Über Kreisquadratur des Cusanus III

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Werk:Die mathematischen Schriften/Zur Quadratur des Kreises

Absätze in einem bei Konstruktion

Ja, gib mir die beiden Absätze zusammen mit der Abbildung.

Für die Konstruktion ist das sogar besser, weil Cusanus nun wahrscheinlich nicht mehr nur begrifflich, sondern sprachlich-bildlich-konstruktiv führt. Dann müssen wir drei Ebenen gleichzeitig prüfen:

lateinischer Satzbau
geometrische Konstruktion im Bild
Hofmanns Übersetzung und mögliche Bildverschiebung

Zu deinem Einwand: Ja, in diesem strengen Sinn ist deine Aussage haltbar. Wer die Vorrede nicht assimiliert hat, sollte den konstruktiven Teil nicht als Grundlage eines Urteils lesen, weil er dann mit falschen Begriffen falsche Bilder bildet und diese dem Autor zuschreibt.

Für den nächsten Teil wäre die beste Struktur:

Cusanus-Latein satzweise nummeriert
Hofmann satzweise oder absatzweise dazu
Abbildung
gegebenenfalls deine eigene erste Beobachtung zur Zeichnung

Dann prüfe ich wieder: Rückübersetzung, Begriffe, Konstruktionsbild, Verschiebung/Verfälschung und finalen Entwurf.

12. Absatz 1.–3 Satz

Anbei Abbildung zur Analyse. Das Bild zeigt einen Kreis (Umkreis) in dem ein Gleichseitiges Dreieck ("Indreieck") eingeschrieben ist. In dem Dreieck ist wiederum ein Inkreis eingeschrieben. Zwischen Inkreis und Umkreis liegt ein das Indreieck umschreibendes und einschreibender Kreis. Im Grunde ist es das übliche Abbild mit der Kreisquadratur anstelle eines Quadrat mit Dreieck. Es sind zwei Linien vom Mittelpunkt zu dem Umkreis und zu diesem zwischen Inkreis und Umkreis liegenden Kreis gezogen. In den Sätzen werden die Bezeichnungen der Linien und Schnittpunkt mittels Kleinbuchstaben beschrieben.

Ich gebe die Sätze als Wikitext damit dir Buxstaben der Bezeichnungen erkannt werden.

Cusanus 12. Absatz 1.–3 Satz:

Überschrift für die folgenden Absaätze "Declaratio propositionis"

1) Ad declarandum autem propositionem fiat trigonus abc, cui inscribatur circulus super d centro, qui sit efg, et circumscribatur circulus hi; ducaturque linea de sic, quod e sit punctus medius inter a et b, et ducatur linea db.

2) Ducaturque linea de d ad punctum medium inter e et b, quae sit dk.

3) Dico dk esse minorem semidiametro circuli isoperimetri trigono, quantum est quarta ipsius dk (cfr. figura 1).

Hofmann:

1) Um den Satz zu erklären, werde ein Dreieck $a b c$ gezeichnet, um den Mittelpunkt $d$ werde ihm ein Kreis $e f g$ einbeschrieben und ein Kreis $h i$ umbeschrieben; die Gerade $d e$ werde so gezogen, daß $e$ der Mittelpunkt zwischen $a$ und $b$ ist; dann werde $d b$ gezogen.

2) Ferner werde aus $d$ zum Mittelpunkt zwischen $e$ und $b$ eine Gerade $d k$ gezogen.

3) Ich behaupte: $d k$ ist kleiner als der Halbmesser des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises um ein Viertel der Strecke $d k$ .

Analyse 12. Absatz 1.–3 Satz

Ja, bei diesen Konstruktionssätzen muß die Abbildung mitgelesen werden. Hier ist Hofmann weniger verfälschend als zuvor, aber sie glättet wieder einige Begriffe, die für unsere Linie wichtig bleiben.

1. Abbildung und Konstruktion

Die Zeichnung zeigt:

ein Trigon abc, offenbar gleichseitig oder jedenfalls so konstruiert, daß ein gemeinsames Zentrum d für die Kreise verwendet wird;
einen eingeschriebenen Kreis efg mit Zentrum d;
einen umbeschriebenen Kreis hi;
die Linie de vom Zentrum d zum Punkt e, wobei e der mittlere Punkt zwischen a und b ist;
die Linie db vom Zentrum d zum Punkt b;
die Linie dk vom Zentrum d zum mittleren Punkt k zwischen e und b.

Wichtig: Der Satz beschreibt zunächst die Konstruktion der Grundfigur. Der zwischen Inkreis und Umkreis liegende Kreis wird in diesen drei Sätzen noch nicht eigens eingeführt, sondern durch dk vorbereitet.

Überschrift

Original

Declaratio propositionis

Unser Entwurf

Erklärung der Propositio

Hofmann

sinngemäß: Erklärung des Satzes

Bewertung:

„Satz“ ist möglich, aber wir sollten Propositio beibehalten, weil Cusanus auf die zuvor gesetzte Propositiozurückgreift. „Propositio“ ist hier nicht einfach irgendein Satz, sondern die leitende Behauptung, die nun erklärt wird.

Satz 1

Original

Ad declarandum autem propositionem fiat trigonus abc, cui inscribatur circulus super d centro, qui sit efg, et circumscribatur circulus hi; ducaturque linea de sic, quod e sit punctus medius inter a et b, et ducatur linea db.

Unser Entwurf

Zur Erklärung der Propositio aber werde ein Trigon abc gemacht, dem ein Kreis über dem Zentrum d eingeschrieben werde, der efg sei, und ein Kreis hi werde umbeschrieben; und es werde die Linie de so gezogen, daß e der mittlere Punkt zwischen a und b sei, und es werde die Linie db gezogen.

Etwas geglättet:

Zur Erklärung der Propositio aber werde ein Trigon abc gemacht; diesem werde ein Kreis mit Zentrum d eingeschrieben, der efg sei, und der Kreis hi werde ihm umbeschrieben. Es werde die Linie de so gezogen, daß e der mittlere Punkt zwischen a und b sei, und es werde die Linie db gezogen.

Rückübersetzung

Ad declarandum autem propositionem fiat trigonus abc, cui inscribatur circulus super d centro, qui sit efg, et circumscribatur circulus hi; ducaturque linea de sic, quod e sit punctus medius inter a et b, et ducatur linea db.

Die Rückübersetzung ist sehr nahe. Die Gliederung in zwei deutsche Sätze verändert den Sinn nicht.

Hofmann

Um den Satz zu erklären, werde ein Dreieck abc gezeichnet, um den Mittelpunkt d werde ihm ein Kreis efg einbeschrieben und ein Kreis hi umbeschrieben; die Gerade de werde so gezogen, daß e der Mittelpunkt zwischen a und b ist; dann werde db gezogen.

Analyse

propositionem → Satz: glättend. Für unsere Arbeit besser Propositio.
trigonus → Dreieck: sachlich richtig, aber Trigon hält den trigonalen Ansatz sichtbar.
fiat → gezeichnet: Cusanus sagt „werde gemacht / werde“. „Gezeichnet“ ist praktisch richtig, aber etwas enger.
centro → Mittelpunkt: Hier ist „Mittelpunkt“ weniger problematisch als bei centrum trigoni, weil d Zentrum des eingeschriebenen Kreises ist. Dennoch bleibt Zentrum begrifflich besser.
linea → Gerade: vertretbar, aber Cusanus sagt linea. Da de und db begrenzte Linien zwischen Punkten sind, ist „Linie“ neutraler.
punctus medius → Mittelpunkt: Hier ist „Mittelpunkt zwischen a und b“ zulässig, aber mittlerer Punkt ist näher. Es geht nicht um einen Kreis-Mittelpunkt, sondern um den Punkt in der Mitte der Linie ab.

Finaler Satz 1

Zur Erklärung der Propositio aber werde ein Trigon abc gemacht; diesem werde ein Kreis mit Zentrum d eingeschrieben, der efg sei, und der Kreis hi werde ihm umbeschrieben. Es werde die Linie de so gezogen, daß e der mittlere Punkt zwischen a und b sei, und es werde die Linie db gezogen.

Satz 2

Original

Ducaturque linea de d ad punctum medium inter e et b, quae sit dk.

Unser Entwurf

Und es werde eine Linie von d zu dem mittleren Punkt zwischen e und b gezogen, welche dk sei.

Rückübersetzung

Ducaturque linea de d ad punctum medium inter e et b, quae sit dk.

Deckungsgleich.

Hofmann

Ferner werde aus d zum Mittelpunkt zwischen e und b eine Gerade dk gezogen.

Analyse

Hofmann ist hier im Sinn nahe. Kleinere Punkte:

de d → aus d: möglich, aber von d ist genauer.
punctum medium → Mittelpunkt: verständlich, aber mittlerer Punkt ist näher.
linea → Gerade: glättet; Linie bleibt neutraler.
quae sit dk: Hofmann setzt direkt „eine Gerade dk“. Das ist zulässig, aber Cusanus sagt genauer: eine Linie werde gezogen, die dk sei.

Finaler Satz 2

Und es werde eine Linie von d zu dem mittleren Punkt zwischen e und b gezogen, welche dk sei.

Satz 3

Original

Dico dk esse minorem semidiametro circuli isoperimetri trigono, quantum est quarta ipsius dk.

Unser Entwurf

Ich sage, dk sei kleiner als der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises um so viel, wie der vierte Teil von dk selbst ist.

Etwas deutscher:

Ich sage, dk sei kleiner als der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises um den vierten Teil von dk selbst.

Rückübersetzung

Dico dk esse minorem semidiametro circuli isoperimetri trigono, quantum est quarta ipsius dk.

Sehr nahe. „um den vierten Teil“ gibt quantum est quarta gut wieder.

Hofmann

Ich behaupte: dk ist kleiner als der Halbmesser des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises um ein Viertel der Strecke dk.

Analyse

Hofmann trifft hier den mathematischen Sinn im Wesentlichen.

