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4.3. GRENZGÄNGE. 

=== ''DE CIRCULI QUADRATURA'' ===
Fünf Jahre dauert es, bis Nikolaus sich mit ''[[Werk:De circuli quadratura|De circuli quadratura]]'' erneut nachweisbar dem [[Rektifikationsproblem]] zuwendet. Für wen die Schrift ursprünglich bestimmt war, ist nicht bekannt. Sicher ist nur, dass ihr Adressat sowohl in theologischen Fragen bewandert als auch mit dem mathematischen Spezialproblem der [[Kreisquadratur]] vertraut gewesen sein muss. Hierüber geben Nikolaus’ einleitende Grußworte an den unbekannten Empfänger der Schrift Auskunft.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/681}}</ref> Unter den bekannten Freunden des Kusaners kommen vor allem Bessarion und Kardinal [[Giuliano Cesarini der Ältere|Giuliano Cesarini]] († 1444) als Empfänger der Schrift in Frage. Aber auch der Spanier [[Antonio Cerdà i Lloscos|Antonius de la Cerda]] (†1459), seit 1448 Kurienkardinal in Rom, könnte Adressat des Schreibens ''[[Werk:De circuli quadratura|Über die Quadratur des Kreises]]'' gewesen sein. Immerhin hat Nikolaus de la Cerda auf dessen ausdrückliches Anbitten hin später die Abhandlung ''[[Werk:De mathematica perfectione|De mathematica perfectione]]'' übersandt.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/682}}</ref>

Der Traktat ''[[Werk:De circuli quadratura|De circuli quadratura]]'', den Nikolaus 1450 in [[Rieti]] (in der italienischen Provinz [[Latium]]) fertig stellte, ist in keinen der Renaissance-Drucke eingegangen, was vielleicht daran liegen mag, dass die Abhandlung in methodischer Hinsicht nicht über das in den ''[[Geometrischen Verwandlungen (Cusanus)|Geometrischen Verwandlungen]]'' und den ''[[Arithmetischen Ergänzungen (Cusanus)|Arithmetischen Ergänzungen]]'' Verhandelte hinausgeht. In der Hauptsache liefert sie lediglich einige ausführliche Erläuterungen zum [[Kreistriangulaturverfahren (Cusanus)|Kreistriangulaturverfahren]] aus der [[erste Prämisse (Transmutationes geometricae)|ersten Prämisse]] der ''[[Transmutationes geometricae (Cusanus)|Transmutationes geometricae]]''.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/683}}</ref> Das eröffnet auch einen interessanten Einblick in die Einschätzung, die Nikolaus selbst in der Zwischenzeit von dem bisher Geleisteten gewonnen hatte. Ganz offensichtlich hatte nur die erste Prämisse aus den ''[[Transmutationes (Cusanus)|Transmutationes]]'' einer kritischen Revision einigermaßen Stand gehalten. Mehr ist von den ''[[Geometrischen Verwandlungen (Cusanus)|Geometrischen Verwandlungen]]'' fünf Jahre nach ihrer Fertigstellung nicht geblieben.

Die Schrift ist, weit stärker noch als die Druckfassungen [[Werk:De arithmeticis complementis|''De arithmeticis'' ''complementis'']], ein Kompendium methodologischer Vorüberlegungen zu und philosophischer Implikationen aus der Kreisquadratur. Dabei geht Nikolaus in bis dato unbekannter Ausführlichkeit auch systematisch auf wissenschaftshistorische Zusammenhänge ein. Hierzu stellte er in ''[[Werk:De circuli quadratura|De circuli quadratura]]'' die zwei konträren Grundpositionen seiner Zeitgenossen hinsichtlich der Quadrierbarkeit des Kreises gegenüber.
[[Datei:Brysonsche Näherung Kreisquadratur nach Hofmann zu Mutmaßungen.png|mini|300x300px|Zur Brysonschen Näherung der Kreisquadratur, nach: Hofmann: ''[[Mutmaßungen (Cusanus)|Mutmaßungen]]'', S. 203]]
Die formale Anlage wird in diesem Zusammenhang bestimmt durch eine geradezu dialektische Fassung des Rektifikationsproblems. Befürworter und Gegner der Quadrierbarkeit des Kreises lässt Nikolaus gesondert zu Wort kommen, wie so häufig allerdings ohne dem Leser seine konkreten Bezugsquellen zu offenbaren. 

