Aufteilung der n-Simplexe in Polygone und Sternpolygone
angelegt 07.04.2021 tetraktys_1
Aufteilung der n-Simplexe in Polygone und Sternpolygone, sowie die jeweiligen Innenwinkelsummen ihrer Ecken zur Darstellung der Tetraktys: 1+2+3+4=10
Welche Geometrie vermag Zahlen besser zu präsentiern als Polygone, deren Ecken den natürlichen Zahlen entsprechen? Polygone mit eingezeichneten Sternpolygonen (n-Simplex) sind die “geometrische Fleischwerdung” von Zahlen. Die Sternpolygone beschreiben beispielsweise das Teilungsverhalten der jeweiligen Zahl, die der Anzahl der Ecken seines Simplex entspricht.
Beispiel:
Die 6 ist teilbar durch die 2 und die 3. Das entsprechende Simplex enthält:
2 Dreiecke = 2 x 3 und 3 Linien = 3 x 2
Diese schöne Tatsache betrifft jedoch nur Sternpolygone, die durch einfache Polygone zusammengesetzt sind. Sternpolygone, die sich wiederum aus Sternpolygonen zusammensetzen, zeigen eine nicht n-teilbare Konstellation an! Die erste dieser Konstellationen befindet sich im
10er Simplex auf Position 4 (jeder 4. Punkt wird verbunden) und beschreibt geometrisch den Tatbestand: 10 geteilt durch 4! (also nicht n-teilbar) Das Ergebnis sind zwei Pentagramme mit der Winkelsumme = 1, in der Tabelle rot markiert. Die nächste dieser Konstellationen befindet sich 4 Polygone weiter, im Simplex des 14-Ecks, hier aus Platzgründen nicht mehr zu sehen. Schon dieses eine Beispiel illustriert die Wechselbeziehungen der Zahlen 10, 4 und 1 in diesem System.
Der Name "Tetraktys" sagt es, es geht um die Zahl 4.
Das Viereck ist das > einzige< Polygon (nicht Sternpolygon!), dessen 4 Innenwinkel (rechte Winkel) in der Summe 360 Grad haben!
Dies entspricht bekanntlich einem vollen Kreis! Die Gradeinteilung von 360 ist in diesem Fall absolut unwichtig! Es geht hier um die Vielfachen eines Kreises, 1 Kreis = Faktor 1
Abgesehen von den daraus folgenden, extrem vielfältigen Gesetzmäßigkeiten im Zeichen der 1, 4 und 10, die sich daraus ergeben, korreliert diese Betrachtungsweise auch mit der Tatsache, dass die Fortführung dieses Systems eine schrittweise Verdichtung vom Polygon in Richtung Kreis zum Ziel hat.
An Hand nebenstehender Tabelle ist nun folgendes zu erkennen: Die Summe der Innenwinkel eines 10- Ecks entspricht 4 Vollkreisen. Man achte nun auf die Wechselbeziehung:
4-Eck = 1 Vollkreis
10-Eck = 4 Vollkreise ! ! !
Und: Die Summe der Innenwinkel des 10-Ecks inklusive aller eingezeichneten Sternpolygone (Simplex) entspricht 10 Vollkreisen.
Damit präsentiert das Zehneck das >einzige< n-Simplex, dessen Anzahl der Ecken identisch ist mit der Summe seiner Vollkreise!
Also: 10 = 10 ! ! !
Kleinere Simplexe haben weniger Vollkreise als ihre eigenen Ecken. Größere Simplexe haben mehr Vollkreise
als ihre eigenen Ecken. Die 10 ist also der "Dreh- und Angelpunkt" wo die Schere auseinander geht! Die hier in Kurzform beschriebenen Sachverhalte sind nur die Spitze des Eisberges! Das ganze System ist durchdrungen von Vierer-Intervallen. Zusätzlich ist es dezimalcodiert. Das wird erst deutlich, wenn man die Zahlenreihen weiterführt!
