Divisionstabelle & Sieb des Eratosthenes

[] DIVISIONSTABELLE & SIEB DES ERATOSTHENES Letzte Änderung dieses Themas: 28.12.2013 "Prime numbers are what is left when you have taken all the patterns away." Mark Haddon, The Curious Incident of the Dog in the Night-Time , page 12 Die Tabelle rechts zeigt das Muster zwischen den Primzahlen. Die X-Achse = Zahlenstrahl,Y-Achse = Teiler (und umgekehrt!). Der Inhalt der Tabelle zeigt alle entsprechenden Quotienten. Als ich im Jahr 2011 das Zahlenlambdoma zum ersten Mal auf dieser Seite zeigte, suchte ich vergeblich nach ähnlichen Darstellungen im Internet. Das verwunderte mich sehr, da mir persönlich diese Tabelle sehr geholfen hat, Zusammenhänge zu erfassen, die weit über die Primzahlproblematik hinausgehen. Bis mich am 18. Oktober 2013 eine Mail von einem Leser erreichte, der mich auf folgenden sehr empfehlenswerten Link hinwies: divisorplot.com Da ist die Zahlentabelle vereinfacht so dargestellt wie hier rechts abgebildet. Statt der Quotienten mit den entsprechenden Zahlenbrüchen werden lediglich die Teiler zeilenweise dupliziert angezeigt. Diese Darstellungsweise ist sehr geeignet, um das Prinzip vomSieb des Eratosthenes auf höchst elegante Weise anschaulich zu machen. Direkt darunter sehen Sie die selbe Tabelle mit den hervorgehobenen Primzahlen. Das Verständnis dieser Abbildung int ungemein hilfreich für die folgenden Betrachtungen. Das System hinter den Primzahlen kann man nur begreifen, wenn man das gesamte "Muster" untersucht, das sich zwischen den Primzahlen befindet, welches auch alle Zahlenbrüche umfasst und – was überhaupt das wichtigte ist – die dahinter stehende Geometrie veran- schaulicht. Denn: diese Zahlentabelle ist nichts geringeres, als das so genannte Lambdoma der Musiktheorie und der Harmonik. Somit öffnen sich weitere interessante Themen, die direkt in die Physik münden. Hier finden Sie interessante Einzelheiten zum Lambdoma aus physikalischer Sicht: ALLES IST ZAHL – ALLES IST FREQUENZ Das Lambdoma ist das wichtigste Diagramm sowohl in der harmonikalen Forschung als auch der Musiktheorie. Näheres zu den musiktheoretisch, harmonikalen Zusammenhängen finden Sie unter: DAS LAMBDOMA – HARMONIK & TETRAKTYS Hier auf dieser Seite wollen wir nun das Lambdoma unter zahlentheoretischen Gesichtspunkten betrachten. In der Mathematik wurde das Lambdoma unter dem Namen "Diagonalverfahren" bekannt. Georg Cantor verwendete es, um die Abzählbarkeit der rationalen und die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen zu beweisen. Zu erklären was nun damit gemeint sein könnte, überlasse ich Wikipedia. Im Folgenden soll es um die Primzahlproblematik, gehen – gewürzt mit einem Schuss "Mystik", um diese überaus interessanten und wichtigen Zusammenhänge etwas schmackhafter zu machen. Das Lambdoma zeigt ein 45 Grad gekipptes Koordinatensystem, deren x- und y-Achse jeweils die Zahlengerade bis unendlich enthalten. Die einzelnen Positionen innerhalb des Koordinatensystems zeigen die daraus resultierenden, jeweiligen Zahlenbrüche. Die namensgebende dreieckförmige Darstellung des Lambdomas (benannt nach der dreieckigen Form des griechischen Buchstabens Lambda) soll die ihm innewohnende Symmetrie anschaulich machen. Soweit ganz einfach. Niemand sollte sich aber von dieser simplen und zwingend logischen Anordnung der Zahlenbrüche täuschen lassen, denn bei genauer Betrachtung entpuppt sich das System als komplexe Matrix, von der ich behaupte, dass ein Zahlentheoretiker ohne das Wissen um die Architektur dieser Matrix schwer benachteiligt ist. Ein Mathematiker der diese Zahlenmatrix zwar kennt, nicht aber die dahinter stehende Geometrie, kann wiederum nicht die Bedeutungsschwere der daraus resultierenden Zusammenhänge abschätzen. Diese Behauptungen mögen provozieren – was auch meine Absicht ist! Im