Zunächst behandelt er die Argumente der Befürworter einer exakten ''[[quadratura|Quadratura]]''. Hofmann hat in diesem Zusammenhang jene, die laut Nikolaus die Kreisquadratur und Kurvenausstreckung für möglich halten, als Anhänger des [[Bryson von Herakleia]]<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/684}}</ref> identifiziert.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/685}}</ref>

Dessen Quadraturerwägungen behandelt unter anderen Aristoteles in der ''Zweiten Analytik ([[Analytica posteriora (Aristoteles)|Analytica posteriora]])''.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/686}}</ref> Sein Kommentator [[Johannes Philoponos]] (6. Jahrhundert n. Chr.)<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/687}}</ref> hat den Ausführungen des Aristoteles einige eingehendere Erläuterungen zum Brysonschen Verfahren anfügt. Demnach beruht es auf der folgenden Grundkonstruktion:

Zu einem beliebigen Kreis werden das umschreibende und das einbeschriebene Quadrat konstruiert. Es ist leicht einzusehen, dass das Umquadrat (Seitenlänge <math>2r</math>) einen größeren, das Inquadrat (Seitenlänge <math>\sqrt{2r^2}</math>) einen kleineren Umfang als der gegebene Kreis haben.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/688}}</ref> Bryson hat daraus mutmaßlich geschlossen, dass das gesuchte zum Grundkreis isoperimetrische Quadrat zwischen (''[[intermedium]]'') In- und Umquadrat liegen müsse.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/689}}</ref> Diese grundlegende Erkenntnis ergibt sich aus der reinen Anschauung und ist an sich kaum bemerkenswert, zumal Bryson seine Ausführungen nicht weiter präzisiert hat.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/690}}</ref>

Das Ganze ist natürlich kein Quadraturverfahren im eigentlichen Sinne, sondern eine methodische Prämisse, die, wie [[Oskar Becker (Philosoph)|Oskar Becker]] gezeigt hat, schlicht auf einen ''[[Zwischenwertsatz]]'' hinausläuft, wie er auch in der modernen [[Analysis]] Anwendung findet.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/691}}</ref> Der Brysonsche Satz über die Kreisquadratur formuliert (vereinfachend gesprochen) den allgemeinen Grundsatz, dass dort, wo sich zu einem gegebenen quantitativen Wert ein ‚größer‘ und ein ‚kleiner‘ finden lassen, stets auch das Vorhandensein einer dem gegebenen Wert gleichen Größe postuliert werden kann. Nikolaus fasst diese Bedingung in den folgenden Existenzsatz: ''Ubi'' ''est dabile magis et minus est et dabile equale.''<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/692}}</ref>

Nur wenn diese Zwischenüberlegung als gültig angesehen wird, kann für Nikolaus die exakte Quadratur des Kreises überhaupt statthaben. Zur Veranschaulichung gibt er, genau wie Bryson, eine elementare Näherungskonstruktion aus Kreis und zugehörigen In- und Umquadraten, um dann aber sogleich die Unzulänglichkeit der ganzen Überlegung zu unterstreichen:<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/693}}</ref> Insofern nämlich die Kreisfläche ''im Vergleich zu den Vieleckflächen, die ein Größer und Kleiner zulassen und die Kreisfläche daher nicht erreichen, das schlechthin Größte'' ist,<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/694}}</ref> greift beim Zwischenwertsatz die ''[[regula doctae ignorantiae]]: In recipientibus maius et'' ''minus non devenitur ad maximum simpliciter in esse et posse.''<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/695}}</ref>

Aus dem gleichen Grund hatte Nikolaus bereits in ''[[Werk:De geometricis transmutationibus|De transmutationibus geometricis]]'' die vollständige Ausrundung von Vielecken durch stete Erhöhung der Eckenzahl als unzulänglich abgelehnt. In ''[[Werk:De circuli quadratura|De circuli quadratura]]'' wird dieser Diskurs aber differenzierter geführt, denn er steht hier offensichtlich in einem sehr konkreten Sachzusammenhang: Nikolaus’ Abwägungen laufen auf das Problem der [[Kontingenzwinkel]] hinaus.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/696}}</ref> Dass Nikolaus dabei seine Argumentation hauptsächlich auf die Betrachtung von Kreis- und Polygonflächen stützt, steht dem insofern nicht entgegen, als die cusanische Winkeldefinition sich ja durchgängig an der Fläche orientiert.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/697}}</ref> Mit großer Sicherheit hat Nikolaus dabei die [[Elementa (Campanus)|Campanus-Bearbeitung der ''Elementa'']], von der er eigene Abschrift besaß, als Grundlage gedient. Dort findet sich im Zusammenhang mit dem Problem der Teilbarkeit von Kontingenzwinkeln mittels geradliniger Winkel, die Campanus in einem Zusatz zu ''Elem.'' ''3,15'' (arabischer Zählung)<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/698}}