| Null | Eineck | Zweieck | Dreieck | Viereck | Fünfeck | Sechseck | Siebeneck | Achteck | Neuneck | Zehneck | Elfeck | Zwölfeck | Dreizehneck | ||
| Nichts |
Punkt | Strecke | 3=220+1 | Quadrat | 5=221+1 | Näherungs-konstruktion möglich | englisch octagon | seltener Enneagon, Näherungs-konstruktion möglich | Näherungs-konstruktion möglich | ||||||
| Läßt sich lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon). | nein | ja | ja | ja | ja | nein | ja | nein | ja | nein | ja | nein | |||
| n-Ecke, (Polygone): | Monogon | Digon | Trigon | Tetragon | Pentagon | Hexagon | Heptagon | Oktogon | Nonagon | Dekagon | Hendekagon | Dodekagon | Tridekagon | ||
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| entsprechend den natürlichen Zahlen von 1 bis unendlich | 0 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | >10< | 11 | 12 | 13 | |
| Vollkreise gesamt bzw.: |
0 |
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usw. |
| Innenwinkelsumme der Ecken des Polygons umgerechnet auf volle Kreise: | 0 | ? | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 5 | 5,5 | |
| Innenwinkelsumme | 0 | ? | ? | 180˚ | 360˚ | 540˚ | 720˚ | 900˚ | 1080˚ | 1260˚ | 1440˚ | 1620˚ | 1800˚ | 1980˚ | |
| π | 0 | ? | ? | 1π | 2π | 3π | 4π | 5π | 6π | 7π | 8π | 9π | 20π | 11π | |
| Pentagramm | Sterntetraeder | ||||||||||||||
| 2. Polygon (Sternpolygon): Jede 2. Ecke wird verbunden bis alle Ecken erfasst sind. Dies erfordert 2 Umläufe. Das bedeutet: n-Eck, bzw. n geteilt durch 2 ! |  |
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usw. | ||||
| Innenwinkelsumme der Ecken des Sternpolygons umgerechnet auf volle Kreise: | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | |||||
| 3. Polygon (Sternpolygon): Jede 3. Ecke wird verbunden bis alle Ecken erfasst sind. Dies erfordert 3 Umläufe. Das bedeutet: n-Eck, bzw. n geteilt durch 3 ! |  |
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usw. | ||||||
| Innenwinkelsumme der Ecken des Sternpolygons umgerechnet auf volle Kreise: | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | |||||||
| 4. Polygon (Sternpolygon): Jede 4. Ecke wird verbunden bis alle Ecken erfasst sind. Dies erfordert 4 Umläufe. Das bedeutet: n-Eck, bzw. n geteilt durch 4 ! |  |
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usw. | ||||||||
| Innenwinkelsumme der Ecken des Sternpolygons umgerechnet auf volle Kreise: | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | |||||||||
| 5. Polygon (Sternpolygon): Jede 5. Ecke wird verbunden bis alle Ecken erfasst sind. Dies erfordert 5 Umläufe. Das bedeutet: n-Eck, bzw. n geteilt durch 5 ! |  |
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usw. | ||||||||||
| Innenwinkelsumme der Ecken des Sternpolygons umgerechnet auf volle Kreise: | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | |||||||||||
| 6. Polygon (Sternpolygon): Jede 6. Ecke wird verbunden bis alle Ecken erfasst sind. Dies erfordert 6 Umläufe. Das bedeutet: n-Eck, bzw. n geteilt durch 6 ! |  |
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usw. | ||||||||||||
| Innenwinkelsumme der Ecken des Sternpolygons umgerechnet auf volle Kreise usw...usw... | 0 | 0,5 | |||||||||||||
| n-Simplexe (n-Ecke inklusive aller jeweils eingeschriebenen Sternpolygone) Die eingezeichneten Sterpolygone illustrieren geometrisch das genaue Teilbarkeitsverhalten der jeweiligen Zahl = Anzahl der Ecken. |
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usw. | ||
| Vollkreise gesamt: | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 6 | 8 | 10 | 12,5 | 515 | 18 | |||
| Figurative Dreieckszahlen: Die Summen der Vollkreise der geradzahligen n-Simplexe sind die Dreieckszahlen. Die Vollkreis-Summen der oben stehenden “leeren” Polygone (n-Ecke) zeigen an, um die wievielte Dreieckszahl es sich jeweils handelt. |
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usw. | |||||||||
| Polyeder | Kugel | Tetraeder |
Pentaeder | Hexaeder | Heptaeder | Oktaeder | Enneaeder | Dekaeder | Hendekaeder | Dodekaeder | Tridekaeder | Ikosaeder | |||
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| Flächenzahl | 1 | 4 |
5 | 6 |
7 | 8 |
9 | 10 |
11 | 12 |
13 | 20 | |||
| Beispiel | = Dreieckpyramide | Quadratpyramide | Würfel | verlängerte Dreieckpyramide | Rhomboederstumpf | verlängerte Quadratpyramide | Fünfeck-Bipyramide | regelmäßiges Dodekaeder | verdreht verlängerte Quadratpyramide | ||||||
| Platonischer Körper |  |
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| Art der Seitenflächen | gleichseitige Dreiecke | Quadrate | gleichseitige Dreiecke | regelmäßige Fünfecke | gleichseitige Dreiecke | ||||||||||
| Anzahl der Ecken/Kanten einer Fläche | 3 | 4 | 3 | 5 | 3 | ||||||||||
| Anzahl der Flächen/Kanten in einer Ecke | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 | ||||||||||
| Anzahl der Ecken | 1 - unendlich |
4 | 8 | 6 | 20 | 12 | |||||||||
| Anzahl der Kanten | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 | ||||||||||
| Anzahl der Flächen | 1 | 4 | 6 | 8 | 12 | 20 | |||||||||
| dual zu | Tetraeder | Oktaeder | Hexaeder | Ikosaeder | Dodekaeder | ||||||||||
| Schläfli-Symbol | {3,3} | {4,3} | {3,4} | {5,3} | {3,5} | ||||||||||
| Monade | Dyade | Triade | |||||||||||||
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| 90˚ | 360˚ | 180˚ | 180˚ | ||||||||||||
| 9+0=9 9+9+9+9=9 |
3+6=9 | 1+8=9 | 60 x 3 = 180 1+8=9 |