Mathematik als Begriff

1. Zur Formulierung: ars mathematica oder artes mathematicae

Streng lateinisch muß man unterscheiden:

ars mathematica = die mathematische Kunst / Wissenschaft
mathematica = Mathematik / mathematische Wissenschaft; teils auch Astrologie
disciplinae mathematicae = mathematische Disziplinen
artes mathematicae = mathematische Künste

Die Form ars mathematicae ist möglich als „Kunst der Mathematik“, klingt aber weniger klar als ars mathematicaoder disciplinae mathematicae.

Lewis & Short belegen mathematicus als klassisch-lateinisch: „zur Mathematik gehörig“, und führen mathematicae artes sowie mathematicae disciplinae an. Zugleich wird mathematica auch als Substantiv „Mathematik“ verwendet, später aber ebenfalls für „Astrologie“. Das ist wichtig, weil mathematici im Spätlatein häufig „Astrologen“ heißen können.

2. Ab wann gab es diese mathematica?

Als Wortfeld ist es antik, also deutlich vor Boethius.

Schon im klassischen Latein gibt es:

mathematicus, mathematica, mathematicae artes, mathematicae disciplinae

Also: Der Begriff war zur Zeit des Boethius (480/485; † 524/526) nicht neu. Neu bzw. folgenreich ist bei Boethius eher die Zusammenfassung der vier mathematischen Wissenschaften unter dem Bild des quadrivium / quadriuium, des „Vierwegs“. Eine Forschungsübersicht zu Boethius nennt ausdrücklich, daß bei Boethius in De institutione arithmeticader Ausdruck quadriuium für das Zusammentreffen der vier mathematischen Wissenschaften — Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie — begegnet.

3. Was waren ihre Bereiche?

Die klarste spätantik-frühmittelalterliche Definition findet sich bei Cassiodor und Isidor.

Cassiodor (484/490; † 580) schreibt in den Institutiones:

Mathematica sei die Wissenschaft, welche die abstrakte Quantität betrachtet. Sie wird eingeteilt in: Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie.

Isidor von Sevilla (560;† 636) formuliert fast gleich:

Mathematica heißt auf Latein eine „doctrinalis scientia“, also eine Lehr- oder Schulwissenschaft, welche abstrakte Quantität betrachtet. Ihre vier Arten sind: Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie.

Die Bereiche sind also:

Bereich	Gegenstand im alten Sinn
Arithmetica	Zahl an sich; diskrete Quantität
Musica	Zahl im Verhältnis, besonders in Tönen
Geometria	unbewegte Größe, Gestalt, Maß
Astronomia	bewegte Größe, Himmelsläufe, Sternordnungen

Cassiodor sagt entsprechend: Arithmetik behandelt zählbare Quantität an sich; Musik spricht von Zahlen, die in Tönen gefunden werden; Geometrie behandelt unbewegte Größe und Formen; Astronomie betrachtet Lauf, Figuren und Verhältnisse der Himmelskörper.

4. Verhältnis zu Quadrivium und sieben freien Künsten

Deine Formulierung:

„Nach dem Quadrivium scheint es in den artes liberales oder septem artes liberales die ars mathematicaenoch nicht zu geben“

muß ich leicht berichtigen: Nicht nach dem Quadrivium fehlt die ars mathematica, sondern:

Das Quadrivium selbst ist der mathematische Teil der sieben freien Künste.

Die sieben freien Künste bestehen gewöhnlich aus:

Trivium

Grammatik, Rhetorik, Dialektik/Logik

Quadrivium

Arithmetik, Musik, Geometrie, Astronomie

Martianus Capella behandelt in De nuptiis Philologiae et Mercurii die sieben freien Künste als Grammatik, Rhetorik, Dialektik, Geometrie, Arithmetik, Astronomie und Musik; das ist noch ohne eine zusätzliche Kunst namens „Mathematica“.

Also:

Die ars mathematica steht nicht neben den sieben Künsten. Sie bezeichnet zusammenfassend die vier quadrivialen Künste.

5. Späterer scholastischer Aufbau

Bei Hugo von St. Viktor (1097; † 11. Februar 1141) sieht man die Ordnung sehr klar. Er teilt die Philosophie in theorica, practica, mechanica, logica. Die theorica wird wiederum geteilt in:

theologia, mathematica, physica.

Dann erklärt Hugo:

mathematica sei die Wissenschaft, welche abstrakte Quantität betrachtet.

Und im Kapitel De quadrivio folgt die Einteilung:

mathematica dividitur in arithmeticam, musicam, geometriam, astronomiam — die Mathematik wird eingeteilt in Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie.

Das bestätigt genau die Struktur:

Mathematica / Mathesis = Oberbereich
Quadrivium = viergliedrige Ausfaltung dieses Oberbereichs

Septem artes liberales = Trivium + Quadrivium

6. Ergebnis

Für deine Arbeit würde ich es so festhalten:

Die ars mathematica bzw. mathematica gab es als antik-lateinischen Begriff bereits vor Boethius. Im spätantik-mittelalterlichen Bildungsaufbau ist sie jedoch keine eigene achte freie Kunst, sondern der Oberbegriff für die vier mathematischen Disziplinen des Quadriviums: Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie. Innerhalb der sieben freien Künste erscheinen diese vier nicht unter dem Sammelnamen ars mathematica, sondern als einzelne Künste. Der Sammelbegriff steht eine Stufe darüber.

Kurz:

Es gibt nicht: sieben artes liberales + ars mathematica. Sondern: septem artes liberales = trivium + quadrivium; und das quadrivium ist die mathematische Vierheit.

1. Platon: eher mathēmata, nicht „Mathematik“ als Sammelbegriff

In Politeia VII fragt Sokrates, welches μάθημα (máthēma) die Seele vom Werdenden zum Seienden hinziehe. Der Text sagt nicht: „Welche Mathematik?“, sondern: τί τῶν μαθημάτων — „welches von den Lerngegenständen / Studien“. Danach nennt Platon zuerst ἀριθμός τε καὶ λογισμός, also Zahl und Rechnen / Berechnung.

Dann folgen bei Platon als einzelne Studien:

ἀριθμός / λογισμός — Zahl / Rechnen,
γεωμετρία — Geometrie,
die Lehre der Tiefe / Körper, also Stereometrie,
ἀστρονομία — Astronomie,
ἁρμονία — Harmonik.

Bei Geometrie sagt Platon ausdrücklich, daß sie nicht wegen praktischer Kriegs- oder Vermessungszwecke wichtig sei, sondern soweit sie die Seele zur Schau der Idee des Guten hinwende. Bei Astronomie kritisiert er ebenfalls die bloß sichtbare Himmelsbeobachtung; sie soll als problematische, vernunftmäßige Wissenschaft betrieben werden, nicht bloß als Blick auf die sichtbaren Sterne. Bei Harmonik kritisiert er die bloß gehörten Zusammenklänge und fordert die Untersuchung, welche Zahlen zusammenstimmend sind und warum.

Daher für Platon:

Platon hat mathematische Studien, aber nicht „die Mathematik“ als späteren lateinisch-mittelalterlichen Sammelbegriff.

Er denkt eher in μαθήματα (mathḗmata) als geistigen Schulungsfächern. Das ist dem späteren Quadrivium verwandt, aber noch nicht dasselbe System.

2. Aristoteles: hier wird „das Mathematische“ deutlicher ein eigener Bereich

Bei Aristoteles ist die Lage anders. Er unterscheidet in Metaphysik VI, 1 die theoretischen Wissenschaften: Physik, Mathematik und Theologie / erste Philosophie. In der englischen Ross-Übersetzung steht ausdrücklich: physics, mathematics, theology; der griechische Hintergrund ist Aristoteles’ Unterscheidung von Physik, Mathematik und erster Philosophie.

Aristoteles bestimmt dabei:

Physik behandelt Bewegliches und stofflich Getrenntes.
Mathematik behandelt Unbewegliches, aber nicht selbständig Getrenntes.
Erste Philosophie behandelt, falls es solches gibt, das Unbewegliche und Getrennte.

Der entscheidende Satz ist bei Aristoteles: Manche Teile der Mathematik behandeln Dinge, die unbeweglich sind, aber wohl nicht getrennt bestehen, sondern in der Materie. Außerdem unterscheidet er besondere mathematische Wissenschaften wie Geometrie und Astronomie von einer allgemeinen Mathematik; Ross übersetzt dort „universal mathematics“.

Die Stanford Encyclopedia faßt Aristoteles entsprechend so: Er verwendet Mathematik und mathematische Wissenschaften in seinen Abhandlungen, behandelt Geometrie und Arithmetik als die wichtigsten mathematischen Wissenschaften, schließt aber auch Optik, mathematische Astronomie, Harmonik usw. in seine Erklärungen ein.

Daher für Aristoteles:

Bei Aristoteles gibt es bereits einen Begriff des Mathematischen als eigener Gegenstandsweise und Wissenschaftsgruppe.

Aber auch hier ist Vorsicht nötig: Das ist nicht „Mathematik“ im modernen Sinn, sondern mathematische Wissenschaften von Zahl, Größe, Verhältnis, Gestalt, Bewegung als abstrakt betrachteten Gegenständen.

3. Der Unterschied Platon / Aristoteles

Platon fragt pädagogisch und seelenleitend:

Welche mathēmata ziehen die Seele vom Sinnlichen zum Seienden?

Aristoteles fragt wissenschaftssystematisch:

Welche Wissenschaft betrachtet welchen Gegenstandsbereich? Was ist Gegenstand der Physik, was der Mathematik, was der ersten Philosophie?

Das ist ein wichtiger Unterschied. Platon steht näher bei:

Lernwege / Studien / geistige Erhebung.

Aristoteles steht näher bei:

Wissenschaftsordnung / Gegenstandsbereich / Abstraktion.

4. Zur Frage: Gab es bei Platon oder Aristoteles „Mathematik“?

In heutiger deutscher Form: nein.

Im griechischen Wortfeld: ja, aber unterschiedlich.

Bei Platon ist der einschlägige Ausdruck eher:

μάθημα / μαθήματα (máthēma / mathḗmata) „Lerngegenstand, Lehrstück, Studie“

Bei Aristoteles treten stärker auf:

τὰ μαθηματικά (tà mathēmatiká) „die mathematischen Dinge / Gegenstände“

μαθηματικαὶ ἐπιστῆμαι (mathēmatikaì epistêmai) „mathematische Wissenschaften“

ὁ μαθηματικός (ho mathēmatikós) „der Mathematiker“

Das LSJ-Wortfeld zu μαθηματικός bestätigt diese Bedeutung: „zu den mathematischen Dingen gehörig“, „mathematisch“, und als Substantiv „Mathematiker“; Belege werden besonders bei Aristoteles sichtbar.

5. Korrektur zu „vor Hugo“

Deine Vermutung, daß der feste lateinisch-mittelalterliche Sammelbegriff nicht einfach schon bei Platon steht, ist richtig. Aber Hugo von St. Viktor ist nicht der erste.

Schon Cassiodor im 6. Jahrhundert hat ausdrücklich:

Mathematica … scientia est quae abstractam considerat quantitatem. Sie wird eingeteilt in arithmetica, musica, geometria, astronomia.

Und Isidor von Sevilla im 7. Jahrhundert formuliert nahezu gleich: Mathematica sei die Wissenschaft, welche abstrakte Quantität betrachtet; ihre vier Arten seien Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie. Also:

Nicht erst Hugo. Spätestens Cassiodor und Isidor verwenden mathematica ausdrücklich als Sammelbegriff für die vier mathematischen Disziplinen.

Hugo übernimmt und ordnet später weiter.

6. Für deine Forschung als präzise Formulierung

Ich würde es so festhalten:

Bei Platon begegnet noch kein festes Sammelfach „Mathematik“ im späteren Sinn, sondern eine Reihe von μαθήματα (mathḗmata), nämlich zahlen-, größen-, bewegungs- und harmonikbezogene Studien, die die Seele zur Schau des Seienden führen sollen. Bei Aristoteles wird daraus stärker ein eigener Wissenschaftsbereich: τὰ μαθηματικά (tà mathēmatiká), die mathematischen Gegenstände bzw. mathematischen Wissenschaften, unterschieden von Physik und erster Philosophie. Die lateinische mathematica als Sammelbegriff für Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie ist sicher vor Hugo belegt, besonders bei Cassiodor und Isidor.

Damit ist die Entwicklung sauberer:

Platon: mathēmata als seelenbildende Studien.

Aristoteles: ta mathēmatika als eigener abstrakter Gegenstandsbereich.

Boethius: mathesis / Quadrivium als lateinischer Bildungsweg der vier mathematischen Disziplinen.

Cassiodor / Isidor: mathematica als Sammelbegriff für die vier Disziplinen.

Hugo: systematische scholastische Weiterordnung.