π (Kreiszahl)/Eigenschaften

Irrationalität und Transzendenz

Die Kreiszahl $\pi$ ist transzendent und hat deshalb unendlich viele Nachkommastellen. In der Zahlenfolge sind bislang keine vorhersagbaren Muster erkennbar.

Die Zahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen $p,q\in \mathbb{Z}$, also nicht als Bruch $\frac{p}{q}$, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 bis 1768 von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl $\pi$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das $\pi$ zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzen Zahlen aus $\pi$ erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.

Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, $\pi$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Bei der Kreiszahl $\pi$ handelt es sich jedoch um eine algebraische Periode, was unmittelbar aus deren geometrischer Natur als Fläche des Einheitskreises hervorgeht.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da $\pi$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung

$\pi =\mathrm{3,14159}26535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679\dots$(Folge A000796 in OEIS)

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).

Darstellung zu anderen Zahlenbasen

Im Binärsystem ausgedrückt ist (siehe OEIS-Folge OEIS:A004601)

$\pi =\mathrm{11,0010}01000011111101101010100010001000010110100011000010001101001100010011000110011000101000101110\dots$.

Basen 3 bis 16 und 60

Die Darstellung zur Basis 3 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004602) $\pi =\mathrm{10,0102}11012222010211002111110221222220111201212121200121100100101222022212012012111210121011200220\dots$. Die Darstellung zur Basis 4 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004603) $\pi =\mathrm{3,0210}03331222202020112203002031030103012120220232000313001303101022100021032002020221213303013100\dots$. Die Darstellung zur Basis 5 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004604) $\pi =\mathrm{3,0323}22143033432411241224041402314211143020310022003444132211010403321344004324440144104233413301\dots$. Die Darstellung zur Basis 6 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004605) $\pi =\mathrm{3,0503}30051415124105234414053125321102301214442004115252553314203331311355351312334553341001515434\dots$. Die Darstellung zur Basis 7 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004606) $\pi =\mathrm{3,0663}65143203613411026340224465222664352065024015544321542643102516115456522000262243610330144323\dots$. Die Darstellung zur Basis 8 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004607) $\pi =\mathrm{3,1103}75524210264302151423063050560067016321122011160210514763072002027372461661163310450512020746\dots$. Die Darstellung zur Basis 9 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A004608) $\pi =\mathrm{3,1241}88124074427886451777617310358285165453534626523011263214502838640343541633030867813278715885\dots$. Die Darstellung zur Basis 10 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A000796) $\pi =\mathrm{3,1415}92653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117\dots$. Für die Darstellung zur Basis 11 bis 16 werden die Ziffern 10 bis 15 kodiert als:  Ziffer 10: $a$, Ziffer 11: $b$, Ziffer 12: $c$, Ziffer 13: $d$, Ziffer 14: $e$ und Ziffer 15: $f$ Die Darstellung zur Basis 11 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068436) $\pi =\mathrm{3,1615}0702865a48523521525977752941838668848853163a1a54213004658065227350533715271781a6563715781334\dots$. Die Darstellung zur Basis 12 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068437) $\pi =\mathrm{3,1848}09493b918664573a6211bb151551a05729290a7809a492742140a60a55256a0661a03753a3aa54805646880181a3\dots$. Die Darstellung zur Basis 13 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068438) $\pi =\mathrm{3,1}ac1049052a2c77369c0bb89cc9883278298358b370160306133ca5acba57614b65b410020c22b4c71457a955a5\dots$. Die Darstellung zur Basis 14 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068439) $\pi =\mathrm{3,1}da75cda81375427a40abcb1bd47549c89bcb6861d3327c740cab809a52d0dd5171874504a5481cc915490bb5\dots$. Die Darstellung zur Basis 15 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A068440) $\pi =\mathrm{3,21}cd1dc46c2b7e508484773e06919d1e50963db79c69739ea3731e79cde10a8ed4c630a83b9b5da464a9152\dots$ Die Darstellung zur Basis 16 hat die Gestalt (siehe OEIS-Folge OEIS:A062964) $\pi =\mathrm{3,243}f6a8885a308d313198a2e03707344a4093822299f31d0082efa98ec4e6c89452821e638d01377be5466cf34e9\dots$. Bezüglich Gestalt zur Basis 60 siehe OEIS-Folge OEIS:A060707.

