Ellipse in kartesischen Koordinaten

Gleichung

A. Führt man kartesische Koordinaten so ein, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt und die $x$-Achse entlang der Hauptachse verläuft, so haben die Brennpunkte die Koordinaten $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$. Für einen beliebigen Punkt $(x,y)$ ergibt sich mithilfe des Satz des Pythagoras der Abstand zu $F_1$ als $\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}$ und zu $F_2$ als $\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}$. Also liegt der Punkt $(x,y)$ genau dann auf der Ellipse, wenn die Bedingung

$\sqrt{(x-e{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+e{)}^2+y^2}=2a$

erfüllt ist. Nach Beseitigung der Wurzeln durch Quadrieren und Verwenden der Beziehung $b^2=a^2-e^2$ (s. o.) erhält man die Mittelpunktsgleichung

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

oder nach $y$ aufgelöst

$y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}.$

Aus der Beziehung $b^2=a^2-e^2$ erhält man die Gleichungen

$e=\sqrt{a^2-b^2}$ und $\epsilon =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}.$

Daraus ergeben sich noch die Beziehungen

$b=a\sqrt{1-{\epsilon }^2}$

$p=a\cdot (1-{\epsilon }^2)$

Ist $a=b$, so ist $\epsilon =0$ und die Ellipse ein Kreis.

Ist $b=e$, so ist $\epsilon =\frac{1}{\sqrt{2}}$, und man nennt die Ellipse eine gleichseitige Ellipse oder Ellipse schönster Form. Diese entsteht z. B., wenn man einen Drehzylinder mit einer gegen die Zylinderachse um 45° geneigten Ebene schneidet: Die Länge der kleinen Halbachse der Ellipse ist dabei gleich dem Radius des Zylinders.

B. Die Ellipse in A. lässt sich auch mithilfe einer Bilinearform als Lösungsmenge der Gleichung ${\overrightarrow{x}}^{\mathrm{T}}M\overrightarrow{x}=1$ auffassen. Hierbei werden die Vektoren $x$ und $x^{\mathrm{T}}$ mit dem gleichen Punkt $X$ identifiziert. Bei Einführung kartesischer Koordinaten ist $M$ die Matrix $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{a^2}& 0\\ 0& \frac{1}{b^2}\end{array}\right)$, ${\overrightarrow{x}}^{\mathrm{T}}=(x,y)$ ein Zeilenvektor und $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ ein Spaltenvektor.

C. Eine Ellipse mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Brennpunkten auf der $x$-Achse heißt auch in 1. Hauptlage.Wenn hier die obige Ellipsengleichung erwähnt wird, wird immer angenommen, dass $a\ge b$ und damit die Ellipse in 1. Hauptlage ist, was im „realen Leben“ aber nicht sein muss. Da kann durchaus auch $a<b$ vorkommen, was bedeutet, dass die Ellipse sich in 2. Hauptlage befindet (die Brennpunkte liegen auf der $y$-Achse).

Aufgrund der Definition einer Ellipse gilt:

Eine Ellipse ist symmetrisch zu ihren Achsen und damit auch zu ihrem Mittelpunkt.

(Die Symmetrieeigenschaft lässt sich auch leicht an der hier abgeleiteten Gleichung einer Ellipse erkennen.)

Halbparameter

Die halbe Länge $p$ einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter, manchmal auch nur Parameter $p$ oder auch semi-latus rectum (die Hälfte des latus rectum = $2\cdot p$) der Ellipse. Durch Einsetzen von $x^2=e^2=a^2-b^2$ in die nach $y$ aufgelöste Mittelpunktsgleichung ergibt sich

$y=p=\frac{b^2}{a}$.

Der Halbparameter hat noch eine zusätzliche Bedeutung: Der Krümmungsradius in den Hauptscheiteln ist $p$ (s. unten).

Tangente

A. Für den Hauptscheitel $(a,0)$ bzw. $(-a,0)$ hat die Tangente die Gleichung $x=a$ bzw. $x=-a$. Die einfachste Weise, die Gleichung der Tangente in einem Ellipsenpunkt $(x_0,y_0\ne 0)$ zu bestimmen, ist, die Gleichung $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ der Ellipse implizit zu differenzieren. Hiermit ergibt sich für die Ableitung

$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y{y}^{\prime }}{b^2}=0\to y^{\prime }=-\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}$

und damit die Punkt-Steigungs-Form der Tangente im Punkt $(x_0,y_0)$:

$y=-\frac{x_0}{y_0}\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)+y_0$

Berücksichtigt man $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$, so erhält man als Gleichung der Tangente im Punkt $(x_0,y_0)$:

$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$

Diese Form schließt auch die Tangenten durch die Hauptscheitel ein. Letzteres gilt auch für die Vektorform

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-a{y}_0/b\\ b{x}_0/a\end{array}\right)\text{mit}s\in ℝ$.

B. Die in A. eingeführte Tangentengleichung $\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$ lässt sich auch ohne Differentialrechnung als Spezialfall einer Polarengleichung einführen (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.). Sie entspricht einer Normalenform mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}=(\frac{x_0}{a^2},\frac{y_0}{b^2})$. Von diesem lässt sich ein dazu rechtwinkeliger Richtungsvektor$\overrightarrow{u}$ von $t$ ablesen. Da $\overrightarrow{u}$ nur bis auf einen Skalar eindeutig ist, hat er die Formen

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-y_0/b^2\\ x_0/a^2\end{array}\right)=$$\frac{1}{ab}\left(\begin{array}{c}-a{y}_0/b\\ b{x}_0/a\end{array}\right)=$$-\frac{y_0}{b^2}\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{-x_0}{y_0}\frac{b^2}{a^2}\end{array}\right)$;

dies liefert den Richtungsvektor der in A. angegebenen Vektorform und auch die Steigung der dort angegebenen Punktsteigungsform.