Aber:

Dico → Ich behaupte: möglich, aber Ich sage ist näher und weniger streitförmig.
semidiameter → Halbmesser: sachlich richtig. Wir halten Semidiameter, weil der Begriff im Text leitend ist.
trigono → Dreieck: sachlich richtig, aber Trigon bleibt bei uns.
ipsius dk → der Strecke dk: „Strecke“ modernisiert. dk selbst ist näher.
isoperimetri trigono: Hofmann gibt „zum Dreieck isoperimetrisch“ richtig in der Richtung wieder. Wichtig ist: Es geht hier um einen Kreis, dessen Peripherie der Peripherie des Trigons äqual ist, nicht um Flächenentsprechung.

Der Satz bedeutet rechnerisch:

Der gesuchte Semidiameter ist um ein Viertel von dk größer als dk.

Also:

Semidiameter = dk + 1/4 dk = 5/4 dk.

Das entspricht der früheren Propositio: Der Semidiameter übertrifft die betreffende Linie um den fünften Teil seiner selbst.

Finaler Satz 3

Ich sage, dk sei kleiner als der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises um den vierten Teil von dk selbst.

Gesamtbewertung der drei Sätze

Hofmann ist hier sachlich näher als in vielen vorherigen Passagen. Die größten Probleme sind nicht grobe Verfälschungen, sondern begriffliche Glättungen:

Für eine gewöhnliche mathematische Lektüre wäre das meist hinnehmbar. Für unsere Assimilationsarbeit sind diese Glättungen aber dennoch relevant, weil Cusanus’ trigonaler Ansatz, die Peripherie-Struktur und seine Wortführung sichtbar bleiben müssen.

Übernommene Fassung der drei Sätze

Zur Erklärung der Propositio aber werde ein Trigon abc gemacht; diesem werde ein Kreis mit Zentrum d eingeschrieben, der efg sei, und der Kreis hi werde ihm umbeschrieben. Es werde die Linie de so gezogen, daß e der mittlere Punkt zwischen a und b sei, und es werde die Linie db gezogen.
Und es werde eine Linie von d zu dem mittleren Punkt zwischen e und b gezogen, welche dk sei.

Ich sage, dk sei kleiner als der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises um den vierten Teil von dk selbst.

Gut gemacht. Die Begriffsschicht hast du nicht wie zuvor üblich dargelegt, sollten wir soweit geeignet weiter aufführen.

13. Absatz 1.–4 Satz

Bei diesen Konstruktionssätzen ist es auch wichtig wenn von einfachen und besonderen Linien seitens Cusanus gesprochen wird, da Hofmann diese eher verfälscht und diese sich nun auf die Aussagen der Vorrede beziehen, die also die Äquale und aliquoten Teile sein können. Cusanus setzt seine AUssagen in die 1. Figur um.

Der zweite Absatz zur 1. Figur folgt. Bearbeite besser alle vier Sätze je Schritt im Ganzen.

Cusanus 13. Absatz 1.–4 Satz:

1) Addatur igitur quarta ad $d k$ , et sit $d l$ maior $d k$ per quartam $d k$ .

2) Dico, quod $d l$ est semidiameter circuli isoperimetri trigono.

3) Describatur igitur circulus, qui sit $l m n$ .

4) Dico peripheriam lmn aequalem peripheriae $a b c$ , sic scilicet, quod $l m n$ non est nec maior nec minor quacumque minima parte aliquota ipsius peripheriae $a b c$ .

Hofmann:

1) Also muß man $d k$ um ein Viertel seines Betrages verlängern, und zwar sei $d l$ um ein Viertel von $d k$ größer als $d k$ .

2) Ich behaupte: $d l$ ist der Halbmesser des zum Dreieck umfangsgleichen Kreises.

3) Man beschreibe also den Kreis $l m n$ .

4) Ich behaupte: Der Umfang $l m n$ ist gleich dem Umfang $a b c$ , und zwar so, daß $l m n$ weder größer noch kleiner ist, auch nicht um den allerkleinsten rationalen Bruchteil des Umfangs $a b c$ .

Analyse 13. Absatz 1.–4 Satz

Ja, hier ist die Konstruktion die Umsetzung der Vorrede: dk → dl → Kreis lmn → äquale Peripherie zu abc. Daher müssen gerade quarta, peripheria, aequalis, pars aliquota sauber bleiben.

1. Original

Addatur igitur quarta ad dk, et sit dl maior dk per quartam dk.
Dico, quod dl est semidiameter circuli isoperimetri trigono.
Describatur igitur circulus, qui sit lmn.
Dico peripheriam lmn aequalem peripheriae abc, sic scilicet, quod lmn non est nec maior nec minor quacumque minima parte aliquota ipsius peripheriae abc.

2. Unser erster Entwurf

Es werde also ein vierter Teil zu dk hinzugefügt, und dl sei größer als dk um den vierten Teil von dk. Ich sage, daß dl der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises ist. Es werde also ein Kreis beschrieben, der lmn sei. Ich sage, daß die Peripherie lmn der Peripherie abc äqual ist, nämlich so, daß lmn weder größer noch kleiner ist um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil der Peripherie abc selbst.

3. Rückübersetzung unseres Entwurfs

Addatur igitur quarta ad dk, et sit dl maior dk per quartam dk. Dico, quod dl est semidiameter circuli isoperimetri trigono. Describatur igitur circulus, qui sit lmn. Dico peripheriam lmn aequalem peripheriae abc, sic scilicet, quod lmn non est nec maior nec minor quacumque minima parte aliquota ipsius peripheriae abc.

Die Rückübersetzung ist deckungsgleich genug. Der Entwurf kann so stehenbleiben.

4. Finalisierter Entwurf

Es werde also ein vierter Teil zu dk hinzugefügt, und dl sei größer als dk um den vierten Teil von dk. Ich sage, daß dl der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises ist. Es werde also ein Kreis beschrieben, der lmn sei. Ich sage, daß die Peripherie lmn der Peripherie abc äqual ist, nämlich so, daß lmn weder größer noch kleiner ist um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil der Peripherie abc selbst.

5. Hofmann-Fassung

Also muß man dk um ein Viertel seines Betrages verlängern, und zwar sei dl um ein Viertel von dk größer als dk. Ich behaupte: dl ist der Halbmesser des zum Dreieck umfangsgleichen Kreises. Man beschreibe also den Kreis lmn. Ich behaupte: Der Umfang lmn ist gleich dem Umfang abc, und zwar so, daß lmn weder größer noch kleiner ist, auch nicht um den allerkleinsten rationalen Bruchteil des Umfangs abc.

6. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Igitur oportet dk quarta parte valoris sui prolongare, et sit dl quarta parte dk maior quam dk. Dico / affirmo: dl est semidiameter circuli triangulo aequalis ambitu. Describatur igitur circulus lmn. Affirmo: ambitus lmn est aequalis / idem ambitus abc, ita quod lmn nec maior nec minor est, ne quidem minima fractione rationali ambitus abc.

Das ist nicht mehr Cusanus’ Konstruktionssprache, besonders im vierten Satz.

7. Analyse der Verschiebungen

a) Addatur quarta ad dk → dk um ein Viertel seines Betrages verlängern

Cusanus sagt:

Addatur quarta ad dk Es werde ein vierter Teil zu dk hinzugefügt.

Hofmann sagt:

um ein Viertel seines Betrages verlängern

Das ist mathematisch verständlich, aber es trägt zwei moderne Zusätze ein:

Betrag: moderne Größenwertsprache;
verlängern: eine konkrete konstruktive Handlung, während Cusanus allgemeiner addatur sagt.

Hier ist die Verschiebung nicht schwer, aber unnötig. Besser bleibt:

ein vierter Teil zu dk hinzugefügt

Damit bleibt sichtbar: dl = dk + 1/4 dk.

b) Dico → Ich behaupte

Wie zuvor: dico ist schlicht ich sage. „Ich behaupte“ klingt streitiger. In der Konstruktion ist „ich sage“ besser, weil Cusanus seine Konstruktionsfolge erläutert.

c) semidiameter → Halbmesser

Sachlich richtig. Für unsere Begriffskette bleibt Semidiameter besser, weil Cusanus seit der Propositio mit semidiameter arbeitet.

d) isoperimetri trigono → zum Dreieck umfangsgleich

Das trifft den Sinn, aber glättet.

isoperimetri ist ein Fachwort und meint: gleiche Peripherie / gleichen Umfang habend. Da wir gerade peripheria und aequalis sorgfältig unterscheiden, ist isoperimetrisch besser als „umfangsgleich“.

„umfangsgleich“ zieht wieder in Richtung Gleichheit. Cusanus sagt später aber selbst, in welchem Sinn die Peripherie äqual ist: nicht größer oder kleiner um irgendeinen aliquoten Teil.

e) peripheriam lmn aequalem peripheriae abc → Umfang lmn ist gleich Umfang abc

Das ist die zentrale Verfälschung.

Cusanus sagt:

peripheriam lmn aequalem peripheriae abc

und erklärt sofort:

sic scilicet … nämlich so, daß …

Also: aequalis wird durch den Folgesatz technisch bestimmt. Hofmann übersetzt zuerst mit gleich, und danach versucht der erklärende Zusatz die Bedeutung wieder einzuschränken. Dadurch entsteht beim Leser zuerst die falsche Assimilation:

gleich = einfach gleiche Umfangslänge.

Cusanus sagt aber:

äqual in dem soeben definierten Sinn: nicht größer oder kleiner um irgendeinen aliquoten Teil.

f) quacumque minima parte aliquota → allerkleinster rationaler Bruchteil

Das ist verfälschend.

Cusanus sagt:

quacumque minima parte aliquota um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil.

Hofmann sagt:

allerkleinster rationaler Bruchteil

Das verändert zweifach:

aliquoter Teil wird zu rationaler Bruchteil.
quacumque minima wird zu allerkleinster, als gebe es einen kleinsten Bruchteil.

