Bose-Einstein-Statistik

Die Bose-Einstein-Statistik oder auch Bose-Einstein-Verteilung, benannt nach Satyendranath Bose (1894–1974) und Albert Einstein (1879–1955), ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Quantenstatistik (dort auch die Herleitung). Sie beschreibt die mittlere Besetzungszahl $⟨ n (E) ⟩$ eines Quantenzustands der Energie $E$ im thermodynamischen Gleichgewicht bei der absoluten Temperatur $T$ für identische Bosonen als besetzende Teilchen.

Analog existiert für Fermionen die Fermi-Dirac-Statistik, die ebenso wie die Bose-Einstein-Statistik im Grenzfall großer Energie $E$ in die Boltzmann-Statistik übergeht.

Kernpunkt der Bose-Einstein-Statistik ist, dass bei gleichzeitiger Vertauschung aller vier Variablen $x, y, z, m$ zweier Bosonen ( $x, y$ und $z$ : Ortsvariable; $m$ : Spinvariable) die Wellenfunktion $ψ$ bzw. der Zustandsvektor eines Vielteilchensystems nicht das Vorzeichen wechselt $(ψ \to ψ)$ , während es in der Fermi-Dirac-Statistik sehr wohl wechselt $(ψ \to - ψ)$ . Im Gegensatz zu Fermionen können deshalb mehrere Bosonen im gleichen Ein-Teilchen-Zustand sein, also die gleichen Quantenzahlen haben.

Bei Wechselwirkungsfreiheit

Bei Wechselwirkungsfreiheit (Bosegas) ergibt sich für Bosonen die folgende Formel:

⟨ n (E) ⟩ = \frac{1}{e^{β (E - μ)} - 1}

mit

dem chemischen Potential $μ$ , welches für Bosonen stets kleiner als der niedrigste mögliche Energiewert ist: $μ < E$ ;
daher ist die Bose-Einstein-Statistik nur für Energiewerte $E - μ > 0$ definiert.
der Energienormierung β. Die Wahl von β hängt von der verwendeten Temperaturskala ab:
- üblicherweise wird sie gewählt zu $β = 1 / (k_{B} T)$ mit der Boltzmann-Konstanten $k_{B}$ ;
- sie beträgt $β = 1 / T$ , wenn die Temperatur in Energieeinheiten, etwa Joule, gemessen wird; dies geschieht, wenn $k_{B}$ auch in der Definition der Entropie – welche dann einheitenlos ist – nicht auftaucht.

Unterhalb einer sehr tiefen kritischen Temperatur $T_{λ}$ erhält man bei Wechselwirkungsfreiheit – unter der Annahme, dass $μ$ gegen das Energie-Minimum strebt – die Bose-Einstein-Kondensation.

Man beachte, dass es sich bei $⟨ n (E) ⟩$ um die Besetzungszahl eines Quantenzustandes handelt. Benötigt man die Besetzungszahl eines entarteten Energieniveaus, so ist obiger Ausdruck zusätzlich mit dem entsprechenden Entartungsgrad $g_{i} = 2 s + 1$ zu multiplizieren ( $s$ : Spin, bei Bosonen immer ganzzahlig), vgl. auch Multiplizität.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei konstanter Temperatur $T$ , Teilchenzahl $N$ und Volumen $V$ ) die freie Energie

F = E - T S (1)

ein Minimum annimmt, kann die Bose-Einstein-Statistik mit wenigen Annahmen hergeleitet werden. Es sei $N$ die Gesamtzahl aller Bosonen und $N_{i}$ die Anzahl Bosonen im Energieniveau $E_{i}$ mit $i = 1, 2, \dots, I$ , d. h. die $N$ Bosonen seien über die Energieniveaus $E_{i}$ verteilt. $D_{i}$ sei die Anzahl der möglichen Zustände im Energieniveau $E_{i}$ , d. h. die Energieniveaus $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{I}$ seien jeweils $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{I}$ -fach entartet. Für den Makrozustand des Systems ist es unerheblich, welche der $N$ Bosonen sich im $i$ -ten Energieniveau befinden und welche der $D_{i}$ Zustände sie darin besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch $N_{1}, N_{2}, \dots, N_{I}$ bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Bosonen auf die Energieniveaus gilt:

\begin{matrix} N & = \sum_{i = 1}^{I} N_{i} & (2) \\ E & = \sum_{i = 1}^{I} N_{i} E_{i} & (3) \\ S & = k_{B} \ln W . & (4) \end{matrix}

Gleichung (2) gibt die Gesamtzahl der Bosonen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen $N_{i}$ variiert werden, um das Minimum von $F$ zu erreichen. Gleichung (3) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie $E$ des Systems an. Gleichung (4) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei $W = \prod_{i = 1}^{I} W_{i}$ die Wahrscheinlichkeit für die Besetzungszahlen $N_{1}, N_{2}, \dots, N_{I}$ angibt, d. h. die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils $N_{i}$ Bosonen auf die Plätze $D_{i}$ für alle Energieniveaus $i = 1, 2, \dots, I$ . Aus Gleichung (4) folgt damit:

