Reihe (Mathematik)

Reihe (Mathematik)

Reihe, in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze gebildete Folge von Größen; diese Größen nennt man die Glieder der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. Glied der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen Ausdruck bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. Glied der R. ergibt; dieser Ausdruck heißt das n te oder das allgemeine Glied der R. Die einfachsten Reihen sind die, deren Glieder eine sogen. arithmetische oder geometrische Progression bilden. Eine arithmetische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man zu dem vorhergehenden eine gewisse Zahl, und zwar immer dieselbe, addiert. Ist a das erste Glied (Anfangsglied) der R. und d die zu addierende Zahl (die Differenz der R.), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, a+d, a+2d etc., und das allgemeine (n te) Glied lautet: a+(n-1)d. Die Summe der n ersten Glieder der R. wird gleich: na+¹/₂n(n-1)d = ¹/₂n(a+t), wenn t das nie Glied ist. Eine arithmetische Progression bilden z. B. die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 etc. Hier ist a = d = 1, die Summe der n = 100 ersten Zahlen ist daher: ¹/₂100(1+100) = 50.101 = 5050. Bildet man für n = 1, 2, 3 etc. jedesmal die Summe der n ersten Glieder einer arithmetischen Progression, so bekommt man eine sogen. arithmetische R. zweiter Ordnung, aus der man durch Wiederholung dieses Verfahrens solche von dritter und höherer Ordnung ableiten kann. Die gewöhnlichen arithmetischen Reihen bezeichnet man als solche erster Ordnung. Eine geometrische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man das vorhergehende mit einer gewissen Zahl, und zwar immer mit derselben, multipliziert. Ist a das erste Glied und e diese Zahl (der Exponent der Progression), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, ae, ae² etc., und ae^n-1 ist das allgemeine (nte) Glied. Die Glieder der R. nehmen fortwährend zu oder fortwährend ab, sie bilden eine steigende oder eine fallende Progression, je nachdem e größer oder kleiner als 1 ist. Für die Summe der n ersten Glieder der R. ergibt sich der Wert; a(eⁿ-1)/(e-1). Verlangt man z. B., wie es der sagenhafte Erfinder des Schachspiels als Belohnung für seine Erfindung von seinem König verlangt haben soll, daß auf das erste Feld des Schachbrettes ein Korn gelegt werde, auf das zweite 2, auf das dritte 4, kurz auf jedes folgende Feld doppelt so viel Körner als auf das vorhergehende, so erhält man für das letzte (64.) Feld 2⁶³, d. h. 9,223372,036854,775808 Körner, und die Gesamtzahl aller Körner wird: 2⁶⁴-1 oder 18,446744,073709,551615. Anwendung finden die geometrischen Progressionen besonders in der Zinseszinsrechnung (s. d.). In der höhern Mathematik spielen besonders die unendlichen Reihen eine große Rolle, das sind Reihen, die unendlich viele Glieder haben. Bezeichnen wir jedes Glied einer solchen R. durch den Buchstaben a, an den wir als sogen. Index (Zeiger) die Zahl anhängen, die die Nummer des Gliedes angibt, so können wir die Glieder der R. so schreiben: a₁, a₂, a₃ etc. und a., wird das n te Glied, wo die ganze positive Zahl n so groß werden kann, wie man will. Es kommt nun darauf an, ob diese R. eine Summe hat, d. h. ob die Summealler Glieder der R.: a₁+a₂+a₃+etc. bis ins Unendliche einen endlichen bestimmten Wert hat. Da man aber die unendlich vielen Glieder nicht wirklich addieren kann, so muß erst noch erklärt werden, was hier unter »Summe« zu verstehen ist. Man bezeichnet nämlich als Summe der unendlichen R.: a₁, a₂, a₃ etc. den Grenzwert, dem sich die aus dem ersten, aus den zwei ersten, aus den drei ersten Gliedern etc. gebildeten Teilsummen: s₁ = a₁, s₂ = a₁+a₂, s₃ = a₁+a₂+a₃, etc., s_n = a₁+a₂+a₃+etc. bis +a_n immer mehr nähern, je mehr Glieder der R. man mitnimmt, je größer man also in der Summe 8., der n ersten Glieder die Zahl n werden läßt. Gibt es einen solchen Grenzwert, und ist dieser endlich, so heißt die R. konvergent, ist dagegen der Grenzwert unendlich groß, oder gibt es gar keinen solchen Grenzwert, so heißt die R. divergent. So ist z. B. die geometrische R.: a, ae, ae² etc. divergent, sobald e größer als 1 ist, aber konvergent, wenn e kleiner als 1, denn die Summe s_n ihrer n ersten Glieder hat nach dem Frühern den Wert: s_n = a(eⁿ-1)/(e-1), einen Ausdruck, der für e größer als 1 mit wachsendem n über alle Grenzen wächst und mithin dem Grenzwert Unendlich zustrebt, während er für e kleiner als 1 mit wachsen dem n dem Werte a/(1-e) immer näher kommt, weil nämlich s_n in der Form: a/(1-e)-a/(1-e)eⁿ geschrieben werden kann, wo das Glied: a/(1-e)eⁿ für e kleiner als 1 mit wachsendem n fortwährend abnimmt und, wenn man n groß genug wählt, so klein gemacht werden kann, als man will, kleiner als ein Millionstel, als ein Billionstel etc. Eine R., bei der überhaupt kein Grenzwert von der besprochenen Art vorhanden ist, ist diese: 1–1+1–1+etc.; hier ist die Summe einer ungeraden Anzahl von Gliedern, vom ersten angefangen, immer gleich 1, die Summe einer geraden Anzahl von Gliedern immer gleich 0, so daß die unendliche R. gar keine bestimmte Summe hat. Mathematisch brauchbar sind nur die konvergenten Reihen, doch ist es in den meisten Fällen keine leichte Aufgabe, zu entscheiden, ob eine vorgelegte unendliche R. konvergiert oder nicht. Näheres über unendliche Reihen findet man in den Lehrbüchern der höhern Analysis und der Differentialrechnung. Vgl. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen (Tübing. 1889).