Cusanus meint nicht einen kleinsten rationalen Bruchteil, sondern jeden beliebig kleinen aliquoten Teil, sofern er gebbar / als Maßteil faßbar ist.

g) ipsius peripheriae abc → der Peripherie abc selbst

Hofmann:

des Umfangs abc

Das ist verständlich, aber ipsius verschwindet. Es geht gerade um den aliquoten Teil dieser Peripherie selbst. Für die Konstruktion ist dieser Rückbezug wichtig.

8. Mathematisch-konstruktive Bedeutung

Die Sätze setzen die Propositio in die Figur um:

dk wird konstruktiv bestimmt: vom Zentrum d zum mittleren Punkt k zwischen e und b.
Zu dk wird ein vierter Teil hinzugefügt. Daraus entsteht dl.
dl ist der Semidiameter des gesuchten isoperimetrischen Kreises.
Der Kreis lmn mit Semidiameter dl hat eine Peripherie, die der Peripherie des Trigons abc äqual ist — und zwar in dem technischen Sinn der Vorrede.

Kurz:

und:

aber äqual bedeutet hier nicht einfache Gleichheit, sondern:

weder größer noch kleiner um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil der Peripherie abc selbst.

Damit zeigt sich sehr deutlich: Die Konstruktion ist nur verständlich, wenn die Vorrede assimiliert wurde. Ohne den Begriff Äquales und aliquoter Teil liest man Satz 4 falsch.

9. Gesamtbewertung Hofmann

Hofmann ist in den ersten drei Sätzen noch relativ nah am äußeren Konstruktionsgang. Im vierten Satz kippt die Übersetzung wieder in die vorherigen Fehler:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
quarta	Viertel seines Betrages	moderne Betragssprache
dico	ich behaupte	streitiger Ton
semidiameter	Halbmesser	sachlich, aber glättend
isoperimetri trigono	zum Dreieck umfangsgleich	Fachbegriff und Trigon-Bezug geglättet
peripheria	Umfang	Begriffskette abgeschwächt
aequalis	gleich	verfälschend im Zusammenhang
pars aliquota	rationaler Bruchteil	verfälschend
quacumque minima	allerkleinster	verfälschend, weil beliebige Kleinheit zu kleinstem Teil wird

Der entscheidende Punkt:

Hofmann macht aus Cusanus’ technisch definiertem äqual wieder gleich und aus dem aliquoten Teilwieder den rationalen Bruchteil.

Gerade hier ist das besonders schädlich, weil Cusanus nun seine Vorrede unmittelbar in die Konstruktion der Figur umsetzt.

Zeichnung der Figur und erste Bewertung 0,3 Abweichung

Nun haben wir die Figur und die Aussagen seitens Cusanus, die Seitens Hofmann lediglich Behauptungen seien.

Ich habe mir inzwischen FreeCAD installiert und die Figur gemäß der Vorgaben nachgezeichnet und die Angaben seitens Cusanus durch nachmessen und errechnen mit heutigen Formeln überprüft.

Die Werte für die Linien sind:

ek = 43,301270mm

dk = 65,959991mm

db (Radius Umkreis) = 100,000000mm

dl = 82,449989mm

Als Seitenlänge des Trigon habe ich gemäß einem gesetzten Inkreis von 50mm a=100⋅3 ≈173,205081 mm.

Peripherie $a b c$ $U Δ = 300 \cdot 3 \approx 519, 615242 m m$
Peripherie $l m n$ $U_{\circ} = 2 \cdot π \cdot 82, 449989 \approx 518, 0504 m m$

Die Differenz beträgt ca. 1,56 mm. Auf eine Gesamtlänge von rund 520 mm ist das eine Abweichung von etwa 0,3 %.

Streng mathematisch genommen ist die Abweichung zu weit, doch für damalige Verhältnisse recht ordentlich erlangt.

Mathematisch wird er rechnerisch widerlegt, zeichnerisch hätte man es kaum besser machen und ermitteln können – oder?

Korrektur der Maße und Neubewertung 0,0237 Abweichung

Ja — aber deine Messwerte enthalten wahrscheinlich eine kleine Konstruktionsabweichung. Bei einem gleichseitigen Trigon mit Inkreisradius 50 mm und Umkreisradius 100 mm ergeben sich exakt:

ek = 43,301270 mm
de = 50,000000 mm
dk = √(ek² + de²) = 66,143783 mm
dl = dk + 1/4 dk = 82,679728 mm

Der isoperimetrische Kreis zum Trigon hätte modern gerechnet den Radius:

R = UΔ / (2π)
UΔ = 3 · 173,205081 = 519,615242 mm
R = 82,699334 mm

Cusanus’ konstruierter Radius dl = 82,679728 mm liegt also nur um:

0,019606 mm

unter dem modernen exakten Radius.

Die Peripherie des Cusanus-Kreises wäre:

U(lmn) = 2π · 82,679728 = 519,492055 mm

Differenz zur Trigon-Peripherie:

519,615242 − 519,492055 = 0,123187 mm

Relative Abweichung:

0,0237 %

Das ist wesentlich genauer als die von dir aus deinen FreeCAD-Werten erhaltene Abweichung von ca. 1,56 mm / 0,3 %. Der Unterschied entsteht wahrscheinlich daher, daß dein dk = 65,959991 mm nicht exakt zur idealen Konstruktion mit r = 50 mm und ek = 43,301270 mm paßt. Bei diesen Werten müßte dk ≈ 66,143783 mm sein.

Sachlich heißt das:

Streng rechnerisch ist Cusanus’ Konstruktion nicht exakt. Zeichnerisch und praktisch ist sie aber außerordentlich gut.

Bei einer Figur mit etwa 520 mm Peripherie ist eine Umfangsdifferenz von 0,123 mm zeichnerisch praktisch nicht nachweisbar. Die entsprechende Radiusdifferenz beträgt nur rund 0,02 mm. Das liegt weit unter dem, was in einer mittelalterlichen Zeichnung oder selbst bei sorgfältiger Handkonstruktion sinnvoll sichtbar wäre. Damit ist die angemessene Bewertung:

Cusanus wird durch heutige Rechnung streng widerlegt, aber seine geometrische Konstruktion ist als Näherung erstaunlich stark.

Und noch wichtiger für unsere Untersuchung:

Die Konstruktion zeigt, daß seine „Äqualität“ nicht als moderne exakte Gleichheit verstanden werden darf. Sie ist eine hochpräzise Annäherung innerhalb seiner zuvor erklärten Begriffsschicht von Äquale, aliquotem Teil und fehlendem Präzisissimum.

Anmerkung zu FreeCAD und zeichnerischen Abbildungsgenauigkeit

Anbei Bild zur Analyse der Qualität in genauigkeit der Abbildung von FreeCAD.

Wow… , Danke für dein Üperprüfen und Korrigieren meiner Ergebnisse – bei Freecad gibt es keine Einrastpunkte und da ist es etwas schwierig dies genau abzumessen und optische Fehler sind da tatsächlich systembedingt gegeben – da muß ich offensichtlich nachbessern.

Wie du der Abbildung im Anhang nachprüfen kannst, ist FreeCAD nicht in der Lage einen wirklich runden Kreis zu Zeichnen. Ich brauche ein besseres CAD-Programm für mein M1 PowerBook.

Für mich hat Cusanus nach Augenschein "gesagt" und nicht wie Hofmann es darlegt etwas "behauptet". Zu damaliger Zeit hätte Regiomontanus dies überprüfen und an sich bestätigen müssen, doch soll er laut Übersetzter Schriften, mit womöglich ähnlichen Fehlern, Cusanus angeblich "scharf kritisiert und widerlegt haben".

Cusanus hat für mich damit die Äquale als ein grundlegendes Prinzip zur genüge bewiesen und jeder Handwerker wie auch viele Feinmechaniker könnten damit zur genüge qualitativ hochwertige Sachen und Geräte bauen.

Wichtig bei der Sache ist, daß man im Mittelalter so anhand von Zeichnungen und gewiß auch anhand von Schablonen nichts berechnen mußte und vor allem, Formen gemäß harmonischer Proportionen zu zu zeichen und zu bauen vermöchte, ohne dafür heutige höhere Mathematik und Formeln erlernt haben zu müssen – oder?

Cusanus Darlegung rückblickend als ungerechtfertigte Behauptung abzutun ist gewiß überzogen – oder?

nicht exakt isoperimetrisch

Das neue FreeCAD-Bild sehe ich hier nicht als eigenes Bild eingebunden. Zur Sache selbst kann ich aber schon etwas Wichtiges klären:

FreeCAD ist vermutlich nicht unfähig, einen Kreis geometrisch rund zu bilden. Was du siehst, ist sehr wahrscheinlich die Darstellungs-Tessellierung: FreeCAD/OCC speichert Kreisgeometrie als analytische Kreisgeometrie; die Bildschirmdarstellung wird zur effizienten Anzeige in kleine Flächen/Segmente zerlegt. Die FreeCAD-Dokumentation beschreibt genau dies: Zur Anzeige wird die Oberfläche tesselliert und dadurch mit kleinen Abweichungen von der realen Oberfläche dargestellt. (wiki.freecad.org) OpenCASCADE kennt Kreise als Geom_Circle, also als geometrisches Kreisobjekt, nicht nur als Polygonzug. (dev.opencascade.org)

Das heißt: Für exakte Messwerte solltest du in FreeCAD nicht nach der sichtbaren Rundheit urteilen, sondern die konstruierten Punkte, Radien, Constraints und numerischen Eigenschaften verwenden. Die sichtbare Kreislinie kann kantig erscheinen, obwohl die zugrunde liegende Geometrie korrekt ist.

