Euklid

Euklid agr.-deu.; v. agr. euklês (agr. eu-, “gut” +‎ -klês, “Ruhm”.) +‎ -ídēs "Sohn von" (wie mac in engl.),

Euklid

Darstellung Euklids, Oxford University Museum

Euklid von Alexandria, kurz Euklid (altgriechisch Εὐκλείδης Eukleídēs, latinisiert Euclῑdēs), war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria gelebt hat. Er gilt als „Vater der Geometrie“ und ist Namensgeber für die euklidische Geometrie zur anschaulichen Darstellung des zwei- und dreidimensionalen Raums.

Leben

Euclid by Jusepe de Ribera, c. 1630–1635[1]

Über das Leben Euklids ist fast nichts bekannt. Aus einer Notiz bei Pappos hat man geschlossen, dass er im ägyptischen Alexandria wirkte. Die Lebensdaten sind unbekannt. Die Annahme, dass er um 300 v. Chr. gelebt hat, beruht auf einem Verzeichnis von Mathematikern bei Proklos. Andere Indizien lassen vermuten, dass Euklid etwas älter als Archimedes (ca. 285–212 v. Chr.) war.

Verwechlung von Euklid von Alexandria mit Euklid von Megara Domenico Maroli's Gemälde „Euklide di Megara si traveste da donna per recarsi ad Atene a seguire le lezioni di Socrate“ aus den 1650er Jahren [Euklid von Megara verkleidet sich als Frau, um Sokrates Lehren in Athen zu hören]. Damals galten Euklid, der Philosoph, und Euklid, der Mathematiker, fälschlicherweise als dieselbe Person, weshalb dieses Gemälde mathematische Objekte auf dem Tisch zeigt.

Aus einer Stelle bei Proklos hat man auch geschlossen, dass er um das Jahr 360 v. Chr. in Athen geboren wurde, dort seine Ausbildung an der Platonischen Akademie erhielt und dann zur Zeit Ptolemaios I. (ca. 367–283 v. Chr.) in Alexandria wirkte.

Er sollte nicht mit Euklid von Megara verwechselt werden, wie das bis in die frühe Neuzeit häufig geschah, was dazu führte, dass der Name des Euklid von Megara auch auf den Titeln der Ausgaben der Elemente erschien.

In diesem Zusammenhang gibt es unter Historikern Diskussionen, inwieweit Euklid von Alexandria die ihm zugeschriebenen Werke überhaupt selbst verfasst hat. Der Mathematikhistoriker Jean Itard formulierte hierzu im Jahr 1961 drei Hypothesen:

1. Euklid war eine Einzelperson, die alle die Werke zusammenfügte, die man ihm heute zuschreibt.
2. Euklid war eine Einzelperson, die das Oberhaupt einer Schule war, deren Schüler auch nach seinem Tode noch unter seinem Namen publizierten.
3. Euklid war eine Gruppe von alexandrinischen Mathematikern, die unter dem Namen Euklid von Megara veröffentlichten.

Die zweite Hypothese wurde von Itard favorisiert.

Werke

Eines der ältesten Papyrus-Fragmente der Elemente aus Oxyrhynchos (P.Oxy. I 29)

Die überlieferten Werke umfassen sämtliche Bereiche der antiken griechischen Mathematik: das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie (Elemente, Data), Musiktheorie (Die Teilung des Kanon), eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlösungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus (Porismen) sowie die physikalischen bzw. angewandten Werke (Optik, astronomische Phänomene).

Elemente

→ Hauptartikel: Elemente (Euklid)

In seinem berühmtesten Werk Elemente (altgriechisch Στοιχεῖα Stoicheia ‚Anfangsgründe‘, ‚Prinzipien‘, ‚Elemente‘) trug er das Wissen der griechischen Mathematik seiner Zeit zusammen. Er zeigte darin die Konstruktion geometrischer Objekte, natürlicher Zahlen sowie bestimmter Größen und untersuchte deren Eigenschaften. Dazu benutzte er Definitionen, Postulate (nach Aristoteles Grundsätze, die akzeptiert oder abgelehnt werden können) und Axiome (nach Aristoteles allgemeine und unbezweifelbare Grundsätze). Viele Sätze der Elemente stammen offenbar nicht von Euklid selbst. Seine Hauptleistung besteht vielmehr in der Sammlung und einheitlichen Darstellung des mathematischen Wissens sowie der strengen Beweisführung, die zum Vorbild für die spätere Mathematik wurde. Das Werk war vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.

