Dezimales Stellenwertsystem

Ziffern

Im Dezimalsystem verwendet man zehn verschiedene arabische Ziffern

0 (null), 1 (eins), 2 (zwei), 3 (drei), 4 (vier), 5 (fünf), 6 (sechs), 7 (sieben), 8 (acht), 9 (neun),

die als Dezimalziffern bezeichnet werden.

Die europäischen Zeichen für diese Ziffern stammen aus dem Maghreb und haben nicht die Form, die im Nahen Osten verwendet wird. Auch indische Schriften verwenden andere Zeichen.

Die Ziffern, die als Zahlzeichen zusammengefasst den Wert einer Zahl ausdrücken, werden unmittelbar aneinander gereiht; lediglich Trennzeichen können eingefügt sein

für eine Zifferngruppierung (z. B. Tausendertrennzeichen zur besseren Lesbarkeit) und
bei nicht-ganzen Zahlen für die Abgrenzung zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Teil des Zahlzeichens.

Die Reihenfolge der Ziffern hat eine eigenständige Bedeutung. Jede Ziffer belegt eine Stelle (Position im Zahlzeichen), wozu man Einerstelle, Zehnerstelle, Hunderterstelle usw. unterscheidet. Bei der schriftlichen Addition können dann Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw. geschrieben werden. Diese Anordnung ist erst durch die Erfindung und Einführung der Ziffer Null (vor allem durch Aryabhata) in der indischen Zahlschrift möglich geworden. Bei der Übertragung des Zahlwortes „zweihundertfünf“ in das Zahlzeichen „205“ darf die im Wort nicht vorhandene Zehnerstelle nicht fehlen, sondern sie ist mit einer 0 zu füllen. Anderenfalls würde „25“ geschrieben; dann wäre die 2 nicht mehr auf ihrer Hunderterstelle.

Darstellung

Eine Dezimalzahl wird im deutschen Sprachraum meistens in der Form

𝐳_{m} 𝐳_{m - 1} \dots 𝐳_{0} {, 𝐳}_{- 1} 𝐳_{- 2} \dots 𝐳_{- n} (m, n \in ℕ)

geschrieben. Dabei ist jedes $𝐳_{i}$ eine der zehn oben genannten Ziffern. (Zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffernzeichen fett und ihre zugehörigen Ziffernwerte normal gedruckt.) Daneben existieren je nach Verwendungszweck und Staat noch weitere Schreibweisen. Jede Ziffer hat einen Ziffernwert; jede Stelle hat einen Stellenwert. Der Ziffernwert liegt in der konventionellen Zählreihenfolge. Der Stellenwert der $i$ -ten Stelle wird durch die Zehnerpotenz $1 0^{i}$ festgelegt, wenn die Zählvariable zu $i = 0$ auf der Einerstelle festgelegt wird.

Natürliche Zahlen enden rechts mit der Ziffer $𝐳_{0}$ auf der Einerstelle. Ihr vorangestellt werden die Ziffern $𝐳_{1}$ auf der Zehnerstelle, $𝐳_{2}$ auf der Hunderterstelle usw., bis man auf der höchstwertigen Stelle, die mit einer Ziffer belegt ist, bei $𝐳_{m}$ ankommt. Sollen nur signifikante Stellen angegeben werden, so ist $z_{m} \neq 0$ .

Positive rationale Zahlen (zum Beispiel $\frac{65}{4}$ ) können in einen ganzzahligen Teil und einen echten Bruch zerlegt werden (im Beispiel $\frac{65}{4} = 16 + \frac{1}{4}$ ), und der Bruch lässt sich in Zehntel, Hundertstel usw. umrechnen (im Beispiel $\frac{1}{4} = \frac{2}{10} + \frac{5}{100}$ ). In der Schreibweise als Dezimalzahl folgen zur Anfügung des Bruchs rechts von der Einerstelle das Dezimalzeichen (im deutschsprachigen Raum ist das ein Komma) und auf Nachkommastellen die Ziffern $𝐳_{- 1}$ bis $𝐳_{- n}$ (im Beispiel $\frac{65}{4} = 16,25$ ). Dabei kann die Anzahl $n$ begrenzt sein (im Beispiel $n = 2$ ) oder auch unbegrenzt.– Ist der Wert (Absolutwert) einer Zahl kleiner als 1, so wird links vom Komma stets eine 0 geschrieben.^[1]

Der Wert $Z$ der Dezimalzahl ergibt sich durch Summierung der mit ihrem zugehörigen Stellenwert multiplizierten Ziffernwerte. Zusätzlich ist das Vorzeichen voranzustellen; ein fehlendes Vorzeichen bedeutet ein Plus.

