AAGMW/Anfangsgründe der Algebra.
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Die Algebra ist eine Wissenschaft, aus einigen gegebenen endlichen Grössen andere ihres gleichen, von denen in Ansehung der gegebenen etwas bekannt gemacht wird, vermittelst gewisser Gleichungen zu finden.
2. Z. E. ihr sollet zwey Zahlen finden, die mit einander multipliciret eine gegebene Zahl 60, hingegen zusammen addiret eine andere gegebene Zahl 17 bringen. Also werden euch gegeben zwey Zahlen, und ihr sollet aus denselben zwey andere Zahlen finden, von welchen euch bekannt gemacht wird, daß ihre Summe der kleineren, ihr Product aber der grösseren von den gegebenen Zahlen gleich seyn soll. Die Algebra nun lehret euch nicht allein in gegenwärtigem Falle die verlangten Zahlen, sondern auch eine allgemeine Regel finden, nach welcher ihr alle Exempel von dieser Art rechnen könnet.
3. Die Buchstaben-Rechenkunst wird diejenige genennet, welche an statt der Ziffern allgemeine Zeichen der Grössen brauchet, und damit die gewöhnlichen Rechnungs-Arten verrichtet.
4. Eine Grösse nennen wir alles dasjenige, was sich vermehren und vermindern [
] läßt, in so weit es sich vermehren und vermindern läßt.
5. Man benenne die gegebenen Grössen jederzeit mit den ersten Buchstaben des Alphabets, a, b, c, d, u. s. w. die unbekannten aber, welche man suchet, mit den letzten x, y, z.
6. Das Zeichen der Addition ist +, der Subtraction aber —. Jenes wird durch mehr, dieses durch weniger ausgesprochen.
7. Z. E. die Summe zweyer Grössen a und b wird geschrieben a + b, und ausgesprochen: a mehr b.Hingegen die Differenz zweyer Grössen wird geschrieben durch a — b, und ausgesprochen: a weniger b.Als, es bedeute a 7 Thaler, b 8 Groschen, so bedeutet a + b 7 Thl. + 8 gl. das ist, 7 Thl. 8. gr. hingegen a — b 7 Thl. — 8 gl. das ist, 7 Thl. weniger 8 gl.
8. Die Multiplication hat entweder gar kein Zeichen, sondern man setzet die Buchstaben, welche einander multipliciren, ohne einiges Zeichen neben einander: oder man deutet sie durch ein Comma (,) oder einen Punct (.) an. Insgemein brauchet man dieses Zeichen x.
9. Wenn a durch b multipliciret werden soll, so schreibet das Product ab, oder a.b, oder axb. Wir werden uns des letztern Zeichens niemals bedienen.
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10. Wenn eine Grösse viele andere auf einmal multipliciret, so schliesset man sie in eine parenthesin ( ) ein, und setzet jene ohne einiges Zeichen vor oder hinter die parenthesin: oder man setzet zwischen dieselben ein blosses Comma.
11. Das Product von a + b - c in d schreibet entweder also: (a + b - c) d, oder dergestalt: d (a + b - c), oder auch folgender massen: a + b - c, d. Insgemein schreibet man dieses Product also 
, oder auch 
.
Der 5. willkührliche Satz.
12. Das Zeichen der Division sind zwey Puncte (:), oder man schreibet die Buchstaben, welche einander dividiren sollen, wie in der Rechenkunst einen Bruch.
Anmerkung.
13. Wenn a durch b dividiret werden soll; so schreibet man den Quotienten entweder a : b, oder a/b , und spricht beides aus: a durch b dividiret.
Der 6. willkührliche Satz.
14. Wenn eine Grösse viele andere auf einmal dividiret, oder viele andere Eine dividiren; so werden, wie in der Multiplication, die vielen in eine parenthesin ( ) eingeschlossen, oder man kan auch an deren statt ein blosses Comma brauchen.
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Die 1. Aufgabe.
16. Einerley Grösse mit einerley und verschiedenen Zeichen zu addiren.
Auflösung.