Reihe (Mathematik)

Eine Reihe, selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet derAnalysis. Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, wie etwa

Animation der Konvergenz der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … gegen 1. Mit jedem neuen Summanden wird der „Abstand“ zum Grenzwert halbiert.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …,

Man kann Reihen als rein formale Objekte studieren, jedoch sind Mathematiker in vielen Fällen an der Frage interessiert, ob eine Reihe konvergiert, ob also die Summe endlich vieler Summanden durch Hinzunahme hinreichend vieler weiterer Summanden einem festen Wert beliebig nahe kommt. So konvergiert etwa die obige Beispielreihe gegen den Wert 1 (siehe Bild), allerdings existieren auch divergente (also nicht konvergente) Reihen, wie zum Beispiel

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …,

Allgemein wird eine Reihe 𝑎₀ + 𝑎₁ + 𝑎₂ + … mit  bezeichnet, und dies ist, falls existent, gleichzeitig die Bezeichnung für den Grenzwert.

Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind. Wenn man die Zahl 0 zur Indexmenge zählt, ist die 𝑛-te Partialsumme die Summe der ersten 𝑛 + 1  (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt.

Eine systematische Theorie der Reihen findet ihren Ursprung im 17. Jahrhundert, wo sie besonders durch Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newtonvorangetrieben wurde. Dabei stand sie in enger Verbindung zu anschaulichen Problemen aus der Geometrie, wie der Integration von Kurven. Als formale Objekte wurden Reihen im 18. Jahrhundert von Mathematikern wie Leonhard Euler studiert, der ihnen drei Bände seines Gesamtwerkes, der Opera Omnia, widmete. Erst im 19. Jahrhundert stieß dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz außen vor ließ, auf Kritik. In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 schuf Augustin-Louis Cauchy die Grundlagen der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der mathematisch strengenAufarbeitung der Analysis, etwa durch Karl Weierstraß, den Weg. Von zentraler Bedeutung in diesem Zusammenhang war das Cauchy-Kriterium für die Charakterisierung des Konvergenzbegriffs. Bis in die heutige Zeit sind Reihen, etwa im Kontext der Zahlentheorie, ein Objekt intensiver mathematischer Forschung.