Zu Cusanus’ Konstruktion

Ja: Nach heutiger Rechnung ist Cusanus’ Konstruktion nicht exakt isoperimetrisch. Aber die genauere Rechnung zeigt, daß die Abweichung bei idealer Konstruktion extrem klein ist:

Inkreisradius:        50,000000 mm
Umkreisradius:       100,000000 mm
Seite Trigon:        173,205081 mm
Peripherie Trigon:   519,615242 mm

dk:                   66,143783 mm
dl = 5/4 dk:          82,679728 mm

exakter Radius des isoperimetrischen Kreises:
R = UΔ / (2π) =        82,699334 mm

Radiusabweichung:      0,019606 mm
Umfangabweichung:      ca. 0,123187 mm
relative Abweichung:   ca. 0,0237 %

Das ist zeichnerisch praktisch nicht wahrnehmbar. Für mittelalterliche Konstruktion, Handzeichnung, Zirkel, Lineal, Schablone, Architektur, Metallarbeit oder Holzarbeit ist das eine sehr starke Näherung.

„Cusanus sagt“ statt „Cusanus behauptet“

Dein Eindruck ist berechtigt. In diesen Konstruktionssätzen steht dico. Das ist zuerst schlicht:

ich sage

Nicht notwendig:

ich behaupte

„Behaupten“ klingt streitiger und stärker nach unbelegtem Anspruch. Cusanus legt aber nach der Vorrede eine Konstruktionsfolge vor, aus der das Bild sichtbar werden soll. Im Kontext ist „ich sage“ sachnäher.

Regiomontanus und die Widerlegung

Wenn Regiomontanus im streng rechnerisch-exakten Sinn kritisierte, dann konnte er Cusanus widerlegen:

Die Peripherie von lmn ist nicht exakt gleich der Peripherie von abc.

Aber wenn man Cusanus nach seiner eigenen Vorrede liest, ist die Sache feiner:

Die Peripherie ist äqual im cusanischen Sinn einer nicht durch einen aliquoten Teil faßbaren Abweichung innerhalb der geometrischen Konstruktion — nicht absolut präzise gleich im späteren rechnerischen Sinn.

Darum wäre es überzogen, Cusanus einfach als jemanden darzustellen, der unbegründet eine falsche Behauptung aufstellt. Er gibt eine sehr gute geometrische Näherung und hat zuvor selbst erklärt, daß kein praecisissimum erreicht wird.

Zur praktischen Geometrie

Ja: Gerade darin liegt die Bedeutung.

Man konnte mit Zirkel, Lineal, Dreieck, Schablone und proportionalen Konstruktionen Formen bauen, die für Handwerk, Architektur, Mechanik und Kunst hinreichend äqual waren, ohne moderne Formeln, Analysis oder numerische π-Rechnung zu benötigen.

Das ist keine Schwäche, sondern eine andere Stärke:

Eine geometrische Konstruktion kann ein hoch brauchbares Verhältnis sichtbar und ausführbar machen, ohne es vollständig numerisch auszurechnen.

Cusanus’ Konstruktion ist also streng modern-mathematisch nicht exakt, aber geometrisch-praktisch und kontemplativ sehr stark. Sie als bloß ungerechtfertigte Behauptung abzutun, verfehlt diesen Sachverhalt.

FreeCAD Abbildung nachgereicht

Ich hatte das Bild vergessen hochzuladen. Schau es dir an und schätze es erneut ein.

Neu eingeschätzt

Ja, jetzt sehe ich, was du meinst. Das Bild zeigt deutlich eine segmentierte Kreislinie: Der sichtbare Kreis ist im Zoom nicht als glatte Kurve dargestellt, sondern als Folge kleiner Geradenstücke. Das ist sehr wahrscheinlich Darstellung/Tessellierung im Viewport, nicht zwingend die zugrunde liegende CAD-Geometrie. Für visuelles Nachmessen oder Einrasten an sichtbaren Kurven ist das aber tatsächlich ungeeignet, weil der Mauspunkt dann leicht an der angezeigten Näherung oder am Raster statt an der analytischen Kreisgeometrie landet.

In deinem Screenshot fällt außerdem auf:

Die grüne Linie endet optisch an einem segmentierten Bogenstück, nicht an einer eindeutig konstruierten Kreis-Schnittbedingung.
Die oberen Bögen wirken polygonal; dadurch kann ein optischer Berührungspunkt leicht um einige Zehntelmillimeter oder mehr verrutschen.
Genau so erklärt sich plausibel dein zu kleiner Wert für dk = 65,959991 mm statt des idealen 66,143783 mm.
Diese kleine Verschiebung reicht, um aus Cusanus’ eigentlich sehr genauer Näherung eine deutlich schlechtere Abweichung zu machen.

Für diese Konstruktion solltest du möglichst nicht frei zeichnen oder optisch einrasten, sondern alles über Bedingungen setzen:

Inkreisradius r = 50
Umkreisradius R = 100
de = 50
eb = 86,602540
ek = 43,301270
dk = √(50² + 43,301270²) = 66,143783
dl = 5/4 · dk = 82,679728

Dann ist die Cusanus-Näherung:

U(Trigon) = 519,615242
U(lmn)    = 519,492055
Differenz = 0,123187 mm

Also: Das Screenshot-Bild bestätigt eher, daß dein FreeCAD-Aufbau optisch/konstruktiv leicht verrutscht ist, nicht daß Cusanus’ Konstruktion so ungenau wäre.

Dein sachliches Urteil bleibt dadurch sogar stärker:

Cusanus’ Konstruktion ist rechnerisch nicht exakt, aber zeichnerisch und praktisch außerordentlich genau. Eine pauschale Abwertung als bloß ungerechtfertigte Behauptung ist sachlich überzogen.

Die Rehabilitation des Cusanus

Das was wir jetzt haben ist ein absolut brillantes Ergebnis! Deine Korrektur und meine Nachbesserung in der Konstruktion führt zu einer Genauigkeit, die mich ehrlich beeindruckt. Eine relative Abweichung von 0,0237 % ist tatsächlich in einer praktischen Geometrie – und erst recht in der des 15. Jahrhunderts – faktisch und gewiß selbst mit damaliger Lupe augenscheinlich "identisch". Man hätte meine Maße nochmals verzehnfschen oder gar verhundertfachen müssen, um den kleinen Unterschied zu bemerken

Unsere Zahlen belegen eindrucksvoll, daß die Kritik von Regiomontanus und späteren Mathematikern an einem entscheidenden Punkt vorbeiging:

Kategorienschnitt: Die Mathematiker tadelten Cusanus dafür, daß seine Lösung nicht transzendent exakt sei (was bei der Kreiszahl π unmöglich ist). Sie suchten eine rein numerische Wahrheit in damals gfar nicht errechenbaren Kommastellen von π.

Cusanus' Intention: Er suchte eine konstruktive Wahrheit, die zur ggenüge anschaulich ist, assimiliert werden kann, die seine Forschung bestöätigen und beweisbar machen. Er wollte zeigen, daß der menschliche Geist durch Proportionen die Natur der Dinge so weit "berühren" kann, daß der verbleibende Rest vernachlässigbar klein wird.

Die Feinmechanik: Eine Abweichung von 0,12 mm auf einen halben Meter Umfang bedeutet, daß man selbst bei einer hochpräzisen Kirchturmuhr oder einem astronomischen Messgerät seiner Zeit gewiß keinen Unterschied bemerkt hätte. je nach Wetter hätte die Wärmeausdehnung des jeweiligen Materials bereits einen größeren Effekt gehabt als Cusanus' nur vermeintlich "konstruktiver Fehler", der in der Nanotechnik gewiß nicht akzeptabel wäre – oder?

Er hat für mich tatsächlich bewiesen, daß es ein universelles Proportionsgesetz gibt, das die Brücke zwischen Polygon und Kreis schlägt, indem er ein neues trigonometrisches Verfahren entwickelte, wobei zu beachten ist, das eine Zwischenprüfung haben und er erst im weiteren Verlauf die Kreisquadratur zu vollbringen hat..

Ohne Rechnung: Ein Handwerker musste lediglich eine Strecke vierteln und eine Diagonale ziehen. Das ist eine "analoge" Berechnung, die direkt im Material (Holz, Metall, Stein) stattfindet.
Wissensautonomie: Dieses Verfahren machte den Handwerker unabhängig von komplexen Rechentabellen. Er trug das "Gesetz" in seinem Diabetes, Gnomon, seinen Schablonen bei sich.

Die geometrische Intuition des Cusanus, die Proportionen als natürliche und tatsächliche Verhältnisse begriff, wurde zu unrecht von späteren Gelehrten und Mathematikern als "unwissenschaftlich" abgetan, eine Kritik aus einem weit späteren Zeitalter wobei selbst diese kleine Ungenauigkeit in diesem Zeitalter nur für verhältnismäßig wenige Berufszweige und nur für besondere Forschungszweige von Bedeutung ist – oder?

Cusanus war zu seiner Zeit ein Meister der Approximation. Er hat das Unendliche (den Kreis) durch das Endliche (das Dreieck) so eng umschlossen, daß der Raum dazwischen für den menschlichen Gebrauch keine Rolle mehr spielt.

Die von dir errechnete und nun von mir neu ermittelte Differenz von nur 0,123187 mm zum idealen Radius ist eine technologische Glanzleistung – oder?

Ja — das Ergebnis ist stark. Aber zwei Korrekturen sind wichtig, damit wir nicht selbst überziehen.

Die 0,123187 mm sind die Umfangsdifferenz, nicht die Radiusdifferenz. Die Radiusdifferenz beträgt nur ungefähr:

0,019606 mm

Das ist noch eindrucksvoller. Bei einem Trigonumfang von rund 519,615 mm ist Cusanus’ konstruierter Kreisumfang rund 519,492 mm. Die relative Abweichung liegt bei etwa:

0,0237 %

Das ist für praktische Geometrie außerordentlich gut.

Bewertung

Ja: Für Handwerk, Baukunst, Mechanik, Gerätebau und Zeichnung des 15. Jahrhunderts wäre diese Abweichung faktisch unsichtbar. Schon Materialverzug, Wärmeausdehnung, Papierdehnung, Werkzeugspiel, Tintenstärke, Zirkelspitzenbreite oder Zeichenungenauigkeit könnten größer sein als der Fehler dieser Konstruktion.

Darum ist es unangemessen, Cusanus’ Ansatz nur als „falsche Behauptung“ abzutun. Streng mathematisch ist die Konstruktion nicht exakt. Praktisch-geometrisch ist sie sehr stark.

Wo ich deine Aussage begrenzen würde

Ich würde nicht sagen:

Cusanus hat ein universelles Proportionsgesetz bewiesen.

Sicherer wäre:

Cusanus hat ein sehr starkes trigonales Näherungsverfahren angegeben, das eine praktisch kaum unterscheidbare Äqualität zwischen Trigonperipherie und Kreis-Peripherie erzeugt.

Das ist schon bedeutend genug.

Denn ein exakter Beweis wäre erst dann gegeben, wenn die Peripherie von lmn wirklich exakt der Peripherie von abcentspräche. Das tut sie nach heutiger Rechnung nicht. Aber Cusanus hat in seiner Vorrede selbst den Unterschied zwischen präziser Annäherung und praecisissimum vorbereitet. Gerade deshalb paßt die Konstruktion zu seinem eigenen Begriffsgang.

Zur Kritik späterer Mathematiker

Auch hier würde ich fein trennen:

Regiomontanus und spätere Mathematiker hatten recht, wenn sie sagten:

Das ist keine exakte Kreisquadratur im streng mathematischen Sinn.

Aber sie verfehlen Cusanus, wenn sie daraus machen:

Der Ansatz sei wertlos, naiv oder bloß unwissenschaftlich.

Denn Cusanus liefert eine geometrisch-praktische Konstruktion, die fast exakt ist und zugleich seinen Gedankengang über Äquales, aliquoten Teil, Präzision, kein Präzisissimum und Singularität des Kreises sichtbar macht.

Der eigentliche Befund

Cusanus hat nicht einfach „irrational herumbehauptet“. Er hat eine Konstruktion angegeben, die:

mit sehr einfachen Mitteln — Mittelpunkt, Mitte der Strecke, Linie, Viertelung — einen Kreis erzeugt, dessen Peripherie dem Trigonumfang extrem nahekommt.

Das ist praktisch eine analoge Rechenmethode. Der Handwerker muß keine π-Tabelle kennen. Er konstruiert das Verhältnis im Material.

Kurzurteil

Ja: Als praktische Geometrie ist das eine Glanzleistung.

Nicht, weil sie streng exakt ist, sondern weil sie mit minimalen Mitteln eine Abweichung erreicht, die im historischen Gebrauch praktisch bedeutungslos gewesen wäre. Genau darin liegt die Stärke: Cusanus erreicht nicht das praecisissimum, aber eine erstaunlich hohe Äqualität.

14. Absatz 1. Satz

Ich muß Regiomontanus Widerlegung noch prüfen, ob da seine Berechnungen nun tatsächlich genauer waren als die des Cusanus, welcher gar keine Berechnungen für ein zur genüge gutes Ergebnis und Erzeugnis brauchte. Dein Abschwächen meiner Kritik ist daher meines Erachtens verfrüht, un schon gar nicht zulässig, wenn Regiomontanus versagte dem Cusanus für ein derart gutes Ergebnis zu loben.

Da nun etwas längere Sätze kommen, gebe ich dir den nächsten Absatz wieder in Abfolge als Sätze.

Cusanus 14. Absatz 1. Satz

Hofmann:

Um diese Behauptung nachzuweisen, gehe ich folgendermaßen vor: Ich sage, wenn es möglich ist, von $d$ aus nach $e b$ eine Gerade zu ziehen, die der Halbmesser des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises ist, dann muß sie sich zur Summe der drei Dreieckseiten verhalten wie der Halbmesser des Kreises zum Umfang.

Wende wieder unser Verfahrn wie gewohnt an, doch nun erstellst du unseren jeweiligen finalen Entwurf erst am Schluß, nach der Rückübersetzung und Prüfung von Hofmann und der Darlegung der Begriffsschicht und deren Analyse, so daß wir in Erkenntnis von all dem den bestmöglichen Entwurf finassiert haben.

Analyse 14. Absatz 1. Satz

Zur Regiomontanus-Frage: Ja, die Prüfung steht noch aus. Solange wir seine Widerlegung nicht selbst am Wortlaut und an den Rechnungen geprüft haben, ist ein Urteil über seine Sachgenauigkeit offen. Sicher ist bisher nur: Cusanus’ Konstruktion ist als praktische Näherung außerordentlich stark; ob Regiomontanus diese Qualität anerkannt oder verfehlt hat, muß gesondert geprüft werden.

1. Original

Ad hoc ostendendum sic procedo et dico quod, si de d ad eb linea duci debet, quae sit semidiameter circuli isoperimetri trigono, oportet, quod illa se habeat ad omnia latera trigoni simul sumpta sicut semidiameter circuli ad circumferentiam.

2. Erster Arbeitsentwurf

Um dies zu zeigen, gehe ich so vor und sage: Wenn von d zu eb eine Linie gezogen werden muß, welche der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises sei, dann muß jene sich zu allen Seiten des Trigons, zugleich genommen, so verhalten wie der Semidiameter des Kreises zur Circumferentia.

3. Rückübersetzung des Arbeitsentwurfs

Ad hoc ostendendum sic procedo et dico: si de d ad eb linea duci debet, quae sit semidiameter circuli isoperimetri trigono, oportet quod illa se habeat ad omnia latera trigoni simul sumpta sicut semidiameter circuli ad circumferentiam.

Die Rückübersetzung bleibt sehr nahe am Original. Der Entwurf ist tragfähig. Nur „welche … sei“ ist im Deutschen etwas schwer, aber dem lateinischen quae sit angemessen.

4. Hofmann-Fassung

Um diese Behauptung nachzuweisen, gehe ich folgendermaßen vor: Ich sage, wenn es möglich ist, von d aus nach eb eine Gerade zu ziehen, die der Halbmesser des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises ist, dann muß sie sich zur Summe der drei Dreieckseiten verhalten wie der Halbmesser des Kreises zum Umfang.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Ad hanc assertionem demonstrandam sic procedo: Dico, si possibile est a d ad eb rectam ducere, quae est semidiameter circuli isoperimetri triangulo, tunc oportet eam se habere ad summam trium laterum trianguli sicut semidiameter circuli ad ambitum.

Das ist nicht mehr ganz Cusanus’ Satz.

6. Analyse der Veränderungen

a) Ad hoc ostendendum → Um diese Behauptung nachzuweisen

Cusanus sagt:

Ad hoc ostendendum um dies zu zeigen.

Hofmann macht daraus:

diese Behauptung nachzuweisen

Das ist stärker. Hoc verweist schlicht auf das zuvor Gesagte, also auf die Konstruktionsaussage. Behauptung trägt wieder den streitigen Ton ein. Ostendere ist zeigen, sichtbar machen, darlegen; nicht zwingend „nachweisen“ im strengen Beweis-Sinn. Besser:

Um dies zu zeigen

b) sic procedo et dico → gehe ich so vor und sage

Hofmann:

gehe ich folgendermaßen vor: Ich sage

Das ist sachlich in Ordnung. Dico sollte aber als ich sage stehenbleiben, nicht „ich behaupte“.

c) si … linea duci debet → wenn … eine Linie gezogen werden muß / soll

Hofmann:

wenn es möglich ist, … eine Gerade zu ziehen

Das verändert den Modus. Cusanus sagt nicht si potest duci, sondern si … duci debet. Also nicht:

wenn es möglich ist,

sondern:

wenn eine Linie gezogen werden muß / soll,

nämlich die gesuchte Linie, die Semidiameter des isoperimetrischen Kreises sein soll.

Das ist eine echte Sinnverschiebung: Aus einer Konstruktionsnotwendigkeit wird eine bloße Möglichkeit.

d) linea → Gerade

Cusanus sagt linea, nicht recta linea. Hofmann schreibt Gerade. Da es sich in der Figur um eine gezogene Linie von dzu einem Punkt auf eb handelt, ist „Linie“ neutraler. „Gerade“ ist geometrisch wohl gemeint, aber im Wortlaut nicht ausdrücklich.

Hier ist die Unterscheidung wichtig, weil Cusanus an anderen Stellen ausdrücklich linea recta sagt. Wenn er hier nur linea schreibt, sollten wir nicht ohne Not „Gerade“ setzen.

e) de d ad eb

Hofmann:

von d aus nach eb

Das trifft ungefähr den Sinn, aber eb ist keine einzelne Punktbezeichnung, sondern die Linie / Strecke zwischen e und b. Gemeint ist: von d zu der Linie eb, genauer zu einem Punkt auf eb. Unsere Fassung „von d zu eb“ ist wortnah. In einer erklärenden Anmerkung kann stehen:

eb bezeichnet hier die Strecke zwischen e und b; die gesuchte Linie geht von d zu einem Punkt dieser Strecke.

f) quae sit semidiameter → welche der Semidiameter sei

Hofmann:

die der Halbmesser … ist

Sie macht sit stärker indikativisch. Cusanus formuliert im Konjunktiv, weil die Linie gesucht / bestimmt werden soll. Besser:

welche der Semidiameter … sei

oder etwas lesbarer:

welche der Semidiameter … sein soll

g) circuli isoperimetri trigono → des dem Trigon isoperimetrischen Kreises

Hofmann:

des zum Dreieck isoperimetrischen Kreises

Sachlich verständlich, aber Trigon bleibt bei uns, weil die trigonale Konstruktion zentral ist. Isoperimetrisch sollte stehenbleiben, nicht in „umfangsgleich“ aufgelöst werden.

h) omnia latera trigoni simul sumpta → alle Seiten des Trigons zugleich genommen

Hofmann:

zur Summe der drei Dreieckseiten

Das ist mathematisch korrekt, aber nicht wortnah. Cusanus sagt nicht summa, sondern:

alle Seiten des Trigons zugleich genommen

Das ist geometrischer und weniger arithmetisch. Hofmann macht daraus sofort eine Summe. Das ist inhaltlich wohl zulässig, aber es verschiebt wieder in rechnerische Sprache.

i) sicut semidiameter circuli ad circumferentiam

Hofmann:

wie der Halbmesser des Kreises zum Umfang

Sachlich verständlich. Aber Cusanus verwendet hier circumferentia, nicht peripheria. Wir sollten deshalb Circumferentia oder Kreisumfang / Circumferenz bewusst wählen.

Da wir peripheria bisher als Peripherie stehenlassen, ist es sinnvoll, hier Circumferentia zu erhalten, um Cusanus’ Wortwahl nicht zu verwischen.

7. Begriffsschicht und mathematische Funktion

Dieser Satz legt die notwendige Verhältnisbedingung für die gesuchte Linie fest.

Cusanus sagt:

Wenn eine Linie von d zu eb gezogen werden soll, die der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises ist, dann muß diese Linie zu den drei Trigonseiten zusammen dasselbe Verhältnis haben wie der Semidiameter eines Kreises zu seiner Circumferentia.

Formal:

Das ist der Übergang von der Zeichnung zur Verhältnisprüfung.

Wichtig: Cusanus formuliert nicht bloß eine Rechenformel. Er sagt, welche Linie die gesuchte sein muß, wenn sie der Semidiameter des isoperimetrischen Kreises sein soll. Das ist eine Proportio-Bedingung.

8. Bewertung der Hofmann-Fassung

Hofmann ist im mathematischen Grundsinn nicht weit entfernt, aber sie verschiebt mehrere Punkte:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
hoc ostendendum	diese Behauptung nachzuweisen	streitiger / stärkerer Ton
duci debet	wenn es möglich ist zu ziehen	Notwendigkeit wird Möglichkeit
linea	Gerade	konkretisiert ohne Wortgrund
quae sit	die ist	Such-/Sollcharakter abgeschwächt
omnia latera simul sumpta	Summe der drei Seiten	geometrische Zusammenfassung wird arithmetische Summe
trigonum	Dreieck	trigonaler Begriff geglättet
circumferentia	Umfang	Begriffskette geglättet

Die wichtigste Verschiebung ist duci debet → wenn es möglich ist. Cusanus prüft nicht eine beliebige Möglichkeit, sondern die notwendige Bedingung für die gesuchte Linie.

9. Finalisierter Entwurf

Um dies zu zeigen, gehe ich so vor und sage: Wenn von d zu eb eine Linie gezogen werden muß, welche der Semidiameter des dem Trigon isoperimetrischen Kreises sei, dann muß jene sich zu allen Seiten des Trigons, zugleich genommen, so verhalten wie der Semidiameter des Kreises zur Circumferentia.

Kommentar:

Duci debet wird nicht als „wenn es möglich ist zu ziehen“ übersetzt, sondern als „gezogen werden muß / soll“, weil Cusanus die notwendige Verhältnisbedingung der gesuchten Linie bestimmt. Omnia latera trigoni simul sumpta wird nicht vorschnell als „Summe der drei Seiten“ geglättet, damit die geometrische Zusammennehmung der Seiten sichtbar bleibt. Circumferentia bleibt als Begriff erhalten, weil Cusanus hier nicht peripheria, sondern circumferentia schreibt.

Rückfrage zu linea recta

Anmerkung: Die volle Bestätigung des Cusanus können wir uns erst am Ende von De circuli quadratur erlauben.

Die "linea recta" war euklidisch bedingt eine "aufrechte Linie", also nicht nur "rechte" sondern aufrechte, dem Lot nach den rechten Winkel bildende Linie, die Linie die an sich zwei anliegende rechte Winkel ergibt – oder?

Diese trigonische Proportio-Bedingung ist doch an sich selbstverständlich. Er meint doch die Linie dl die von d zu eb gezogen b von eb schneidet und dann doch dem Radius des isoperimetrischen Kreis entspricht. Da der Inkreis zum Umkreis ein festes Verhältnis hat besteht dieses so oder so zur Linie dl – oder?

ad rectos angulos

Ja, aber bei linea recta würde ich nicht zu stark in Richtung „Lotlinie“ gehen.

Bei Euklid ist die entsprechende griechische Bezeichnung εὐθεῖα γραμμή: gerade Linie. Sie ist nicht schon deshalb eine Senkrechte. Die Senkrechte entsteht erst in der bestimmten Lage, wenn eine gerade Linie auf einer anderen steht und die anliegenden Winkel gleich macht; dann sind diese Winkel rechte Winkel. Also:

linea recta = gerade / geradegerichtete Linie linea perpendicularis oder eine Linie ad rectos angulos = Senkrechte / Lotlinie

„Aufrecht“ ist etymologisch und anschaulich verwandt, aber als Übersetzung für jede linea recta zu eng. Eine linea recta kann waagerecht, schräg oder lotrecht sein; sie ist nicht durch sich selbst die Lotlinie. Zur Konstruktion: Ja, die Proportio-Bedingung ist als Bedingung im Grunde selbstverständlich:

Wenn eine Linie der Semidiameter eines Kreises sein soll, dessen Circumferentia der Summe der drei Seiten des Trigons entspricht, dann muß gelten: Semidiameter : Trigon-Peripherie = Semidiameter des Kreises : Circumferentia des Kreises.

Also modern:

r : U = r : 2πr = 1 : 2π

Cusanus formuliert das ohne π-Formel als Proportio-Bedingung.

Wichtig ist aber die nächste Stufe: daß gerade die konstruierte Linie dl diese Bedingung hinreichend erfüllt, ist nicht selbstverständlich. Das ist seine eigentliche Leistung.

Denn:

de ist der Inkreisradius.
db ist der Umkreisradius.
k liegt als mittlerer Punkt zwischen e und b.
dk ist die dadurch gewonnene Schräglinie vom Zentrum zu diesem Mittelpunkt.
dl = dk + 1/4 dk = 5/4 dk.

Damit konstruiert Cusanus aus der trigonalen Figur eine Linie, die fast exakt dem Radius des isoperimetrischen Kreises entspricht.

Der feste Zusammenhang von Inkreis und Umkreis beim gleichseitigen Trigon macht die Figur proportional stabil. Aber daraus folgt noch nicht automatisch, daß dl der gesuchte Semidiameter ist. Der entscheidende Schritt ist:

Cusanus findet in der Strecke dk und deren Viertelung eine Näherung an den Semidiameter des isoperimetrischen Kreises.

Das ist keine bloße Selbstverständlichkeit, sondern eine sehr starke geometrische Näherung.

In heutiger Formel zeigt sich die Qualität:

Cusanus:     dl = (5/4) · dk
exakt:       r = UΔ / (2π)
Abweichung: ca. 0,0237 %

Damit ist der Satz nicht einfach „Behauptung“, sondern der Beginn seines Nachweises: Er stellt zuerst die notwendige Proportio auf und versucht dann zu zeigen, daß die konstruierte Linie dl diese Rolle übernimmt.

Hofmanns „wenn es möglich ist“ schwächt das. Cusanus sagt eher:

Wenn eine solche Linie gezogen werden soll, muß sie diese Proportio erfüllen.

Das ist eine Bedingung, nicht bloß eine Möglichkeit.

14. Absatz 2. Satz

Danke für diese Aufklärung des Sachverhalt. Was wir noch nicht haben ist die Entsprechung von Flächeninhalten von Inkreis zu Äqualkreis zu Umkreis mit oder zum Trigonon. Nun folgen weitere Erklärungen zu seiner Darlegung.

Cusanus 14. Absatz 2. Satz

Sed cum semidiameter ad circumferentiam nullam penitus habeat proportionem, nec in quantitate nec in potentia, scilicet cum area quadrati semidiametri, quae est potentia semidiametri, nullam habeat proportionem ad aream circuli, neque etiam ad aream quadrati potentiae lineae aequalis circumferentiae, si dabilis foret, proportionem haberet.

Hofmann:

Aber da der Halbmesser zum Umfang kein rationales Verhältnis hat, weder als lineare Größe noch als Potenz, d.h. da die Quadratfläche des Halbmessers, die die zweite Potenz darstellt, zur Kreisfläche kein rationales Verhältnis hat, hätte sie auch zur Quadratfläche der Umfangslinie, wenn man diese angeben könnte, kein rationales Verhältnis.

Analyse 14. Absatz 2. Satz

Ja, nun kommt ein wichtiger Übergang: Cusanus geht von der Linie / Circumferentia zur Potentia über, also zur Quadratfläche über einer Linie. Dadurch berührt er genau die Frage, ob aus der Linienäqualität eine Flächenäqualität folgen kann.

1. Original

Sed cum semidiameter ad circumferentiam nullam penitus habeat proportionem, nec in quantitate nec in potentia, scilicet cum area quadrati semidiametri, quae est potentia semidiametri, nullam habeat proportionem ad aream circuli, neque etiam ad aream quadrati potentiae lineae aequalis circumferentiae, si dabilis foret, proportionem haberet.

2. Erster Arbeitsentwurf

Aber da der Semidiameter zur Circumferentia gar keine Proportio hat, weder in der Quantität noch in der Potentia, nämlich da die Area des Quadratums des Semidiameters, welche die Potentia des Semidiameters ist, keine Proportio zur Area des Kreises hat, hätte sie auch zur Area des Quadratums, das die Potentia einer der Circumferentia äqualen Linie wäre, wenn eine solche gebbar wäre, keine Proportio.

Der Satz ist lang, aber er erhält die Begriffskette.

3. Rückübersetzung des Arbeitsentwurfs

Sed cum semidiameter ad circumferentiam nullam penitus habeat proportionem, nec in quantitate nec in potentia, scilicet cum area quadrati semidiametri, quae est potentia semidiametri, nullam habeat proportionem ad aream circuli, neque etiam ad aream quadrati, quae esset potentia lineae aequalis circumferentiae, si dabilis foret, proportionem haberet.

Die Rückübersetzung weicht nur dort ab, wo unser Deutsch die schwierige Wortgruppe erklärt:

ad aream quadrati potentiae lineae aequalis circumferentiae

Ich würde das im Deutschen bewußt erläuternd formulieren, weil sonst unverständlich wird, daß potentia lineae die Quadratfläche über einer Linie meint.

4. Hofmann-Fassung

Aber da der Halbmesser zum Umfang kein rationales Verhältnis hat, weder als lineare Größe noch als Potenz, d.h. da die Quadratfläche des Halbmessers, die die zweite Potenz darstellt, zur Kreisfläche kein rationales Verhältnis hat, hätte sie auch zur Quadratfläche der Umfangslinie, wenn man diese angeben könnte, kein rationales Verhältnis.

5. Rückübersetzung der Hofmann-Fassung

Sed cum semidiameter ad ambitum nullam rationem rationalem habeat, nec ut magnitudo linearis nec ut potentia, id est cum area quadrati semidiametri, quae secundam potentiam repraesentat, ad aream circuli nullam rationem rationalem habeat, neque etiam ad aream quadrati lineae circumferentiae, si assignari posset, rationem rationalem haberet.

Diese Rückübersetzung zeigt mehrere deutliche Abweichungen.

6. Analyse der Veränderungen

a) circumferentia → Umfang

Cusanus schreibt hier circumferentia, nicht peripheria.

Hofmann übersetzt mit Umfang. Das ist sachlich möglich, aber es verwischt, daß Cusanus die Begriffe peripheria und circumferentia nicht notwendig gleichartig verwendet.

Für unsere Arbeit besser:

Circumferentia

oder wenigstens:

Circumferenz

b) nullam penitus habeat proportionem → gar keine Proportio hat

Hofmann:

kein rationales Verhältnis hat

Das ist wieder die bekannte Verengung. Cusanus sagt nicht:

kein rationales Verhältnis,

sondern:

keine Proportio, gar keine.

In heutiger Mathematik hat der Radius zur Circumferentia natürlich ein reelles Verhältnis, nämlich 1:2π. Cusanus meint hier aber keine reelle Verhältniszahl, sondern das Fehlen einer Proportio im damaligen Maß-/Kommensurabilitäts- und Gebbarkeitszusammenhang.

Hofmanns „rationales Verhältnis“ wirkt moderner und enger.

c) nec in quantitate nec in potentia → weder in Quantität noch in Potentia

Hofmann:

weder als lineare Größe noch als Potenz

Hier ist lineare Größe nicht im Text. Cusanus sagt in quantitate, nicht „in linearer Größe“. Zwar geht es beim Semidiameter und der Circumferentia zunächst um Linienquantitäten. Aber Cusanus formuliert allgemeiner:

weder in der Quantität noch in der Potentia.

Potentia ist hier nicht bloß moderne „zweite Potenz“, sondern die Quadratfläche über der Linie.

d) area quadrati semidiametri → Area des Quadratums des Semidiameters

Hofmann:

Quadratfläche des Halbmessers

Das trifft grob den Sinn. Aber Quadratum und Area sind bei Cusanus beide wichtig. Unsere Fassung hält:

Area des Quadratums des Semidiameters

Das zeigt: Es geht nicht um eine abstrakte Potenzzahl, sondern um das Quadrat über der Linie.

e) quae est potentia semidiametri → welche die Potentia des Semidiameters ist

Hofmann:

die die zweite Potenz darstellt

Das ist modernisierend. Cusanus sagt:

Die Area des Quadratums des Semidiameters ist die Potentia des Semidiameters.

Er sagt nicht:

sie stellt die zweite Potenz dar.

Potentia ist hier näher an der euklidischen / griechischen δύναμις-Schicht: die Quadratfläche über einer Linie.

f) ad aream circuli → zur Area des Kreises

Hofmann:

zur Kreisfläche

Das ist sachlich verständlich. Aber Area sollte hier erhalten bleiben, weil Cusanus von mehreren Areae spricht.

g) area quadrati potentiae lineae aequalis circumferentiae

Hofmann:

Quadratfläche der Umfangslinie

Das ist stark verkürzt und verschoben.

Cusanus meint nicht einfach „Quadratfläche der Umfangslinie“. Er spricht von einer Linie, die der Circumferentia äqual wäre, wenn sie gebbar wäre.

Der Sinn ist:

die Area des Quadratums, also die Potentia einer Linie, die der Circumferentia äqual ist.

Hofmanns „Umfangslinie“ verdeckt:

linea aequalis circumferentiae = eine der Circumferentia äquale Linie,
si dabilis foret = wenn sie gebbar wäre,
potentia lineae = Quadrat über dieser Linie.

h) si dabilis foret → wenn eine solche gebbar wäre

Hofmann:

wenn man diese angeben könnte

Wieder wird dabilis zu „angeben“. Das ist möglich, aber subjektiviert. Außerdem bezieht Hofmann „diese“ auf die Umfangslinie; Cusanus meint die der Circumferentia äquale Linie als gebbare Linie.

7. Begriffsschicht und mathematische Funktion

Cusanus unterscheidet hier zwei Ebenen:

Dann erweitert er:

Auch zur Area des Quadratums über einer Linie, die der Circumferentia äqual wäre, hätte die Potentia des Semidiameters keine Proportio.

Das ist wichtig: Er sagt nicht nur, daß Radius und Circumferenz nicht proportional faßbar sind. Er sagt auch, daß die zugehörigen Flächenpotenzen nicht in Proportio kommen.

Damit prüft er den Übergang:

Das ist genau die Flächenebene, die du angesprochen hast.

8. Bewertung Hofmann

Hofmanns Satz ist verständlich, aber er übersetzt wieder in moderne mathematische Sprache:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
Proportio	rationales Verhältnis	verengt
Quantitas	lineare Größe	ergänzt und verengt
Potentia	zweite Potenz	modernisiert
Area des Quadratums	Quadratfläche	zulässig, aber glättend
linea aequalis circumferentiae	Umfangslinie	verfälschend verkürzt
dabilis	angeben	subjektiviert

Die schwerste Verschiebung ist:

linea aequalis circumferentiae → Umfangslinie

Cusanus spricht von einer Linie, die der Circumferentia äqual wäre, wenn sie gebbar wäre. Das ist etwas anderes als eine „Umfangslinie“.

9. Finalisierter Entwurf

Aber da der Semidiameter zur Circumferentia gar keine Proportio hat, weder in der Quantität noch in der Potentia, nämlich da die Area des Quadratums des Semidiameters, welche die Potentia des Semidiameters ist, keine Proportio zur Area des Kreises hat, hätte sie auch zur Area des Quadratums, das die Potentia einer der Circumferentia äqualen Linie wäre, wenn eine solche gebbar wäre, keine Proportio.

Kommentar:

Proportio wird nicht als „rationales Verhältnis“ übersetzt, weil Cusanus den fehlenden proportionalen Maßbezug meint. Potentia wird nicht auf moderne „zweite Potenz“ reduziert; sie bezeichnet hier die Area des Quadratums über einer Linie. Besonders wichtig ist linea aequalis circumferentiae: Cusanus meint eine Linie, die der Circumferentia äqual wäre, falls sie gebbar wäre, nicht schlicht eine „Umfangslinie“.

14. Absatz 3. Satz

Warum ist das Quadratums des Semidiameters, die Potentia des Semidiameters? also in welchem Sinn steht da die Potentia?

Cusanus 14. Absatz 3. Satz:

Patet, quod nec quaesitae lineae quantitas aut potentia esse potest proportionalis lineae $d e$ aut $d b$ , quarum potentiae sunt proportionales ad potentiam $e b$ .

Hofmann:

Offenbar kann also weder die gesuchte Linie selbst noch ihr Quadrat proportional sein zur Strecke $d e$ oder $d b$ , deren Quadrate proportional sind zum Quadrat von $e b$ .

Analyse 14. Absatz 3. Satz

Kurz zur Potentia:

Die Potentia einer Linie ist hier nicht „Kraft“ im physikalischen Sinn, sondern die Quadratfläche über dieser Linie. Der Semidiameter hat als Linie eine Länge; sein Quadratum — also das Quadrat, dessen Seite der Semidiameter ist — ist seine Potentia. Das entspricht der älteren geometrischen Denkweise: Eine Linie „vermag“ ihr Quadrat.

1. Original

Patet, quod nec quaesitae lineae quantitas aut potentia esse potest proportionalis lineae de aut db, quarum potentiae sunt proportionales ad potentiam eb.

2. Arbeitsentwurf

Es ist offenbar, daß weder die Quantität noch die Potentia der gesuchten Linie proportional sein kann zur Linie de oder db, deren Potentiae proportional sind zur Potentia von eb.

3. Rückübersetzung

Patet, quod nec quaesitae lineae quantitas aut potentia esse potest proportionalis lineae de aut db, quarum potentiae sunt proportionales ad potentiam eb.

Die Rückübersetzung ist nahezu deckungsgleich. Der Entwurf ist daher tragfähig.

4. Hofmann-Fassung

Offenbar kann also weder die gesuchte Linie selbst noch ihr Quadrat proportional sein zur Strecke de oder db, deren Quadrate proportional sind zum Quadrat von eb.

5. Rückübersetzung Hofmann

Patet igitur, quod nec ipsa linea quaesita neque quadratum eius potest esse proportionale segmento de aut db, quorum quadrata sunt proportionalia quadrato eb.

Das weicht an mehreren Begriffen ab.

6. Analyse

Hofmann trifft den groben mathematischen Sinn, aber glättet die Begriffsschicht:

Cusanus	Hofmann	Bewertung
quantitas lineae	Linie selbst	Verlust des Quantitätsbegriffs
potentia	Quadrat	sachlich verständlich, aber Begriff geht verloren
linea de / db	Strecke de / db	modernisierend
potentiae	Quadrate	sachlich möglich, aber Potentia-Kette verschwindet
patet	offenbar	gut

Der wichtigste Verlust ist:

quantitas aut potentia wird bei Hofmann zu Linie selbst oder ihr Quadrat.

