Logikgesetze

Logikgesetz-e

Im Folgenden haben wir die wichtigsten Gesetze der Logik für dich zusammengefasst. Für Aussagen nutzen wir die Buchstaben $A$, $B$ und $C$, für Aussageformen $A(x)$, $B(x)$, $A(x,y)$ usw.

Aussagenlogik

Die Richtigkeit dieser Gesetze kann mit Wahrheitstabellen bewiesen werden. Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie

Prädikatenlogik

Negation von quantifizierten Aussagen

• $\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x:A(x))\iff \mathrm{\exists }x:\mathrm{\neg }A(x)$
• $\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x\in M:A(x))\iff \mathrm{\exists }x\in M:\mathrm{\neg }A(x)$
• $\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x:A(x))\iff \mathrm{\forall }x:\mathrm{\neg }A(x)$
• $\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in M:A(x))\iff \mathrm{\forall }x\in M:\mathrm{\neg }A(x)$

Äquivalenzen über quantifizierte Aussagen

• $\mathrm{\forall }x:A(x)\iff \mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x:\mathrm{\neg }A(x))$
• $\mathrm{\exists }x:A(x)\iff \mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x:\mathrm{\neg }A(x))$
• $\mathrm{\forall }x:(A(x)\wedge B(x))\iff \mathrm{\forall }x:A(x)\wedge \mathrm{\forall }x:B(x)$ (Distributivität $\mathrm{\forall }$ mit $\wedge$)
• $\mathrm{\exists }x:(A(x)\vee B(x))\iff \mathrm{\exists }x:A(x)\vee \mathrm{\exists }y:B(y)$ (Distributivität $\mathrm{\exists }$ mit $\vee$)
• $(\mathrm{\forall }x:A(x)\Rightarrow C)\iff \mathrm{\exists }x:(A(x)\Rightarrow C)$
• $(\mathrm{\exists }x:A(x)\Rightarrow C)\iff \mathrm{\forall }x:(A(x)\Rightarrow C)$
• $\mathrm{\exists }!x:A(x)\iff \mathrm{\exists }x:A(x)\wedge \mathrm{\forall }x,y:(A(x)\wedge A(y)\Rightarrow x=y)$ (Umschreibung des eindeutigen Existenzquantors)

Implikationen über quantifizierte Aussagen

• $\mathrm{\forall }x:A(x)\vee \mathrm{\forall }x:B(x)\Rightarrow \mathrm{\forall }x:(A(x)\vee B(x))$
• $\mathrm{\exists }x:(A(x)\wedge B(x))\Rightarrow \mathrm{\exists }x:A(x)\wedge \mathrm{\exists }x:B(x)$
• $\mathrm{\forall }x:(A(x)\Rightarrow B(x))\Rightarrow (\mathrm{\forall }x:A(x)\Rightarrow \mathrm{\forall }x:B(x))$
• $\mathrm{\forall }x:(A(x)\iff B(x))\Rightarrow (\mathrm{\forall }x:A(x)\iff \mathrm{\forall }x:B(x))$
• $\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y:A(x,y)\Rightarrow \mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }x:A(x,y)$