{</ref> ausdrücklich für undurchführbar hält, die folgende signifikante Konklusion:<blockquote>''Ex hac nota, quod <u>non valet ista argumentatio</u>. Hoc transit a minore ad maius et per omnia media, ergo per [a]equale. Nec ista. Contingit reperire maius hoc et minus eodem, ergo contingit reperire [a]equale.''<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/699}}</ref></blockquote>Dem stimmt Nikolaus zunächst auch eindeutig zu. Das hält ihn nun aber keineswegs davon ab, in ''De circuli quadratura'', genau wie in den ersten beiden Prämissen der ''Transmutationes'', wie selbstverständlich Zwischenwertbetrachtungen anzustellen. Nikolaus stellt sich mit seiner Ablehnung des Zwischenwertprinzips also nur scheinbar auf die Seite der strengen Skeptiker. Fasst man den Begriff der Gleichheit nämlich so, ''dass einem anderen gleich ist, was um keinen rationalen –'' ''auch nicht den allerkleinsten – Bruchteil das andere übertrifft oder von ihm übertroffen wird,''<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/700}}</ref> dann sind nach Nikolaus’ Vorstellung Zwischenwertbetrachtungen durchaus zulässig und die Kreisquadratur in bis auf mathematisch nicht mehr unterscheidbare Bruchteile möglich.

Nur ein <u>absolut</u> gefasster Gleichheitsbegriff verbietet die Angleichung von Kreis und Vieleck. Befürworter und Gegner der Kreisquadratur unterscheiden sich bei Nikolaus also vor allem in ihren Grundauffassungen bezüglich des Begriffs der mathematischen Gleichheit. Er vermittelt nun zwischen beiden Positionen mit den Werkzeugen der eigenen Erkenntnislehre. Im Bereich der sinnlichen Welt lassen sich mittels Zirkel und Lineal Kreis und Vieleck tatsächlich, wie die Befürworter der Kreisquadratur annehmen, so ineinander umwandeln, dass die menschliche ''ratio'' als übergeordnete Entscheidungsinstanz keinerlei Abweichungen zwischen den Figuren mehr feststellen kann. Da es in der Welt des Sinnlichen die letzte Genauigkeit nicht geben kann, muss dort an die Stelle der ''absoluten'' Gleichheit die ''näherungsweise'', ‚rationale‘ Gleichheit als treten.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/701}}</ref> In ''De circuli'' ''quadratura'' erscheint damit die grundsätzliche Geschiedenheit von ‚Geradem‘ und ‚Gekrümmtem‘ gegenüber den früheren Schriften in deutlich relativierter Form.

Was Nikolaus nun an konkreten Vorschriften folgen lässt, ist schnell zusammengefasst. Noch einmal wird das Triangulaturverfahren aus ''De geometricis'' ''transmutationibus'' ausführlich dargestellt, diesmal aber mit spürbar größerer Selbstsicherheit. Aus seinen sorgfältigen Abwägungen zur grundsätzlichen Durchführbarkeit der Quadratur schöpft Nikolaus nun sogar soviel Vertrauen in die eigene Methode, dass er sie mit dem Nachreichen des tatsächlich sehr guten numerischen Ergebnisses für die Triangulatur untermauert. Dieses hält er dann selbstbewusst nicht nur für annähernd, sondern im Sinne seiner Ausführungen zum mathematischen Gleichheitsbegriff für nicht verbesserungsfähig. Die Ungenauigkeit der Näherung beginnt dagegen in Wirklichkeit schon im Bereich von ''[[Terz (Winkel)|Terzen]]''.<ref>{{Schaufenster|Seite=Anmerkung:Verborgene Zahl – Verborgener Gott/702}}</ref>

''De circuli quadratura'' ist nicht als eigenständiger mathematischer Beitrag gedacht gewesen, sondern diente Nikolaus vorrangig dazu, eine formale Rechtfertigung für seine Methodik zu finden. Wirklich neue Ansätze für die Quadratur sollten länger auf sich warten lassen.