Umkreisradius

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:

r_{u} = \frac{a}{2 \cdot \sin (α)} = \frac{b}{2 \cdot \sin (β)} = \frac{c}{2 \cdot \sin (γ)}

Dabei stehen die Bezeichnungen $a, b, c$ für die Seitenlängen und $α, β, γ$ für die Größen der den Seiten mit den Längen $a, b, c$ gegenüberliegenden Innenwinkel. Durch Erweitern obiger Brüche mit einer Dreiecksseite entstehen Formeln mit den Höhen $h_{a}, h_{b}$ und $h_{c}$ der von $A <, B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $A B C$ :^[1]

r_{u} = \frac{a b}{2 h_{c}} = \frac{b c}{2 h_{a}} = \frac{c a}{2 h_{b}}

Der Flächeninhalt $A$ lässt sich z. B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen und es gilt:

r_{u} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A}

Für den Spezialfall des gleichseitigen Dreiecks ergibt das:

r_{u} = \frac{a}{\sqrt{3}}

↑ R. A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Dover Publications, New York 1960, ISBN 978-0-486-15498-5, S. 71 (idoc.pub [abgerufen am 29. Januar 2025]).

[Johnson-1] R. A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Dover Publications, New York 1960, ISBN 978-0-486-15498-5, S. 71 (idoc.pub [abgerufen am 29. Januar 2025]).

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