Logikgesetze

Logikgesetz -e; s. "Denkgesetze"; s. Formelsammlung Logik

Im Folgenden haben wir die wichtigsten Gesetze der Logik für dich zusammengefasst. Für Aussagen nutzen wir die Buchstaben $A$ , $B$ und $C$ , für Aussageformen $A (x)$ , $B (x)$ , $A (x, y)$ usw.

Aussagenlogik

Die Richtigkeit dieser Gesetze kann mit Wahrheitstabellen bewiesen werden. Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie

Prädikatenlogik

Negation von quantifizierten Aussagen

$\neg (\forall x : A (x)) \Leftrightarrow \exists x : \neg A (x)$
$\neg (\forall x \in M : A (x)) \Leftrightarrow \exists x \in M : \neg A (x)$
$\neg (\exists x : A (x)) \Leftrightarrow \forall x : \neg A (x)$
$\neg (\exists x \in M : A (x)) \Leftrightarrow \forall x \in M : \neg A (x)$

Äquivalenzen über quantifizierte Aussagen

$\forall x : A (x) \Leftrightarrow \neg (\exists x : \neg A (x))$
$\exists x : A (x) \Leftrightarrow \neg (\forall x : \neg A (x))$
$\forall x : (A (x) \land B (x)) \Leftrightarrow \forall x : A (x) \land \forall x : B (x)$ (Distributivität $\forall$ mit $\land$ )
$\exists x : (A (x) \lor B (x)) \Leftrightarrow \exists x : A (x) \lor \exists y : B (y)$ (Distributivität $\exists$ mit $\lor$ )
$(\forall x : A (x) \Rightarrow C) \Leftrightarrow \exists x : (A (x) \Rightarrow C)$
$(\exists x : A (x) \Rightarrow C) \Leftrightarrow \forall x : (A (x) \Rightarrow C)$
$\exists! x : A (x) \Leftrightarrow \exists x : A (x) \land \forall x, y : (A (x) \land A (y) \Rightarrow x = y)$ (Umschreibung des eindeutigen Existenzquantors)

Implikationen über quantifizierte Aussagen

$\forall x : A (x) \lor \forall x : B (x) \Rightarrow \forall x : (A (x) \lor B (x))$
$\exists x : (A (x) \land B (x)) \Rightarrow \exists x : A (x) \land \exists x : B (x)$
$\forall x : (A (x) \Rightarrow B (x)) \Rightarrow (\forall x : A (x) \Rightarrow \forall x : B (x))$
$\forall x : (A (x) \Leftrightarrow B (x)) \Rightarrow (\forall x : A (x) \Leftrightarrow \forall x : B (x))$
$\exists x \forall y : A (x, y) \Rightarrow \forall y \exists x : A (x, y)$

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis

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