Werk:Dedomena/XXIV.

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Stehen drei Strecken in gleicher Proportion und ist das Verhältnis der ersten Strecke zur dritten angegeben, dann ist ihr Verhältnis zur zweiten gegeben.

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Wenn bei drei Strecken A, B, C das Verhältnis A zu B dem Verhältnis B zu C gleich und das Verhältnis A zu C gegeben ist, dann, sage ich, ist das Verhältnis A zu B gegeben.

Denn da das Verhältnis A zu C gegeben ist, kann zu einer beliebigen Strecke D das ihm gleiche Verhältnis D zu F gefunden werden, das damit gegeben ist.

Ist D gegeben, ist damit F gegeben.

Steht zu den Strecken D, F die Strecke E in fortlaufend gleicher Proportion [wie Stoicheia VI.13], dann ist das Rechteck aus D mit F gleich dem Quadrat über E.

Sind die Strecken D, F gegeben, ist das Rechteck aus D mit F gegeben.

Damit ist das Quadrat über E und damit die Strecke E gegeben.

Ist D gegeben, ist das Verhältnis D zu E gegeben.

Das Verhältnis A zu C ist gleich D zu F und ist gleich dem Verhältnis des Quadrats über A zum Rechteck aus A mit C.

Es verhält sich D zu F wie das Quadrat über D zum Rechteck aus D mit F und es verhält sich somit das Quadrat über A zum Rechteck aus A mit C wie das Quadrat über D zum Rechteck aus D mit F [wie Stoicheia VI.17].

Da das Rechteck aus A mit C gleich dem Quadrat über B und da das Rechteck aus D mit F gleich dem Quadrat über E ist, verhält sich das Quadrat über A zum Quadrat über B wie das Quadrat über D zum Quadrat über E.

Damit verhält sich A zu B wie D zu E [wie Stoicheia VI.22].

Ist das Verhältnis D zu E gegeben, ist deshalb das Verhältnis A zu B gegeben.

Anmerkung:

Da A : B = B : C, oder A : B : C, ist mit C · r = A und A : C = r, dann A : B = r^½.

In der Form 1 : a^½ : a wird die Intervallschachtelung der Quadratwurzel dargestellt.

Zum Beispiel: 1 : 2^½ : 2, 4/3 : 2^½ : 3/2, 14/10 : 2^½ : 10/7 . . ..