Kettenbruchentwicklungen

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da $\pi$ irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:

$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}$

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von $\pi$ ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch (Folge A280135 in OEIS):

$\pi =4-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{17-\frac{1}{294-\ddots }}}}}}}}$

Anders als bei der Eulerschen Zahl $e$ konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von $\pi$ keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von $\pi$, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:

$\pi =3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\frac{9^2}{6+\frac{11^2}{6+\ddots }}}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2}{2+\ddots }}}}}}=\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\ddots }}}}}}$

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler-Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner-Folge A002486 in OEIS) die folgenden:

Nähe- rung	Kettenbruch	Näherungs- bruch	Dezimaldarstellung (erste abweichende Ziffer in rot)	Absoluter Fehler mittels Umfangsberechnung eines Kreises mit 1000 km Durchmesser
$\frac{m_0}{n_0}$	$[3]$	$\frac{3}{1}$	$\mathrm{3,}0$	−141,59 km
$\frac{m_1}{n_1}$	$[3;7]$	$\frac{22}{7}$	$\mathrm{3,14}2\dots$	+1,26 km
$\frac{m_2}{n_2}$	$[3;7,15]$	$\frac{333}{106}$	$\mathrm{3,1415}0\dots$	−83,22 m
$\frac{m_3}{n_3}$	$[3;7,15,1]$	$\frac{355}{113}$	$\mathrm{3,14159}29\dots$	+26,68 cm (relativer Fehler +0,2668 ppm)
$\frac{m_4}{n_4}$	$[3;7,15,1,292]$	$\frac{103993}{33102}$	$\mathrm{3,14159}26530\dots$	−0,58 mm
$\frac{m_5}{n_5}$	$[3;7,15,1,292,1]$	$\frac{104348}{33215}$	$\mathrm{3,14159}26539\dots$	+0,33 mm
$⋮$
$\frac{m_{10}}{n_{10}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]$	$\frac{4272943}{1360120}$	$\mathrm{3,14159}26535893\dots$	−0,4 µm (Wellenlänge blauen Lichts)
$⋮$
$\frac{m_{20}}{n_{20}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,$ $3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]$	$\frac{21053343141}{6701487259}$	$\mathrm{3,14159}2653589793$ $2384623\dots$	−2,6 · 10−16 m (kleiner als ein Proton)

Lambert publizierte einige Näherungs­brüche der Kreiszahl und sagte voraus, dass ein exakter Bruch, wenn er denn existiere, sehr „groß“ sein (also aus großem Zähler und Nenner bestehen) müsse.

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung $\frac{m_{20}}{n_{20}}$ stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden Kilometer Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Der exakte Wert des Irrationalitätsmaßes von $\pi$, also wie gut sich die Kreiszahl von rationalen Zahlen approximieren lässt, ist jedoch bis jetzt nicht bekannt.

Praktische Anwendung

• Beispiel in der Programmiersprache Forth

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl ungebräuchlich, da für Kreise auf einer Kugeloberfläche das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (stets ein Kreisbogen, siehe Rolle der Geraden) von deren Größe abhängig und kleiner als $\pi$ ist (Für einen Großkreis ist das Verhältnis genau $2$, nur für infinitesimale kleine Kreise beträgt der Wert $\pi$). Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird, ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein (So beträgt für einen Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche der Fehler etwa $10^{-15}$), bei größeren Kreisen und/oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Normalität

Es ist ungeklärt, ob $\pi$ eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.

Wenn $\pi$ eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von $\pi$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von $\pi$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl $\pi$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl $\pi$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als $\pi$ ab.

Feynman-Punkt

Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762. Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt an der 193034. Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.