π (Kreiszahl)/Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl $\pi$ zu definieren. Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus:

• Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie (siehe Bild) beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang $U$ zum Durchmesser $d$ des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor $\pi =\frac{U}{d}$.
• Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts $A$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) $r$, also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl $\pi$ definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor $\pi =\frac{A}{r^2}$. Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie $\pi :4$ verhält.

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  Ein Kreis mit dem Durchmesser $1$ hat den Umfang $\pi$.

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  Erster geometrischer Ansatz:  $\pi =\frac{U}{d}$
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  Zweiter geometrischer Ansatz: $\frac{\pi }{4}=\frac{A_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}}{A_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}}}$
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  $\pi$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion.

• In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion $\cos (x)$ über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen.
• Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.

Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich $U:d=A:r^2$. Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl $\pi$.