S = k_{B} \ln \prod_{i = 1}^{I} W_{i} = k_{B} \sum_{i = 1}^{I} \ln W_{i} . (5)

Dabei gibt der Binomialkoeffizient

W_{i} = (\binom{N_{i} + D_{i} - 1}{N_{i}}) = \frac{(N_{i} + D_{i} - 1)!}{N_{i}! (D_{i} - 1)!}

die Anzahl der Möglichkeiten an, dass $N_{i}$ Teilchen ohne Beachtung der Reihenfolge das $D_{i}$ -fach entartete Energieniveau $E_{i}$ zu besetzen (Kombination mit Wiederholung von $N_{i}$ Teilchen).

Mit Hilfe der beiden ersten dominierenden Glieder der Stirling-Reihe ( $\ln k! \approx k \ln k - k$ für $k \to \infty$ ) und $N_{i} > > 1, D_{i} > > 1$ ergibt sich weiter

\begin{matrix} \ln W_{i} & = \ln (N_{i} + D_{i} - 1)! - \ln N_{i}! - \ln (D_{i} - 1)! \\ \approx (N_{i} + D_{i} - 1) \ln (N_{i} + D_{i} - 1) - (N_{i} + D_{i} - 1) - N_{i} \ln N_{i} + N_{i} - (D_{i} - 1) \ln (D_{i} - 1) + (D_{i} - 1) \\ = (N_{i} + D_{i} - 1) \ln (N_{i} + D_{i} - 1) - N_{i} \ln N_{i} - (D_{i} - 1) \ln (D_{i} - 1) . (6) \end{matrix}

Um die Verteilung zu finden, bei der die freie Energie $F$ unter der Nebenbedingung $N = c o n s t$ , aber $N_{i}$ variabel, minimal wird, kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren benutzt werden:

\frac{\partial F}{\partial N_{i}} - λ \frac{\partial N}{\partial N_{i}} = 0

für

i = 1, 2, 3 \dots I . (7)

Darin ist $λ$ der (von $i$ unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Hierbei gilt für die partiellen Ableitungen $\frac{\partial N}{\partial N_{i}} = 1$ und $\frac{\partial E}{\partial N_{i}} = E_{i}$ , da jedes $N_{i}$ genau einmal linear in der Summe von Gleichung (2) bzw. (3) vorkommt. Da $N_{i}$ nur Variable von $W_{i}$ , aber nicht von $W_{j}$ mit $j \neq i$ ist, vereinfacht sich die Summe von Gleichung (5) durch die partielle Ableitung nach $N_{i}$ wie folgt: $\frac{\partial S}{\partial N_{i}} = k_{B} \frac{\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}$ .

Damit ergibt sich aus Gleichung (1) und (7):

λ = \frac{\partial F}{\partial N_{i}} = \frac{\partial E}{\partial N_{i}} - T \frac{\partial S}{\partial N_{i}} = E_{i} - k_{B} T \frac{\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}} . (8)

Die partielle Ableitung $\frac{\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}$ kann aus Gl. (6) mit $N_{i} > > 1$ berechnet werden:

\begin{matrix} \frac{\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}} & \approx \ln (N_{i} + D_{i} - 1) + 1 - \ln N_{i} - 1 \\ = \ln (N_{i} + D_{i} - 1) - \ln N_{i} \\ = \ln (D_{i} / N_{i} + 1 - 1 / N_{i}) \\ \approx \ln (D_{i} / N_{i} + 1) . \end{matrix}

Damit ergibt sich aus Gleichung (8)

λ = E_{i} - k_{B} T \ln (D_{i} / N_{i} + 1)

.

Einsetzen der durch $f_{i} := \frac{N_{i}}{D_{i}}$ gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit $f_{i}$ und Umstellung ergibt

f_{i} = \frac{1}{\exp \frac{E_{i} - λ}{k_{B} T} - 1}

.

Dies ist die Bose-Einstein-Statistik. Der Lagrange-Multiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential $μ = λ$ .

Literatur

U. Krey, A. Owen: Basic Theoretical Physics – a Concise Overview. Springer, Berlin//Heidelberg/New York 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 (auf Englisch).
L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Statistische Physik. Verlag Harri Deutsch (ehem. Akademie Verlag), Berlin 1987 (verwendet unübliche Temperatureinheit).

Einzelnachweise

Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker: Thermodynamics and Statistical Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1997, ISBN 0-387-94299-8 (englisch). insbes. S. 310–313

Marcelo Alonso, Edward J. Finn: Fundamental University Physics, Vol. III, Quantum and Statistical Physics. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusetts 1968 (englisch). QRSTUV-DA-89876; insbes. Kap. 13.2, S. 519; Kap. 13.5, S. 529

Siehe auch

Weblinks

Commons: Bose-Einstein-Statistik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien