Ellipsen (Peripheriewinkelsatz und 3-Punkteform)

Elipse

Kreise

Kreis: Peripheriewinkelsatz

Ein Kreis mit der Gleichung $(x-c{)}^2+(y-d{)}^2=r^2,r>0$ ist durch drei Punkte $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt. Eine einfache Methode, die Parameter $c,d,r$ zu bestimmen, benutzt den Peripheriewinkelsatz für Kreise:

Vier Punkte $P_i=(x_i,y_i),i=1,2,3,4$ (s. Bild) liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei $P_3$ und $P_4$ gleich sind.

Üblicherweise misst man einen einbeschriebenen Winkel in Grad oder Radiant. Um die Gleichung eines Kreises durch 3 Punkte zu bestimmen, ist das folgende Winkelmaß geeigneter:

Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen $y=m_{1}x+d_1,y=m_{2}x+d_2,m_1\ne m_2$ zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:

$\frac{1+m_1\cdot m_2}{m_2-m_1}$

Dieser Quotient ist der Kotangens des Schnittwinkels der beiden Geraden.

Peripheriewinkelsatz für Kreise:
Für vier Punkte $P_i=(x_i,y_i),i=1,2,3,4$, keine drei auf einer Geraden (s. Bild), gilt:

Die vier Punkte liegen genau dann auf einem Kreis, wenn die Winkel bei $P_3$ und $P_4$ im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

$\frac{(x_4-x_1)(x_4-x_2)+(y_4-y_1)(y_4-y_2)}{(y_4-y_1)(x_4-x_2)-(y_4-y_2)(x_4-x_1)}=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}$

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur $y$-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Kreisgleichung:

Die Gleichung des Kreises durch die 3 Punkte $P_i=(x_i,y_i)$ nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

$\frac{(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)}{(y-y_1)(x-x_2)-(y-y_2)(x-x_1)}=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)}{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}$

Diese Formel lässt sich durch Verwenden der Ortsvektoren, des Skalarproduktes und der Determinante übersichtlicher schreiben:

$\frac{(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_1)\cdot (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_2)}{det(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_1,\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_2)}=\frac{({\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_1)\cdot ({\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_2)}{det({\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_2)}.$

Beispiel:

Für $P_1=(2,0),P_2=(0,1),P_3=(0,0)$ ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

$\frac{(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}=0$ und schließlich $(x-1{)}^2+(y-1/2{)}^2=5/4.$

Ellipsen

In diesem Abschnitt werden nur Ellipsen betrachtet mit Gleichungen

$\frac{(x-c{)}^2}{a^2}+\frac{(y-d{)}^2}{b^2}=1\leftrightarrow (x-c{)}^2+\frac{a^2}{b^2}(y-d{)}^2=a^2,c,d,\in ℝ,a>0,$

für die der Quotient $\frac{a^2}{b^2}$ fest (invariant) ist. Mit der Abkürzung $q=\frac{a^2}{b^2}$ erhält man die geeignetere Form

$(x-c{)}^2+q(y-d{)}^2=a^2,c,d\in ℝ,a>0$ und $q>0$ fest.

Die Achsen solcher Ellipsen sind parallel zu den Koordinatenachsen und ihre Exzentrizität (s. oben) ist fest. Die Hauptachse ist parallel zur $x$-Achse, falls $q>1$ ist, und parallel zur $y$-Achse, falls $q<1$ ist.

Ellipse: Peripheriewinkelsatz

Wie beim Kreis ist so eine Ellipse durch drei Punkte nicht auf einer Geraden eindeutig bestimmt.

Für diesen allgemeineren Fall führt man das folgende Winkelmaß ein:

Um den Winkel zwischen zwei Geraden mit den Gleichungen $y=m_{1}x+d_1,y=m_{2}x+d_2,m_1\ne m_2$ zu messen, wird hier der folgende Quotient benutzt:

$\frac{1+q{m}_1\cdot m_2}{m_2-m_1}$

Peripheriewinkelsatz für Ellipsen:
Für vier Punkte $P_i=(x_i,y_i),i=1,2,3,4$ keine drei auf einer Geraden (s. Bild) gilt:

Die vier Punkte liegen genau dann auf einer Ellipse mit der Gleichung $(x-c{)}^2+q(y-d{)}^2=a^2$, wenn die Winkel bei $P_3$ und $P_4$ im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

$\frac{(x_4-x_1)(x_4-x_2)+q(y_4-y_1)(y_4-y_2)}{(y_4-y_1)(x_4-x_2)-(y_4-y_2)(x_4-x_1)}=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+q(y_3-y_1)(y_3-y_2)}{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}$

Das Winkelmaß ist zunächst nur für Sekanten, die nicht parallel zur $y$-Achse sind, verfügbar. Die angegebene vereinfachte Formel ist aber schließlich auch für diese Ausnahmen gültig.

Der Beweis ergibt sich durch einfaches Nachrechnen. Dabei kann man im Fall „Punkte auf einer Ellipse …“ annehmen, dass der Mittelpunkt der Ellipse der Ursprung ist.

Eine Folge des Peripheriewinkelsatzes in dieser Form ist:

3-Punkteform einer Ellipsengleichung:
Die Gleichung der Ellipse durch die 3 Punkte $P_i=(x_i,y_i)$ nicht auf einer Geraden ergibt sich durch Umformung der Gleichung (Beseitigung der Nenner und quadratische Ergänzung):

$\frac{(x-x_1)(x-x_2)+q(y-y_1)(y-y_2)}{(y-y_1)(x-x_2)-(y-y_2)(x-x_1)}=\frac{(x_3-x_1)(x_3-x_2)+q(y_3-y_1)(y_3-y_2)}{(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}$

Diese Formel lässt sich (wie beim Kreis) übersichtlicher darstellen durch

$\frac{(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_1)\ast (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_2)}{det(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_1,\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_2)}=\frac{({\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_1)\ast ({\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_2)}{det({\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_3-{\overrightarrow{x}}_2)},$

wobei $\ast$ das hier geeignete Skalarprodukt $\overrightarrow{u}\ast \overrightarrow{v}=u_x{v}_x+q{u}_y{v}_y$ beschreibt.

Beispiel:

Für $P_1=(2,0),P_2=(0,1),P_3=(0,0)$ und $q=4$ ergibt sich zunächst die 3-Punkteform

$\frac{(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}=0$ und schließlich $\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(y-1/2{)}^2}{1/2}=1$.