Umkreisradius

Umkreis-Radius

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:

$r_u=\frac{a}{2\cdot \sin (\alpha )}=\frac{b}{2\cdot \sin (\beta )}=\frac{c}{2\cdot \sin (\gamma )}$

Dabei stehen die Bezeichnungen $a,b,c$ für die Seitenlängen und $\alpha ,\beta ,\gamma$ für die Größen der den Seiten mit den Längen $a,b,c$ gegenüberliegenden Innenwinkel. Durch Erweitern obiger Brüche mit einer Dreiecksseite entstehen Formeln mit den Höhen $h_a,h_b$ und $h_c$ der von $A<,B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $ABC$:

$r_u=\frac{ab}{2h_c}=\frac{bc}{2h_a}=\frac{ca}{2h_b}$

Der Flächeninhalt $A$ lässt sich z. B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen und es gilt:

$r_u=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot A}$

Für den Spezialfall des gleichseitigen Dreiecks ergibt das:

$r_u=\frac{a}{\sqrt{3}}$