Weitere Werke

Außer Elemente sind mindestens fünf Werke von Euklid bis heute erhalten geblieben. Sie folgen derselben logischen Struktur wie Elemente mit Definitionen und bewiesenen Sätzen.

• Katoptrika (altgriechisch κατοπτρικός) befasst sich mit der mathematischen Theorie der Spiegel, insbesondere mit den Bildern, die durch Reflexion in ebenen und sphärischen konkaven Spiegeln entstehen. Die Zuschreibung der Schrift zu Euklid wird manchmal angezweifelt.

• Data (altgriechisch Δεδομένα) ist ein relativ kurzer Text, der sich mit der Natur und den Implikationen „gegebener“ Informationen in geometrischen Problemen befasst.
  Data betrifft die ebenen Geometrie und wird von Historikern als Ergänzung zu den „Elementen“ betrachtet, die in eine für die Problemlösung besser geeignete Form gebracht wurden. Das Werk enthält 12 Definitionen zur Bedeutung, wenn ein geometrisches Objekt in Lage, Form und Größe gegeben ist, sowie 94 Theoreme zur Erläuterung, wie andere Beziehungen oder Elemente bestimmt werden können, wenn bestimmte Elemente einer Figur gegeben sind. Zum Beispiel (Data 29): „Wenn eine Gerade in ihrer Lage gegeben ist und wenn von einem gegebenen Punkt auf ihr eine Gerade gezogen wird, die mit der ersten einen gegebenen Winkel bildet, dann ist diese gezogene Gerade gegeben“, oder (Data 39): „Wenn alle Seiten eines Dreiecks in ihrer Größe gegeben sind, ist das Dreieck in seiner Form gegeben.“

• Über die Teilungen der Figuren (altgriechisch Περὶ Διαιρέσεων) ist nur teilweise in arabischer Übersetzung erhalten und befasst sich mit der Teilung geometrischer Figuren in zwei oder mehr gleiche Teile oder in Teile in vorgegebenen Verhältnissen. Es umfasst 36 Sätze und ähnelt Apollonios’ Konika. In diesem Werk geht es darum, Geraden zu konstruieren, die gegebene Figuren in vorgegebenen Proportionen und Formen teilen. Beispielsweise wird verlangt, bei einem gegebenen Dreieck und einem Punkt innerhalb des Dreiecks eine Gerade zu konstruieren, die durch diesen Punkt verläuft und das Dreieck in zwei Figuren gleicher Fläche teilt; oder bei einem gegebenen Kreis zwei parallele Geraden zu konstruieren, sodass der von ihnen begrenzte Kreisabschnitt ein Drittel der Kreisfläche ausmacht.

• Phainomena (altgriechisch Φαινόμενα) ist eine Abhandlung über sphärische Astronomie, die in griechischer Sprache in mehreren handschriftlichen Fassungen erhalten geblieben ist. Sie ähnelt dem Werk Über die sich bewegende Sphäre von Autolykos von Pitane, der um 310 v. Chr. wirkte. Fragmente wurden von Johan Ludwig Heiberg ediert. Die älteste erhaltene Fassung stammt aus dem 10. Jahrhundert. Der Text gehört zur sogenannten „kleinen Astronomie“, im Gegensatz zu den „großen“ Themen, die in Claudius Ptolemäus’ Almagest behandelt werden. Es enthält 18 Sätze und ähnelt den erhaltenen Werken von Autolykos von Pitane zum gleichen Thema.