Folgendem wollen wir uns nun an die zahlentheoretischen Grundlagen dieser Matrix rantasten. Die linke Koordinate zeigt Zahlenbrüche beginnend bei 1/1, welche sich im weiteren Verlauf bis unendlich verkleinern. Die rechte Koordinate zeigt alle natürlichen Zahlen dargestellt als Brüche, die sich bis unendlich vergrößern. Trifft die Zahlengerade des unendlich Kleinen mit der Zahlengerade des unendlich Großen in der Mitte aufeinander, so ergeben beide Zahlengeraden bis unendlich immer den Wert 1, also: 1/1, 2/2 3/3 usw.... Um diesen wichtigen Tatbestand hervorzuheben, sind diese Brüche dunkel markiert. Wir haben also eine Symmetrie, die genau in der Mitte auf den Wert 1 ausbalanciert ist. Der Wert 1 ist die Symmetrieachse. Multipliziert man alle Brüche zeilenweise , ergibt dies immer den Wert 1. Des Weiteren sind jene Werte, welche bis unendlich 1/2 und 2/1 ergeben, ebenfalls optisch hervorgehoben. Warum? 'Man könnte ja schließlich denken, dass diese weitere Unterteilung keinerlei größere Bedeutung hat, da man die jeweiligen Bereiche ohnehin immer weiter in gleich große Teile teilen kann. 'Dem ist nicht so, denn nur die Brüche oberhalb von 2/1 beschreiben die Teilbarkeit natürlicher ganzer Zahlen und genau in diesem vierten(!) Bereich des Lambdomas sind wir mitten drin in der Tetraktys (=4!) und den Primzahlen Weiter unten wird das deutlich werden. Schauen wir uns nach weiteren Gesetzmäßigkeiten im Zahlenlambdoma um. Die größte Dichte aufeinanderfolgender Brüche hat die Symmetrieachse des Lambdomas, wo senkrecht jeder nachfolgende Bruch den Wert 1 ergibt, also 1/1, 2/2, 3/3 usw..... Bei den Achsen 1/2 und 2/1 ist es nur noch jeder zweite aufeinander folgende Bruch, der jeweils den gleichen Wert hat, usw... 'Markieren wir nun alle Werte, welche sich wiederholen, dann entsteht ein perfekt symmetrisches Muster! 'Dieses symmetrische Muster bildet die Basis der Matrix, die wir nun weiter untersuchen wollen. Ein wenig erinnert dieses Diagramm an das Pascalsche Dreieck, welches wiederum der Struktur nach identisch mit dem Sierpinskidreieck ist. Und natürlich gibt es auch zu dieser Matrix interessante Verknüpfungen und Entsprechungen, Siehe: SIMPLEX – MULTIDIMENSIONALE TETRAEDER. Hier nun eine Verkleinerung der Felder in denen sich die jeweiligen Werte befinden. Aus Darstellungs- gründen verzichten wir auf die Benennung der Zahlenbrüche. Jetzt offenbaren sich weitere wiederholende Strukturen dieses symmetrischen Musters. Beispielsweise kann man nun die konsequente Wiederholung des 6er-Taktes der Primzahlzwillingsbildung, inklusive der Pseudoprimzahlen erkennen! Primzahlen in der Zahlengerade von Zähler und Nenner erkennt man daran, dass alle resultierenden Brüche bis unendlich immer wieder neue Zahlenwerte zeigen, mit Ausnahme der Symmetrieachse des Lambdomas, die immer den Wert 1 hat, also 2/2, 3/3, 5/5, 7/7, 11/11, 13/13 usw… Anders ausgedrückt: Primzahlen haben in dieser Grafik mit Ausnahme der Mittelachse (Wert1) keine dunklen Felder. Dies betrifft jedoch nicht die so genannten Pseudoprimzahlen, die mit der Ziffer 25 beginnen. Wir erinnern uns: Wenn irgendwo im Zahlenstrahl bis unendlich eine Primzahl auftritt, dann ist diese immer innerhalb des 6er Taktes nach Leibnitz geordnet. Mit Ausnahme der 2 und 3 ( ! ) Aus diesem 6er Takt resultiert bekanntermaßen auch die Primzahlzwillingsbildung. Nebenstehende Grafik zeigt, dass eben auch die Pseudoprimzahlen ab der Ziffer 25 (also 25,35,49,55 usw.) in dieser 6er Matrix geordnet sind. Die Konsequenz daraus ist, dass man diese Pseudoprimzahlen nicht außer Acht lassen sollte, wenn man dem "Mysterium" der Primzahlverteilung auf dem Grund gehen will, denn sie ordnen jeder allein stehenden Primzahl "ihren" Zwilling zu. In dieser Hervorhebung der Primzahlzwillingsbildung kann man noch viele weitere Details erkennen. Um aber den roten Faden nicht zu verlieren, wenden wir uns dem nächsten wichtigen Sachverhalt zu. Es gibt nur genau drei Möglichkeiten, wie natürliche Zahlen mit ihren jeweiligen Teilern zueinanderin Beziehung stehen. Diese sind: Die rechts gezeigte Darstellung eines Lambdomas zeigt nun die entsprechenden Positionen dieser drei Teilbarkeitskonstellationen, gemäß der oben stehenden Farblegende. Hier wird nun deutlich, dass alle teilerfremden, rot markierten Konstellationen auch jene Zahlenbrüche sind, die jeweils zum ersten Mal im Lambdoma auftreten. 