Eine zeichnerische Bestimmung von Ellipsentangenten findet man im Artikel Ellipse (Darstellende Geometrie).

Gleichung einer verschobenen Ellipse

Verschiebt man die obige Ellipse so, dass der Mittelpunkt der Punkt $(m_1,m_2)$ ist, ergibt sich die Mittelpunktsform einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind:

$\frac{(x-m_1{)}^2}{a^2}+\frac{(y-m_2{)}^2}{b^2}=1$

Parameterdarstellungen

Standarddarstellung

Die übliche Parameterdarstellung einer Ellipse verwendet die Sinus- und Kosinus-Funktion. Wegen ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$beschreibt

$(a\cos t,b\sin t),0\le t<2\pi$

die Ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Verschiedene Möglichkeiten, den Parameter $t$ geometrisch zu interpretieren, werden im Abschnitt Ellipsen zeichnenangegeben.

Rationale Parameterdarstellung

Punkte einer Ellipse mit Hilfe der rationalen Parameterdarstellung berechnet ($\mathrm{\Delta }u=\mathrm{0,2}$)

Mit der Substitution $u=\tan (t/2)$ und trigonometrischen Formeln erhält man

$\cos t=(1-u^2)/(1+u^2),\sin t=2u/(1+u^2)$

und damit die rationale Parameterdarstellung einer Ellipse:

$\begin{array}{ccc}x(u)& =& a(1-u^2)/(1+u^2)\\ y(u)& =& 2bu/(1+u^2)\end{array},-\mathrm{\infty }<u<\mathrm{\infty }.$

Die rationale Parameterdarstellung hat folgende Eigenschaften (s. Bild):

• Für $u=0$ wird der positive Hauptscheitel dargestellt: $x(0)=a,y(0)=0$; für $u=1$ der positive Nebenscheitel: $x(1)=0,y(1)=b$.
• Übergang zur Gegenzahl des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der $x$-Achse: $x(-u)=x(u),y(-u)=-y(u)$.
• Übergang zum Kehrwert des Parameters spiegelt den dargestellten Punkt an der $y$-Achse: $x\left(\frac{1}{u}\right)=-x(u),y\left(\frac{1}{u}\right)=y(u)$.
• Der negative Hauptscheitel kann mit keinem reellen Parameter $u$ dargestellt werden. Die Koordinaten desselben sind die Grenzwerte der Parameterdarstellung für unendliches positives oder negatives $u$: $\underset{u\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}x(u)=-a,\underset{u\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y(u)=0$.

Rationale Parameterdarstellungen der Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) spielen im CAD-Bereich bei quadratischen rationalen Bezierkurven eine wichtige Rolle.

Tangentensteigung als Parameter

Eine Parameterdarstellung, die die Tangentensteigung $m$ in dem jeweiligen Ellipsenpunkt verwendet, erhält man durch Differentiation der Parameterdarstellung $\overrightarrow{x}(t)=(a\cos t,b\sin t{)}^{\mathrm{T}}$:

${\overrightarrow{x}}^{\prime }(t)=(-a\sin t,b\cos t{)}^{\mathrm{T}}\to m=-\frac{b}{a}\cot t\to \cot t=-\frac{ma}{b}.$

Mit Hilfe trigonometrischer Formeln ergibt sich

$\cos t=\frac{\cot t}{\pm \sqrt{1+{\cot }^{2}t}}=\frac{-ma}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}},\sin t=\frac{1}{\pm \sqrt{1+{\cot }^{2}t}}=\frac{b}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}}.$

Ersetzt man in der Standarddarstellung $\cos t$ und $\sin t$, erhält man schließlich

${\overrightarrow{c}}_{\pm }(m)={(-\frac{m{a}^2}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}},\frac{b^2}{\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}})}^{\mathrm{T}},m\in ℝ.$

Dabei ist $m$ die Tangentensteigung im jeweiligen Ellipsenpunkt, ${\overrightarrow{c}}_{+}$ die obere und ${\overrightarrow{c}}_{-}$ die untere Hälfte der Ellipse. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel $(\pm a,0)$) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.

Die Gleichung der Tangente im Punkt ${\overrightarrow{c}}_{\pm }(m)$ hat die Form $y=mx+n$. Der $y$-Abschnitt $n$ ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des zugehörigen Ellipsenpunktes ${\overrightarrow{c}}_{\pm }(m)$:

$y=mx\pm \sqrt{m^2{a}^2+b^2}$

Diese Hauptform der Tangentengleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurveeiner Ellipse.

Bemerkung: Die Hauptform der Tangentengleichung und die Koordinaten von ${\overrightarrow{c}}_{\pm }(m)$ lassen sich auch ohne Differentialrechnung und ohne trigonometrische Formeln herleiten, indem die Tangente als Spezialfall einer Polare aufgefasst wird (s. u. Herleitung der Lagebeziehungen von Pol und Polare, D.)

Verschobene Ellipse

Eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt $(m_1,m_2)$ wird durch

$(m_1+a\cos t,m_2+b\sin t),0\le t<2\pi$

beschrieben.

Eine Parameterdarstellung einer beliebigen Ellipse ist in dem Abschnitt Ellipse als affines Bild des Einheitskreisesenthalten.