• Optika (altgriechisch Ὀπτικά) ist die älteste erhaltene griechische Abhandlung über die Perspektive und war offenbar für den Einsatz in der Astronomie bestimmt. Sie enthält eine einführende Erörterung der geometrischen Optik und der Grundregeln der Perspektive. Dieses Werk ist in mehreren Fassungen erhalten. Es folgt der Form der Elemente: Es handelt sich um eine Abfolge von 58 Sätzen, deren Beweis auf Definitionen und Postulaten beruht, die zu Beginn des Textes dargelegt werden. Diese Definitionen folgen Platons Ansicht, wonach das Sehen auf (geraden) Strahlen beruht, die von unserem Auge zum gesehenen Objekt verlaufen. Euklid zeigt, dass die scheinbaren Größen gleicher Objekte nicht proportional zu ihrem Abstand von unserem Auge sind (Satz 8). Er erklärt beispielsweise auch unser Sehen einer Kugel (und anderer einfacher Flächen): Das Auge sieht eine Fläche, die kleiner ist als die Hälfte der Kugel, wobei dieser Anteil umso kleiner ist, je näher die Kugel ist, auch wenn die gesehene Fläche größer erscheint, und der Umriss des Gesehenen ist ein Kreis. Er beschreibt zudem, je nach Position des Auges und des Objekts, in welcher Form uns ein Kreis erscheint. Die Abhandlung widerspricht insbesondere einer in bestimmten Denkschulen vertretenen Auffassung, wonach die tatsächliche Größe von Objekten (insbesondere von Himmelskörpern) ihrer scheinbaren Größe entspricht, also der Größe, die gesehen wird. Aufgrund seiner Studien zur Perspektive gilt Euklids Buch als eines der wichtigsten Werke zur Optik bis hin zu Newton. Künstler der Renaissance – Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti und Albrecht Dürer – ließen sich davon inspirieren, um ihre eigenen Abhandlungen über die Perspektive zu verfassen.

Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt, u. a. Pseudaria (Trugschlüsse).

Geometrie – Arithmetik – Proportionslehre

Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie (die bereits Archytas von Tarent kannte) sowie die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers. Zu dessen Bestimmung fand er den euklidischen Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nach ihm Satz des Euklid genannt. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. Ferner enthält das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Größen.

Veranschaulichung von Euklids fünftem Postulat

Das bekannte fünfte Postulat der ebenen euklidischen Geometrie (heute Parallelenaxiom genannt) fordert: Wenn eine Strecke $s$ beim Schnitt mit zwei Geraden $g$ und $h$ bewirkt, dass die innen auf derselben Seite von $s$ entstehenden Winkel $\alpha$ und $\beta$ zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann treffen sich die beiden Geraden $g$ und $h$ auf eben der Seite von $s$, auf der die Winkel $\alpha$ und $\beta$ liegen. Schneiden also zwei Geraden eine Strecke (oder Gerade) so, dass die auf einer Seite von der Strecke und den zwei Geraden eingeschlossenen zwei Winkel kleiner als 180° sind, dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite und begrenzen zusammen mit der Strecke (oder dritten Geraden) ein Dreieck.

Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil es viel zur Präzisierung von mathematischen Begriffen und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurde im 19. Jahrhundert auch die Unzulänglichkeit der euklidischen Axiome offenkundig. Eine formale Axiomatik der euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk Grundlagen der Geometrie (1899), das zu vielen weiteren Auflagen und anschließenden Forschungen geführt hat. Darin wird zum ersten Mal ein vollständiger Aufbau der euklidischen Geometrie geleistet, bis hin zur Erkenntnis, dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen Deutungen der geometrischen Grundbegriffe (wie Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Winkel, Kongruenz, Ähnlichkeit usw.) in der Analytischen Geometrie ist.

Schon seit der Antike versuchten viele bedeutende Mathematiker vergeblich, das Parallelenaxiom mit den übrigen Axiomen und Postulaten zu beweisen (es wäre dann entbehrlich). Erst im 19. Jahrhundert wurde die Unverzichtbarkeit des Parallelenaxioms mit der Entdeckung einer nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski klar. Die Poincaré’sche Halbebene H ist ein Modell für ein solches Axiomensystem, in dem das Parallelenaxiom nicht gilt. Somit kann das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen gefolgert werden (siehe nichteuklidische Geometrie).