1. Wenn sie einerley Zeichen haben, so zählet sie wie in der Rechenkunst zusammen.
2. Sind aber die Zeichen verschieden, so ziehet von der grösseren die kleinere ab, und setzet zu dem, was überbleibet, das Zeichen der grösseren.
Exempel
Beweis.
Weil die Buchstaben undeterminirte Zahlen sind, so könnet ihr einen jeden als Eins ansehen, und demnach die Größen, welche durch einerley Buchstaben benennet werden, als Dinge von gleicher Art zusammenzählen (§. 4. Arithm.). Alle Grössen, [702] welche mit dem Zeichen – bemerket werden, fehlen, und hingegegen, die das Zeichen + haben, sind vorhanden. Wenn ich derowegen von beider Art addiren soll, so wird durch die letzteren der Mangel aufgehoben, und muß freylich die Addition in eine Subtraction verkehret werden. W. Z. E.
Die 1. Anmerkung.
17. Die Grössen, welche mit dem Zeichen – bemerket werden, hat man nicht anders als Schulden anzusehen; und hingegen die andern mit dem Zeichen + als baares Geld. Und daher nennet man auch die ersten weniger als nichts, weil man erst so viel weggeben muß, als man schuldig ist, ehe man nichts hat.
Die 2. Anmerkung.
18. Damit euch die Rechnung mit Buchstaben deutlicher wird so bildet euch ein, a bedeute 1 thl. b 1 gr. c 1 pf.
Die 2. Aufgabe.
19. Einerley Grössen mit einerley oder verschiedenen Zeichen von einander zu subtrahiren.
Auflösung.
1. Wenn einerley Zeichen sind, und ihr sollet die kleinere von der grösseren abziehen; so verrichtet die Subtraction, wie in Ziffern (§. 43. Arithm.).
2. Sollet ihr aber die grössere von der kleineren abziehen; so ziehet die kleinere von der grösseren ab, und zu den übrigen setzt das Zeichen –, wenn die Grössen + haben; hingegen +, wenn sie – haben. [703] 3. Wenn die Zeichen verschieden sind, so addiret die Grössen, die ihr von einander abziehen sollet, und zu der Summe setzet das Zeichen derjenigen Grösse, von welcher die Subtraction geschehen solte.
Exempel.
Beweis.
Weil ihr jeden Buchstaben als Eins ansehen könnet; so könnet ihr auch wie in Zahlen die Subtraction verrichten. Allein wenn ihr die grössere von der kleineren abziehet, und sie haben das Zeichen +, als 20 c von 15 c; so nehmet ihr 20 cweg, müsset aber von oben die 15 c addiren, und dannenhero fehlen nur noch so viel c, als der Unterscheid zwischen 20 und 15 ist, nemlich 5. Hingegen wenn das Zeichen – ist, als wenn ihr –9 d von –7 d abziehen sollet; so müsset ihr 9 d addiren, weil ihr zu viel abgezogen. Denn ihr solltet 20 c – 9 d wegnehmen; ihr habet aber 20 c ganz weggenommen. Da nun oben 7 d fehlen; so heben sich von den 9 d, die ihr dazu addiret, 7 auf, und bleiben nur noch 2 d übrig. Darum dürfet ihr in diesen Fällen nur allezeit die kleinere von der grösseren abziehen, und zu dem übrigen das widrige [704]Zeichen setzen, nemlich –, wenn ihr + habet, und +, wenn – ist. Endlich wenn die Zeichen verschieden sind, und ihr sollet z. E. –9 e von +8 e abziehen; so so wisset ihr auch aus dem Vorhergehenden, daß die unteren 9 e addiret werden müssen, weil ihr zu viel in dem Vorhergehenden abgezogen. Und demnach bekommet ihr +17 e. Hingegen wenn ihr z. E. +7 f von –f subtrahiren sollet, so fehlet euch zusammen 8 f. Daher habet ihr in beiden Fällen nur nöthig, die Grössen zu addiren, und zu der Summe das Zeichen zu setzen, welches die Grösse hat, davon die Subtraction geschiehet. W. Z. E.