Z = \sum_{i = - n}^{m} z_{i} \cdot 1 0^{i} > 0; Z = - \sum_{i = - n}^{m} z_{i} \cdot 1 0^{i} < 0

.

Beispiel (mit $m = 1$ und $n = 2$ ):

16,25 = 1 \cdot 1 0^{1} + 6 \cdot 1 0^{0} + 2 \cdot 1 0^{- 1} + 5 \cdot 1 0^{- 2}

oder

16,25 = 1 \cdot 10 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,01

Längere Ziffernfolgen werden zur besseren Lesbarkeit in Dreiergruppen strukturiert (ab dem Komma nach links und nach rechts), siehe Schreibweise von Zahlen. Dazu dient nach Empfehlung der ISO ein (geschütztes) schmales Leerzeichen als Tausendertrennzeichen; Punkte zur Gruppierung sollen nicht mehr verwendet werden, da diese in Teilen der Welt als Dezimalzeichen verwendet werden und daher missverständlich sind.^[1] Demnach wird die Dezimalzahl 76543210,9876 strukturiert in 76 543 210,987 6 oder für Teile der Schweiz in 76'543'210,9876.

Dezimalbruchentwicklung

Die Umrechnung eines gewöhnlichen Bruchs in eine Dezimalzahl und darüber hinaus die Darstellung einer reellen Zahl in der vorstehenden Weise wird als Dezimalbruchentwicklung bezeichnet^[2] und unter diesem Stichwort ausführlicher behandelt.

Bei allen rationalen Zahlen ist die Folge der Ziffern periodisch ohne Ende. Im häufig auftretenden Sonderfall, wenn die Ziffernfolge ab einer gewissen Stelle durchweg aus Nullen besteht, sagt man, dass die Dezimalbruchentwicklung abbricht. Diese Nullen dürfen auf Nachkommastellen weggelassen werden, und der Dezimalbruch wird als endlicher Dezimalbruch bezeichnet.^[3]

Bei einem unendlichen Dezimalbruch wird mit der Schreibweise $0, 𝐚_{1} 𝐚_{2} 𝐚_{3} \dots$ der Wert der Reihe $\sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} \cdot 1 0^{- i}$ bezeichnet. Für periodische Dezimalbrüche gibt es eine abgekürzte Notation.

Eine irrationale Zahl enthält (auch) im Dezimalsystem eine unendliche, nicht-periodische Nachkommaziffernfolge.^[4] Angeben lässt sich davon stets nur ein endlicher Teil. Mit diesem kann man sich dem Wert der irrationalen Zahl zwar je nach Länge beliebig annähern, jedoch ist eine solche endliche Darstellung niemals exakt. Es ist also nur mithilfe zusätzlicher Symbole möglich, irrationale Zahlen exakt anzugeben. Beispiele solcher Symbole sind Wurzelzeichen, wie $\sqrt{2}$ , Buchstaben wie $π$ für die Kreiszahl oder $e$ für die Eulersche Zahl, sowie mathematische Ausdrücke wie unendliche Reihen oder Grenzwerte.

↑ ^a ^b EN ISO 80000-1:2013, deutsche Ausgabe als DIN EN ISO 80000-1:2013. Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines. Abschnitt 7.3.
↑ Michael Merz, Mario V. Wüthrich: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Vahlen, 2013, S. 51.
↑ Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik? 5. Auflage. Springer, 2001, S. 54.
↑ Reinhold Pfeiffer, Heidemarie Borgwadt: Algebraische Grundlagen. Gabler/Springer, 1993, S. 82.

[ISO_80000-1-1] EN ISO 80000-1:2013, deutsche Ausgabe als DIN EN ISO 80000-1:2013. Größen und Einheiten – Teil 1: Allgemeines. Abschnitt 7.3.

[2] Michael Merz, Mario V. Wüthrich: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Vahlen, 2013, S. 51.

[3] Richard Courant, Herbert Robbins: Was ist Mathematik? 5. Auflage. Springer, 2001, S. 54.

[4] Reinhold Pfeiffer, Heidemarie Borgwadt: Algebraische Grundlagen. Gabler/Springer, 1993, S. 82.

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[2]

[3]

[4]