Musiktheorie

In Euklids musiktheoretischer Schrift Die Teilung des Kanon (griechisch Katatomē kanonos, lat. Sectio canonis), die als authentisch einzustufen ist, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel $\sqrt{\frac{m+1}{m}}$ und bewies ganz allgemein die Irrationalität beliebiger Wurzeln $\sqrt[n]{\frac{m+1}{m}}$. Der Grund für diese Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos, die auf rationalen Vielfachen des Tons (Halbton … n-tel-Ton) aufbaut. Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton (Ganzton) die Proportion 9:8, was Euklid zu seiner Antithese „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar“ veranlasste; sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16. Jahrhunderts (Simon Stevin) angenommen wurden. Die Antithese „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne“ stützte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas. Ferner enthält Euklids Teilung des Kanons – wie ihr Titel signalisiert – die älteste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon, einer geteilten Saite, und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollständigen diatonischen Tonsystems des Aristoxenos. Euklids Tonsystem wurde durch Boethius tradiert; es wurde in der Tonbuchstaben-Notation Odos zur Grundlage des modernen Tonsystems.

Eponyme

Nach Euklid sind folgende mathematische Strukturen benannt:

• Euklidischer Abstand, die Länge der direkten Verbindung zweier Punkte in der Ebene oder im Raum
• Euklidischer Algorithmus, ein Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen
• Euklidische Geometrie, die anschauliche Geometrie der Ebene oder des Raums
• Euklidischer Körper, ein geordneter Körper, in dem jedes nichtnegative Element eine Quadratwurzel besitzt
• Euklidische Norm, die Länge eines Vektors in der Ebene oder im Raum
• Euklidischer Raum, der Anschauungsraum, ein reeller affiner Raum mit dem Standardskalarprodukt
• Euklidische Relation, eine Relation, für die gilt: stehen zwei Elemente jeweils zu einem dritten in Relation, dann stehen sie auch zueinander in Relation
• Euklidischer Ring, ein Ring, in dem eine Division mit Rest möglich ist
• Euklidische Werkzeuge, die erlaubten Handlungen bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Zudem sind nach Euklid folgende mathematische Sätze und Beweise benannt:

• Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2, der erste Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik
• Höhensatz des Euklid: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten
• Kathetensatz des Euklid: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Kathetenquadrate jeweils gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt
• Lemma von Euklid: Teilt eine Primzahl ein Produkt zweier Zahlen, dann auch mindestens einen der beiden Faktoren
• Satz von Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen

Weiter sind nach Euklid benannt:

• Euclides (Mondkrater), ein Krater auf der Mondvorderseite
• (4354) Euclides, ein Asteroid des Hauptgürtels
• Euclid, Weltraumteleskop der ESA

Ausgaben und Übersetzungen

• Johan Ludvig Heiberg, Heinrich Menge (Hrsg.): Euclidis Opera Omnia. 9 Bände, Teubner, Leipzig 1888–1916 (griechisch/lateinisch), genauer 8 Bände mit Supplement (der Kommentar zu den Elementen von Al-Nayrizi in der Übersetzung von Gerhard von Cremona herausgegeben von Maximilian Curtze)
• Euklid: Die Elemente. Bücher I–XIII. Hrsg. u. übers. v. Clemens Thaer. (= Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235). 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8171-3413-4.
• Euclid: The thirteen books of Euclid’s elements. Hrsg. u. übers. v. Thomas Heath, 3 Bände, Cambridge University Press 1908, Nachdruck Dover 1956 (englische Übersetzung mit ausführlichem Kommentar und Einleitung zu Euklid)
• Euklides: Data. Die Data von Euklid, nach Menges Text aus d. Griech. übers. u. hrsg. v. Clemens Thaer. Springer, Berlin 1962.
• The Medieval Latin Translation of the Data of Euclid. übersetzt von Shuntaro Ito, Tokyo University Press, 1980, Birkhauser, 1998.
• Euklid: Sectio canonis. neu ediert, übersetzt und kommentiert in: Oliver Busch: Logos syntheseos. Die euklidische Sectio canonis, Aristoxenos, und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie. Hildesheim 2004, ISBN 3-487-11545-X.
• Paul ver Eecke Euclide, L’Optique et la catoptrique. Paris, Brügge 1938 (französische Übersetzung der Optik)

