„sphärischer Winkel“ – Versionsunterschied
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Dreiecke auf einer [[Kugel]], deren drei Seiten Teile von [[Großkreis]]en sind, nennt man [[Sphäre (Mathematik)|sphärische]] Dreiecke oder Kugeldreiecke. Ihre Seitenlängen werden nicht in der [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] einer [[Länge (Mathematik)|Länge]] angegeben (Meter, Zentimeter o. ä.), sondern als zugehöriger [[Winkel]] im Kugelmittelpunkt. | |||
Ein [[sphärisches Dreieck]] hat eine [[Winkelsumme]] größer als 180°. Der „Überschuss“ wird [[sphärischer Exzess]] genannt und in Formeln meist mit <math>\varepsilon</math> bezeichnet: | |||
:<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ + \varepsilon</math>. | |||
Der maximale Exzess von 360° tritt bei einem „Dreieck“ mit drei auf 180° gestreckten Winkeln auf. Dieses zum [[Großkreis]] entartete Dreieck hat die [[Winkelsumme]] 3 · 180° = 540° und <math>\varepsilon = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ</math>. | |||
Der Exzess hängt direkt mit dem [[Flächeninhalt]] <math>F</math> des Dreiecks zusammen: | |||
:<math>\varepsilon = \frac{F}{R^2}</math>, bzw. in Grad <math>\displaystyle\varepsilon = \frac{180^\circ \cdot F}{\pi \cdot R^2}</math>, | |||
wobei <math>R</math> den [[Kugelradius]] und <math>\pi</math> die [[Kreiszahl]] bedeutet. | |||
Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es in der [[Geodäsie]] z. B. den sphärischen Sinussatz, den Kosinussatz, den [[Formelsammlung Trigonometrie#Projektionssatz|Projektionssatz]] und verschiedene Halbwinkelsätze gibt – siehe [[Sphärische Trigonometrie]]. | |||
Version vom 22. Juni 2025, 08:26 Uhr
sphärisch-er Winkel einer der Winkel eines Kugeldreieck
Dreiecke auf einer Kugel, deren drei Seiten Teile von Großkreisen sind, nennt man sphärische Dreiecke oder Kugeldreiecke. Ihre Seitenlängen werden nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, Zentimeter o. ä.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt.
Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°. Der „Überschuss“ wird sphärischer Exzess genannt und in Formeln meist mit bezeichnet:
- .
Der maximale Exzess von 360° tritt bei einem „Dreieck“ mit drei auf 180° gestreckten Winkeln auf. Dieses zum Großkreis entartete Dreieck hat die Winkelsumme 3 · 180° = 540° und .
Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen:
- , bzw. in Grad ,
wobei den Kugelradius und die Kreiszahl bedeutet.
Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es in der Geodäsie z. B. den sphärischen Sinussatz, den Kosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt – siehe Sphärische Trigonometrie.