrscheinlichkeit von 0 Prozent eintritt.