Literatur

Euclides, 1703

Übersichtsdarstellungen in Handbüchern

• Ivor Bulmer-Thomas, John Murdoch: Euclid. In: Dictionary of Scientific Biography. Band 4, Charles Scribner’s Sons, New York 1981, ISBN 0-684-16964-9, S. 414–459.
• Menso Folkerts, Frieder Zaminer: Eukleides [3]. In: Der Neue Pauly (DNP). Band 4, Metzler, Stuttgart 1998, ISBN 3-476-01474-6, Sp. 238–243.
• Bernard Vitrac: Euclide. In: Richard Goulet (Hrsg.): Dictionnaire des philosophes antiques. Band 3, CNRS Éditions, Paris 2000, ISBN 2-271-05748-5, S. 252–272.
• Hans-Joachim Waschkies: Euklid. In: Hellmut Flashar (Hrsg.): Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike, Band 2/1, Schwabe, Basel 1998, ISBN 3-7965-1036-1, S. 372–392.
• Hans Wußing: Euklid. In: Arnold Wußing (Hrsg.): Biographien bedeutender Mathematiker. Berlin 1983.

Gesamtdarstellungen und Untersuchungen

• Benno Artmann: Euclid: The creation of mathematics. Springer, 1999.
• Jürgen Schönbeck: Euklid: Um 300 v. Chr. Springer, 2002, ISBN 3-7643-6584-6.
• Peter Schreiber: Euklid (= Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner, Band 87). Teubner, Leipzig 1987.
  Abschrift verfügbar bei Mathematik alpha. Abgerufen am 26. November 2025. 
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-22471-8, S. 49–65 (die Elemente Euklids und andere Schriften sowie im weiteren Verlauf des Buches deren Kontext und Rezeption in der weiteren Entwicklung der Geometrie)

Rezeption

• Diego De Brasi: Euklid. In: Peter von Möllendorff, Annette Simonis, Linda Simonis (Hrsg.): Historische Gestalten der Antike. Rezeption in Literatur, Kunst und Musik (= Der Neue Pauly. Supplemente. Band 8). Metzler, Stuttgart/Weimar 2013, ISBN 978-3-476-02468-8, Sp. 433–438.
• Max Steck: Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der „Elemente“ des Euklid (um 365–300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16. Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.–20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.–20. Jahrhundert). Nachdruck, hrsg. von Menso Folkerts. Gerstenberg, Hildesheim 1981.

Arabische Überlieferung

• Jan Hogendijk: The Arabic version of Euclid’s ‘On divisions’. In: Vestigia mathematica. Amsterdam 1993, S. 143–162.
• Jan Hogendijk: On Euclid’s lost ‘Porisms’' and its Arabic traces. In: Boll. Storia Sci. Mat. Band 7, 1987, S. 93–115.

Weblinks

Wiktionary: Euklid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Euklid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikiquote: Euklid – Zitate

Wikisource: Euklid – Quellen und Volltexte

• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Euclid of Alexandria. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch).
• Literatur von und über Euklid im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek
• Werke von und über Euklid in der Deutschen Digitalen Bibliothek
• Die Elemente des Euklid, Euklides: Stoicheia, Buch 1 bis 12, vollständig in Deutsch.
• Perseus Euklid. Informative Seite von Perseus mit Übersetzung und weiteren Quellen sowie weiterführenden Links.
• Euklids Elemente, alle 13 Bücher in englischer Sprache.
• Euklids Elemente, alle 13 Bücher in griechischer Sprache mit der lateinischen Übersetzung des Heiberg. (PDF)
• Textausgaben (altgriechisch, arabische, englische Übersetzungen), Amund Bjørsnøs u. a., Oslo Arabic Seminar.
• Die sechs ersten Bücher Evclidis, Deß Hochgelaehrten weitberuembten, Griechischen Philosophi und Mathematici: von den anfaengen vnd fundamenten der Geometriae. Amsterdam 1618, Online-Ausgabe der Sächsischen Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek Dresden
• Euclidis Megarensis … sex libri priores, de Geometricis principiis. Basileae 1550, Online-Ausgabe der Sächsischen Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek Dresden
• Euclidis Megarensis Mathematici Clarissimi Elementorum geometricorum Lib. XV. Basileae 1537, Online-Ausgabe der Sächsischen Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek Dresden
• Elementale Geometricum. Argentorati 1529, Online-Ausgabe der Sächsischen Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek Dresden
• Elementorum Libri XV. Coloniae 1627, Online-Ausgabe der Sächsischen Landesbibliothek – Staats- und Universitätsbibliothek Dresden

Einzelnachweise

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