π (Kreiszahl)/Geometrische Konstruktionen

Aufgrund der Transzendenz von $\pi$ ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von $\pi$ Längeneinheiten zu erstellen. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale, mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.

Ohne direkten praktischen Nutzen, doch geometrisch anschaulich, lässt sich $\pi$ als Flächeninhalt eines angepassten Sierpinski-Teppiches konstruieren.

Näherungskonstruktionen

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl $\pi$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Dabei handelt es sich um eine Näherung des halben Kreisumfangs, mit dessen Hilfe die – exakt nicht mögliche – Quadratur des Kreises dargestellt werden kann.

Kreiszahl π, Annäherungskonstruktion nach C. G. Specht, 1828.
Der Flächeninhalt des ergänzten Dreiecks $AEM$ (hellblau) ist nahezu gleich dem des Kreises.

143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert

$5\cdot \sqrt{\frac{439}{278}}=\mathrm{6,28318528}\dots$

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ übereinstimmen:

$\mathrm{3,14159}26401\dots \approx \pi$

Bei einem Kreis mit Radius $r=1$ ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks $AEM$, mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl $\pi$.

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

„Es wird dem Leser leicht sein, die Figur nach der Beschreibung zu entwerfen.“

– A. L. Crelle (Hrsg.): 40. Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges (Von Herrn C. G. Specht zu Berlin)

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt $A$ und dann ab $A$ eine gerade Linie; dabei ergibt sich $a$. Anschließend wird in $A$ eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt $M$. Es folgen auf der Geraden ab $a$ hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius $\overline{Aa}$ jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte $m,p,q$ und $B$. Nach der Dreiteilung der Strecken $\overline{mp}$ in $n$ und $o$ sowie $\overline{qB}$ in $r$ und $s$, wird nun der Punkt $M$ mit $m$ verbunden. Die dabei entstandene Strecke $\overline{Mm}$ auf die Senkrechte ab $A$ abgetragen ergibt $R$. Verbinde auch den Punkt $R$ mit $r$ und übertrage die neue Strecke $\overline{Rr}$ ab $A$ auf die Senkrechte; es ergibt sich $C$. Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte $C$ mit $o$ sowie $C$ mit $B$. Beim Übertragen der Strecke $\overline{AB}$ auf die Strecke $\overline{Co}$ ab $C$ ergibt sich $c$. Abschließend zeichne ab $c$ eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$, die $\overline{CB}$ in $d$ schneidet. Die somit entstandene Strecke $\overline{Cd}$ entspricht annähernd dem Wert $2\pi$.

Die Annäherung an die Kreiszahl $\pi =\frac{U}{d}$ kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser $d$ eines Kreises $200\mathrm{k}\mathrm{m}$, würde sein angenäherter Umfang $U=d\pi$ nur um ca. $\mathrm{2,7}\mathrm{m}\mathrm{m}$ kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Mithilfe der Quadratrix des Hippias

Kreiszahl $\pi$ als exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix $(a=1)$

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl $\pi$ als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt $A$ und einer Senkrechten auf diese Gerade durch $A$. Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius $\overline{AB}=1$ um $A$ gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte $B,D$ und $E$. Nun konstruiert man das Quadrat $ABCD$ mit der Seitenlänge $a=1$. Es folgt die Festlegung der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der $x$-Achse. Hierfür wird der Bezug der Kurve nicht auf die $x$-Achse, sondern auf die $y$-Achse gewählt. Die Quadratrix (rot) verläuft somit durch $D$ und $E$. Für diese Lage der Quadratrix ($a=1$) gilt die kartesische Gleichung:

$x=y\cdot \cot (\frac{\pi }{2a}\cdot y)$

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite $\overline{AB}$ ihres zugehörigen Quadrates im Punkt $F$ und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert $\frac{2}{\pi }$. Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke $\overline{AB}$ ab $\frac{2}{\pi }$ bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt $G$. Nach der Verlängerung der Strecke $\overline{BC}$ über $C$ hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab $A$ durch $G$ bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt $H$. Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke $\overline{AH}$ mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass $\frac{2}{\pi }$ der Strecke $\overline{AF}$ entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte

$|AF|:|AB|=|AG|:|AH|$,

umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

$|AH|=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{2}{\pi }}\cdot 1=\frac{\pi }{2}$.

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius $\overline{AH}$ um $A$ bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt $\frac{\pi }{2}$. Der abschließende Thaleskreis über $\frac{\pi }{2}$ ab dem Punkt $A$ ergibt somit exakt die Kreiszahl $\pi$.

Mithilfe der archimedischen Spirale

Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ zeigt das folgende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale. Wird als Windungsabstand (mit $a=2$) $a\cdot \frac{\pi }{2}$ gewählt, so schneidet der Graph der Spirale die $y$-Achse in $B$ und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung $\overline{OB}=\pi .$ Der auf die $y$-Achse projizierte Halbkreis mit Radius $r=1$ sowie die Strecke $\overline{OC}=\pi$ (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

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  Kreiszahl $\pi$ mithilfe der archimedischen Spirale
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  Kreiszahl $\pi$ mithilfe der Sinuslinie

Mithilfe der Sinuslinie

Die Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ mithilfe des Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)$, auch als Sinuslinie bezeichnet, ist eine der einfachsten ihrer Art. Sie durchläuft zuerst den Punkt $O$ und liefert schließlich beim zweiten Überqueren der Zahlengerade (Winkel $\alpha =180^{\circ }$) die Kreiszahl $\pi$ als Länge, d. h. den halben Umfang des Einheitskreises.