'Diese ersten, im wahrsten Sinne des Wortes "primen" Konstellationen korellieren auch mit der Zwillingsbildung der Primzahlen, sowohl in der x- als auch y-Achse des Koordinatensystems. 'Die restlichen beiden beige-gelb und blau markierten Konstellationen sind 'spiegel- symmetrisch, deckungsgleich'. Die Animation rechts oben soll das verdeutlichen! Man achte beim Betrachten dieser Animation, dass sich mit den Farbfeldern selbstverständlich auch die entsprechenden, darunter stehenden Brüche ändern müssen, also: 1/n und n/1 sowie 1/2 und 2/1. 1/2 und 2/1 entspricht dem Verhältnis 1 zu 4 ! Hier wird nun offensichtlich, warum das Teilbarkeitsergebnis 2, also 2/1 und sein reziproker Wert 1/2 das Lambdoma in vier gleiche Teile – in eine Tetraktys teilt. Siehe Animation rechts unten. Nur die beige-gelb gefärbten Felder "n ist mit dem Teiler teilbar" präsentieren jene ganzzahligen Teilbarkeitsergebnisse, mit denen das Sieb des Eratosthenes alle Nicht-Primzahlen in die entsprechenden Primfaktoren zerlegt. Und nur genau dieses eine Viertel des Lambdomas ist absolut identisch mit der Geometrie der Simplexe. Schauen Sie unter folgendem Link: SIMPLEX – DER FESTE AGGREGATZUSTAND DER ZAHL Über diese grundsätzlichen Eigenschaften innerhalb des unendlich großen und unendlich kleinen Zahlenraumes und ihre Entsprechung in der Kreisgeometrie sollte man wirklich länger nachdenken/meditieren. Die Übereinstimmung der Farbcodierung wurde von mir also nicht zufällig gewählt. Und es muss auch nicht verwundern, dass sich die Dreiteilung der Zahl, innerhalb derer die Primzahlzwillingsbildung begründet ist, auch auf den "fraktalen Unterraum" der natürlichen Zahlen, den entsprechenen Zahlenbrüchen auswirkt. Betrachten Sie nun die darunter stehende Divisionstabelle aufmerksam. Die oben stehend, waagerechte x-Achse des Koordinatensystems zeigen den n-Zahlenstrahl, Hier nun ein wichtiger Sachverhalt, den zumindest derjenige Leser schon erahnt, der die ersten Seiten der Rubrik "Zahlentheorie" mental nachvollziehen konnte: Die drei Teilbarkeitskonstellationen korellieren direkt mit der Dreiteilung des Zahlenstrahls bis unendlich, innerhalb derer auch die Zwillingsbildung der Primzahlen begründet ist siehe: TETRAKTYS PART 1 – DIE ORDNUNG DER PRIMZAHLEN die links stehende, senkrechte y-Achse zeigt denn-Strahl in der Teilerposition. Achten Sie auf den 4er-Takt der >blauen< Codierungen im Koordinatensystem und wo sie oberhalb der Quotienten 2 beginnen, nämlich ab der Ziffer 10 und dem Teiler 4! Achten Sie weiter auf den 6er-Takt der Primzahlzwillinge links und rechts der 6-teilbaren, geraden Zahlen =12er Symmetrien. Etwas schwieriger zu durchschauen sind die blauen 3er Strukturen, welche anfangs noch dem 6er Takt folgen, da sich hier nun die Muster überlagern. Die daraus resultierenden Unregelmäßigkeiten sind nur optisch vordergründig chaotisch. Der äußere Schein trügt. Wahr ist: Die Primzahlen sind unregelmäßig verteilt! Falsch dagegen ist: zu behaupten, es gäbe kein klar definiertes System hinter diesen Unregelmäßigkeiten. Farblegende der n-Zahlengeraden (x- und y-Achse des Koordinatensystems) Farblegende der Zahlenbrüche (Inhalt des Koordinatensystems) Lesen Sie nun bitte weiter unter: DAS SIEB DES ERATOSTHENES & DIE TETRAKTYS