sphärischer Winkel

sphärisch-er Winkel einer der Winkel eines Kugeldreieck

Sphärisches Dreieck (Kugeldreieck)

Sphärische Dreiecke

→ Hauptartikel: Kugeldreieck

Dreiecke auf einer Kugel, deren drei Seiten Teile von Großkreisen sind, nennt man sphärische Dreiecke oder Kugeldreiecke. Ihre Seitenlängen werden nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, Zentimeter o. ä.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt.

Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°. Der „Überschuss“ wird sphärischer Exzess genannt und in Formeln meist mit $\epsilon$ bezeichnet:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }+\epsilon$.

Der maximale Exzess von 360° tritt bei einem „Dreieck“ mit drei auf 180° gestreckten Winkeln auf. Dieses zum Großkreis entartete Dreieck hat die Winkelsumme 3 · 180° = 540° und $\epsilon =540^{\circ }-180^{\circ }=360^{\circ }$.

Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt $F$ des Dreiecks zusammen:

$\epsilon =\frac{F}{R^2}$, bzw. in Grad $\epsilon =\frac{180^{\circ }\cdot F}{\pi \cdot R^2}$,

wobei $R$ den Kugelradius und $\pi$ die Kreiszahl bedeutet.

Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es in der Geodäsie z. B. den sphärischen Sinussatz, den Kosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt – siehe Sphärische Trigonometrie.