Die 3. Aufgabe.
20. Grössen mit einerley und verschiedenen Zeichen durch einander zu multipliciren.
Auflösung.
Verrichtet die Multiplication, wie in Zahlen (§. 49. Arithm.); nur merket, daß einerley Zeichen im Product +, verschiedene aber – geben.
Exempel.
Beweis.
Wenn ihr + durch + multipliciret, so ist klar, daß das Product auch + haben muß. Ingleichen ist nicht schwer zu begreifen, daß in dem Producte [705] das Zeichen – seyn muß, wenn ihr + durch – multipliciret, weil ihr einen Mangel oder eine Schuld etliche mal nehmt. Allein wenn – durch – multipliciret wird, scheinet es nicht gleich klar zu seyn, warum in dem Producte + ist. Merket demnach, daß, wenn ihr 3 – 2 durch –2 multipliciren sollet, ihr den Defect –2 so vielmal nehmen sollet, als 3 – 2 Einheiten hat; das ist 1mal. Da ihr nun anfangs 3 mit –2 multipliciret, so nehmet ihr den Defect 3mal, und demnach 2mal zu viel. Derowegen müsset ihr ihn noch 2mal dazu wieder addiren. Und also giebet –2 mit –2 zum Producte +4. W. Z. E.
Zusatz.
21. Wenn ihr –a mit +b multipliciret, so kommet –ab heraus. Derowegen wenn ihr –ab durch +b dividiret, muß –aherauskommen. Dividiret ihr aber –ab durch –a, so muß +b herauskommen. Demnach ist klar, daß auch in der Division die Regel gilt: Einerley Zeichen geben im Quotienten +, verschiedene aber –.
Die 4. Aufgabe.
22. Grössen mit einerley und verschiedenen Zeichen durch einander zu dividiren.
Auflösung.
Wenn eine gegebene Grösse durch die andere sich würklich dividiren lässet; so verfahret wie in Zahlen (§. 51. Arithm.), nur daß ihr die Regel von Veränderung der Zeichen wohl in Acht nehmet (§. 21.).
Kan aber die Division nicht würklich geschehen; so bleibet es bey dem, was oben (§. 12. et seqq.) gesaget worden.
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Exempel.
Anmerkung.
23. Weil die Buchstaben nicht wie die Zahlen eine Bedeutung von der Stelle haben, in welcher sie stehen; so dürfet ihr euch an keine Ordnung binden, sondern möget den Quotienten suchen, in welchem Gliede ihr ihn findet: welches auch in dem Subtrahiren des Products aus dem Divisore in den Quotienten stattfindet.
Die 4. Erklärung.
24. Wenn man eine Grösse durch sich selbst multipliciret; so heisset das Product, welches herauskommet, die andere Potenz oder Dignität[1] derselben Grösse. Multilpiciret ihr die andere Dignität noch einmal durch die erste; so kommet die dritte Potenz oder Dignität heraus. Multipliciret ihr ferner die dritte durch die erste; so kommet die vierte Potenz oder Dignität heraus. Multipliciret ihr die vierte durch die erste; so kommet die fünfte Potenz oder Dignität heraus, u. s. w. Die erste Stammgrösse, so die erste Dignität genennet wird, heisset auch die Wurzel in Ansehung der anderen, dritten, vierten, fünften etc. Dignität.
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Der 7. willkührliche Satz.
25. Den Grad der Potenz oder Dignität einer Grösse deutet durch eine kleine Ziffer, oder, wenn er nicht determiniret ist, durch einen kleinen Buchstaben an, den ihr oben zur Rechten an denjenigen Buchstaben setzet, wodurch die Grösse benennet wird. Z. E. die andere, dritte, vierte etc. Dignität von x ist x2, x3, x4, etc. xm. Diese Zahlen werden die Exponenten der Dignität genennet.