Für die Untersuchung einer unendlichen Reihe sind vor allen Dingen die Fragen nach ihrer Konvergenz und, wenn diese gegeben ist, nach dem Grenzwert von Bedeutung. Für beides existieren keine brauchbaren allgemeinen Methoden. Allerdings wurden Kriterien entwickelt, die in einigen Spezialfällen Antworten liefern.

Besonders bedeutende Anwendungen haben Reihen in der Analysis (zum Beispiel über Taylorreihen zu analytischen Funktionen), den Ingenieurwissenschaften (etwa in der Elektrotechnik und Signalverarbeitung über Fourierreihen), aber auch in der Wirtschaftswissenschaft und Finanzmathematik. Einige bedeutende mathematische Konstanten, etwa die Kreiszahl 𝜋 oder die Eulersche Zahl 𝑒, konnten mit Hilfe von Algorithmen, die auf unendlichen Reihen fußen, auf viele Billionen Nachkommastellen angenähert werden.

Inhaltsverzeichnis

• 1Einführung
  • 1.1Unendliche Summierbarkeit und erste Beispiele
  • 1.2Elementare Anwendungsbeispiele
• 2Definition und Grundlagen
  • 2.1Begriff
  • 2.2Für reelle und komplexe Folgen
  • 2.3Konvergenz und Divergenz
  • 2.4Bedingte und absolute Konvergenz
• 3Geschichte
  • 3.1Anfänge im 17. Jahrhundert
  • 3.218. Jahrhundert
  • 3.319. Jahrhundert
  • 3.420. Jahrhundert bis heute
• 4Rechnen mit Reihen
  • 4.1Summen und Vielfache
  • 4.2Produkte
  • 4.3Rechnen innerhalb der Reihe
• 5Reihen von Funktionen
  • 5.1Allgemeines
  • 5.2Eigenschaften der Grenzfunktionen
  • 5.3Typen von Funktionenreihen
• 6Konvergenzkriterien
  • 6.1Allgemeine Kriterien
  • 6.2Kriterien unter Monotoniebedingungen
  • 6.3Multiplikative Funktionen
  • 6.4Funktionentheoretische Mittel
• 7Methoden zur Grenzwertbestimmung
  • 7.1Teleskopreihen
  • 7.2Abelscher Grenzwertsatz
  • 7.3Differential- und Integralrechnung
  • 7.4Fourieranalysis
  • 7.5Residuensatz
• 8Ungleichungen
  • 8.1Dreiecksungleichungen
  • 8.2Vergleich zum geometrischen Mittel
  • 8.3Integralvergleich
  • 8.4Fehler- und Restgliedabschätzung
  • 8.5Symmetrische Ungleichungen
  • 8.6Besselsche Ungleichung und die Halasz-Montgomery-Ungleichungen
  • 8.7Hausdorff-Young-Ungleichung
  • 8.8Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und Höldersche Ungleichung
  • 8.9Minkowski-Ungleichung
  • 8.10Gutzmersche Ungleichung
  • 8.11Hilbert-Ungleichung
  • 8.12Van der Corputsche Ungleichung
  • 8.13Exponentialsummen
  • 8.14Bohr-Ungleichung
  • 8.15Dualitätsprinzip
  • 8.16Weitere Ungleichungen
• 9Spezielle Reihen
  • 9.1Geometrische Reihe
  • 9.2Harmonische Reihe
  • 9.3Darstellung mathematischer Konstanten
• 10Summenformeln und Transformationen
  • 10.1Partielle Summation
  • 10.2Integralvergleich
  • 10.3Euler-Maclaurin-Formel
  • 10.4Abel-Plana-Summenformel
  • 10.5Die Poissonsche Summationsformel
  • 10.6Van der Corputsche Summenformel
  • 10.7Perronsche Formel
  • 10.8Mellintransformation
  • 10.9Möbiussche Umkehrformel
  • 10.10Reihentransformationen
• 11Asymptotische Analysis und Taubersätze
  • 11.1Asymptotik von Reihen mit holomorphen Gliedern
  • 11.2Taubersatz von Wiener-Ikahara
• 12Weitere Anwendungen
  • 12.1Unendliche Produkte
  • 12.2Wahrscheinlichkeitstheorie
  • 12.3Finanzmathematik
  • 12.4Zahlentheorie
• 13Anmerkungen
• 14Literatur (Auswahl)
• 15Weblinks
• 16Einzelnachweise