Ellipse als affines Bild des Einheitskreises

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Ellipse als affines Bild des Einheitskreises definiert.^[1]

Parameterdarstellung

Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form $\vec{x} \to {\vec{f}}_{0} + A \vec{x}$ , wobei $A$ eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ${\vec{f}}_{0}$ ein beliebiger Vektor ist. Sind ${\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}$ die Spaltenvektoren der Matrix $A$ , so wird der Einheitskreis $(\cos t, \sin t), 0 \leq t \leq 2 π,$ auf die Ellipse

\vec{x} = \vec{p} (t) = {\vec{f}}_{0} + {\vec{f}}_{1} \cos t + {\vec{f}}_{2} \sin t

abgebildet. ${\vec{f}}_{0}$ ist der Mittelpunkt und ${\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}$ sind zwei konjugierte Halbmesser (s. u.) der Ellipse. ${\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}$ stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., ${\vec{f}}_{0} \pm {\vec{f}}_{1}$ und ${\vec{f}}_{0} \pm {\vec{f}}_{2}$ sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Diese Definition einer Ellipse liefert eine einfache Parameterdarstellung (s. u.) einer beliebigen Ellipse.

Scheitel, Scheitelform

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Ellipsendurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Ellipsenpunkt ${\vec{p}}^{'} (t) = - {\vec{f}}_{1} \sin t + {\vec{f}}_{2} \cos t$ ist, ergibt sich der Parameter $t_{0}$ eines Scheitels aus der Gleichung

{\vec{p}}^{'} (t) \cdot (\vec{p} (t) - {\vec{f}}_{0}) = (- {\vec{f}}_{1} \sin t + {\vec{f}}_{2} \cos t) \cdot ({\vec{f}}_{1} \cos t + {\vec{f}}_{2} \sin t) = 0

und damit aus $\cot (2 t_{0}) = \frac{{\vec{f}}_{1}^{2} - {\vec{f}}_{2}^{2}}{2 {\vec{f}}_{1} \cdot {\vec{f}}_{2}}$ .
(Es wurden die Formeln $\cos^{2} t - \sin^{2} t = \cos 2 t, 2 \sin t \cos t = \sin 2 t$ benutzt.)

Falls ${\vec{f}}_{1} \cdot {\vec{f}}_{2} = 0$ ist, ist $t_{0} = 0$ und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die 4 Scheitel der Ellipse sind $\vec{p} (t_{0}), \vec{p} (t_{0} \pm \frac{π}{2}), \vec{p} (t_{0} + π) .$

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Ellipse ist

\vec{x} = \vec{p} (t) = {\vec{f}}_{0} + (\vec{p} (t_{0}) - {\vec{f}}_{0}) \cos (t - t_{0}) + (\vec{p} (t_{0} + \frac{π}{2}) - {\vec{f}}_{0}) \sin (t - t_{0}) .

Halbachsen

Mit den Abkürzungen $M = {\vec{f}}_{1}^{2} + {\vec{f}}_{2}^{2}, N = | det ({\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}) |$ folgt aus den beiden Sätzen von Apollonios:

a^{2} + b^{2} = M, a b = N

Löst man nach $a, b$ auf, ergibt sich (s. Steiner-Ellipse)

a = \frac{1}{2} (\sqrt{M + 2 N} + \sqrt{M - 2 N})

b = \frac{1}{2} (\sqrt{M + 2 N} - \sqrt{M - 2 N}) .

Flächeninhalt

Aus dem zweiten Satz von Apollonios folgt:
Der Flächeninhalt einer Ellipse $\vec{x} = {\vec{f}}_{0} + {\vec{f}}_{1} \cos t + {\vec{f}}_{2} \sin t$ ist

A = π | det ({\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}) | .

Für Beispiel 3 ist $A = π 2 \sqrt{3} .$

Beispiele

${\vec{f}}_{0} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), {\vec{f}}_{1} = (\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}), {\vec{f}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix})$ liefert die übliche Parameterdarstellung der Ellipse mit der Gleichung $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 : \vec{x} = \vec{p} (t) = (\begin{matrix} a \cos t \\ b \sin t \end{matrix})$ .
Folge von Ellipsen: rotiert und so skaliert, dass zwei aufeinanderfolgende Ellipsen sich berühren
${\vec{f}}_{0} = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix}), {\vec{f}}_{1} = (\begin{matrix} a \cos φ \\ a \sin φ \end{matrix}), {\vec{f}}_{2} = (\begin{matrix} - b \sin φ \\ b \cos φ \end{matrix})$ liefert die Parameterdarstellung der Ellipse, die aus $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ durch Drehung um den Winkel $φ$ und anschließende Verschiebung um ${\vec{f}}_{0}$ hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h., ${\vec{f}}_{0} \pm {\vec{f}}_{1}$ und ${\vec{f}}_{0} \pm {\vec{f}}_{2}$ sind die Scheitel der Ellipse.
Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
Die Parameterdarstellung

\vec{x} = \vec{p} (t) = (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 0 \end{matrix}) \cos t + (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) \sin t

einer Ellipse ist nicht in Scheitelform.

Der Scheitelparameter ergibt sich aus

\cot (2 t_{0}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}

zu

t_{0} = - \frac{π}{6}

.

Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:

\vec{x} = \vec{p} (t) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) \cos (t + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \sin (t + \frac{π}{6})

Die Scheitel sind:

(1, - 1), (- 1, 1), (\sqrt{3}, \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, - \sqrt{3})

und

die Halbachsen:

a = \sqrt{2}, b = \sqrt{6} .

Implizite Darstellung

Löst man die Parameterdarstellung mit Hilfe der Cramerschen Regel nach $\cos t, \sin t$ auf und verwendet $\cos^{2} t + \sin^{2} t - 1 = 0$ , erhält man die implizite Darstellung

det (\vec{x} - \vec{f}_{0}, \vec{f}_{2})^{2} + det (\vec{f}_{1}, \vec{x} - \vec{f}_{0})^{2} - det (\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2})^{2} = 0

.

Für Beispiel 3 ergibt sich: $x^{2} - x y + y^{2} - 3 = 0 .$

Dreht man die Ellipse mit der Gleichung $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ um den Nullpunkt (Mittelpunkt), hat ihre Gleichung die Form

x^{2} + 2 c x y + d^{2} y^{2} - e^{2} = 0,

wobei

d^{2} - c^{2} > 0

ist.

Liegt umgekehrt die Gleichung einer gedrehten Ellipse vor und man möchte die Vorteile der hier beschriebenen Parameterdarstellung nutzen, bestimmt man die Ortsvektoren zweier konjugierter Punkte. Wählt man als ersten Punkt $(e, 0)$ , ergibt sich:

{\vec{f}}_{1} = (\binom{e}{0}), {\vec{f}}_{2} = \frac{e}{\sqrt{d^{2} - c^{2}}} (\binom{- c}{1}) .

Beispiel: Für die Ellipse mit der Gleichung $x^{2} + 2 x y + 3 y^{2} - 1 = 0$ sind

{\vec{f}}_{1} = (\binom{1}{0}), {\vec{f}}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\binom{- 1}{1})

die Ortsvektoren zweier konjugierter Punkte.

Ellipse im Raum

Sind die Vektoren ${\vec{f}}_{0}, {\vec{f}}_{1}, {\vec{f}}_{2}$ aus dem $ℝ^{3}$ , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

↑ Siehe: Cornelie Leopold, S. 55.

[1] Siehe: Cornelie Leopold, S. 55.

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