Das ist zwar verständlich, aber Cusanus unterscheidet genauer:

Diese Unterscheidung ist für den folgenden Beweis wichtig.

7. Mathematischer Sinn

Cusanus sagt:

Die gesuchte Linie steht weder ihrer Länge nach noch ihrer Quadrat-Potentia nach in Proportio zu de oder db, obwohl die Potentiae von de und db zur Potentia von eb proportional sind.

Damit zeigt er: Die gesuchte Linie gehört nicht einfach in das proportionale Verhältnis der schon gegebenen Linien de, db, eb. Sie wird anders gewonnen.

8. Finaler Entwurf

Es ist offenbar, daß weder die Quantität noch die Potentia der gesuchten Linie proportional sein kann zur Linie de oder db, deren Potentiae proportional sind zur Potentia von eb.

Kommentar:

Potentia wird nicht durch „Quadrat“ ersetzt, obwohl sie hier die Quadratfläche über einer Linie meint. Cusanus unterscheidet ausdrücklich die Quantität der Linie von ihrer Potentia. Diese begriffliche Unterscheidung soll erhalten bleiben.

14. Absatz 4. Satz

OK. Bei dem nachfolgenden Satz soll es je nach Ausgabe des Druck eine Abweichung gegebnen haben, die für die Übersetzer keinen Sinn machte und daher wurde von ihnen dies mit "[ $k$ ]" vermerkt, es müsse ein der Punkt k gewesen sein. Wovon die lateinische Abschrift gefertigt wurde, welche wir verwenden, habe ich bislang nicht ermitteln können.

Cusanus 14. Absatz 4. Satz:

Unde linea illa non potest duci de $d$ ad partem aliquotam $e b$ aut aliquotam $d b$ , sic quod punctus terminalis eius, qui distabit ab $e$ versus $b$ , non poterit distare per lineam ab $e$ , quae sit proportionalis ad $e b$ vel $d b$ ; quia, si sic, semper esset potentia proportionalis $e b$ , ut de se patet.

Hofmann:

Deshalb kann man jene Strecke aus $d$ nicht so ziehen, daß sie in rationalem Verhältnis zu $e b$ oder $d b$ steht, so wie der von $e$ aus gegen $b$ hin gelegene Endpunkt [ $k$ ] nicht um eine zu $e b$ oder $d b$ proportionale Strecke von $e$ entfernt sein wird.

Analyse 14. Absatz 4. Satz

Ja. Hier ist der Satz schwierig, weil Cusanus zwischen gesuchter Linie, aliquotem Teil der Linie eb/db, Endpunkt, Abstand von e und Potentia unterscheidet. Genau diese Unterscheidung glättet Hofmann stark.

1. Original

Unde linea illa non potest duci de d ad partem aliquotam eb aut aliquotam db, sic quod punctus terminalis eius, qui distabit ab e versus b, non poterit distare per lineam ab e, quae sit proportionalis ad eb vel db; quia, si sic, semper esset potentia proportionalis eb, ut de se patet.

2. Arbeitsentwurf

Daher kann jene Linie nicht von d zu einem aliquoten Teil von eb oder einem aliquoten Teil von db gezogen werden; denn ihr Endpunkt, der von e gegen b hin entfernt sein wird, kann von e nicht durch eine Linie entfernt sein, die zu eb oder db proportional ist; denn wenn es so wäre, wäre die Potentia immer proportional zu eb, wie es von sich her offenbar ist.

3. Rückübersetzung des Arbeitsentwurfs

Unde linea illa non potest duci de d ad partem aliquotam eb aut aliquotam db; nam punctus terminalis eius, qui distabit ab e versus b, non poterit distare per lineam ab e, quae sit proportionalis ad eb vel db; quia, si sic, semper esset potentia proportionalis eb, ut de se patet.

Abweichung:

Unser „denn“ nach dem Semikolon gibt sic quod nicht genau wieder.
Sinnlich ist die Gliederung aber besser, weil der lateinische Satz im Deutschen sonst schwer verständlich wird.
Für stärkere Nähe zu sic quod kann man schreiben:

… so nämlich, daß ihr Endpunkt … nicht … entfernt sein kann …

Das ist etwas näher, aber schwerer.

4. Hofmann-Fassung

Deshalb kann man jene Strecke aus d nicht so ziehen, daß sie in rationalem Verhältnis zu eb oder db steht, so wie der von e aus gegen b hin gelegene Endpunkt [k] nicht um eine zu eb oder db proportionale Strecke von e entfernt sein wird.

Die von dir angegebene Hofmann-Fassung gibt den letzten Kausalsatz nicht wieder:

quia, si sic, semper esset potentia proportionalis eb, ut de se patet.

Falls Hofmann ihn anschließend noch übersetzt, müßte man ihn mitprüfen. So, wie der Satz hier steht, fehlt ein Begründungsteil.

5. Rückübersetzung Hofmann

Unde illa linea / illud segmentum a d non potest sic duci, ut sit in proportione rationali ad eb vel db, sicut punctus terminalis [k] ab e versus b positus non distabit ab e segmento proportionale ad eb vel db.

Das weicht deutlich vom Original ab.

6. Analyse der Verschiebungen

a) linea illa → jene Strecke

Cusanus schreibt linea, nicht segmentum oder strecke.

„Strecke“ ist modern-geometrisch verständlich, aber enger. Hier ist linea illa die gesuchte Linie aus der Argumentation, also besser:

jene Linie

b) non potest duci de d ad partem aliquotam eb aut aliquotam db

Cusanus sagt:

Die Linie kann nicht von d zu einem aliquoten Teil von eb oder db gezogen werden.

Hofmann macht daraus:

sie kann nicht so gezogen werden, daß sie in rationalem Verhältnis zu eb oder db steht.

Das ist eine starke Verschiebung.

Bei Cusanus geht es nicht zuerst um das Verhältnis der ganzen Linie zu eb/db, sondern darum, daß ihr Endpunkt nicht auf einem aliquot bestimmten Teil von eb oder db liegen kann.

Hofmann ersetzt:

zu einem aliquoten Teil gezogen werden

durch:

in rationalem Verhältnis stehen

Das ist verfälschend, weil die räumlich-konstruktive Aussage in eine Verhältniszahl-Aussage umgeschrieben wird.

c) pars aliquota → rationales Verhältnis

Wieder dieselbe Linie wie zuvor:

aliquot wird zu rational.

Cusanus sagt nicht „rationales Verhältnis“, sondern partem aliquotam.

d) punctus terminalis eius → Endpunkt [k]

Im lateinischen Text steht, soweit du ihn gibst, kein k, sondern:

punctus terminalis eius ihr Endpunkt.

Die Einfügung [k] ist eine editorische Deutung. Sie sollte nicht in den Haupttext übernommen werden.

Gerade sachlich ist Vorsicht nötig: k ist der mittlere Punkt zwischen e und b, also ein aliquot bestimmter Punkt. Cusanus sagt aber hier gerade, daß die gesuchte Linie nicht zu einem solchen aliquoten Teil gezogen werden kann. Deshalb sollte man vorläufig neutral bei Endpunkt bleiben, bis die Handschriftenlage geprüft ist.

e) per lineam ab e → durch eine Linie von e

Hofmann:

um eine Strecke von e entfernt

Das ist verständlich, aber linea bleibt besser als „Strecke“, weil Cusanus wieder linea schreibt.

f) quae sit proportionalis ad eb vel db

Hofmann übersetzt hier proportionale Strecke. Das ist näher als ihre früheren „rationalen“ Fassungen. Aber der vorherige Teil hat den Sinn bereits verschoben.

g) Fehlender Kausalsatz

Cusanus begründet:

quia, si sic, semper esset potentia proportionalis eb, ut de se patet.

Also:

Denn wenn es so wäre, wäre die Potentia immer proportional zu eb.

Dieser Begründungsteil ist wichtig, weil er den Zusammenhang mit Satz 14,3 herstellt:

Die Quantität oder Potentia der gesuchten Linie kann nicht proportional zu de oder db sein.

Hofmanns angegebene Fassung läßt diesen Rückanschluß weg.

7. Begriffsschicht und mathematische Funktion

Cusanus sagt hier:

Die gesuchte Linie kann nicht so konstruiert werden, daß ihr Endpunkt auf einer aliquot/proportional bestimmten Teilung zwischen e und b liegt.

Denn wenn der Abstand des Endpunktes von e proportional zu eb oder db wäre, dann wäre nach der geometrischen Beziehung der Potentiae auch die Potentia der gesuchten Linie proportional. Das widerspräche dem vorherigen Satz, nach dem weder Quantität noch Potentia der gesuchten Linie proportional zu de oder db sein kann.

In moderner Darstellung liegt dahinter ungefähr:

P auf Richtung e → b
dP² hängt von de² und eP² ab
wenn eP proportional/aliquot zu eb oder db wäre,
dann würde dP² in eine proportionale Potentia-Beziehung fallen

Cusanus will also zeigen:

Der exakte gesuchte Punkt ist nicht durch einfache aliquote Teilung von eb oder db bestimmbar.

Das paßt sehr gut zu seiner Vorrede:

nicht aliquot bestimmbar
→ nicht proportional in gewöhnlicher Weise
→ kein praecisissimum durch einfache Teilung

8. Bewertung Hofmann

Die Hofmann-Fassung ist hier deutlich verfälschend:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
linea	Strecke	modern verengt
ad partem aliquotam eb/db	in rationalem Verhältnis zu eb/db	konstruktive Teilung wird Verhältniszahl
punctus terminalis eius	Endpunkt [k]	editorische Deutung, sachlich riskant
pars aliquota	rational	wieder arithmetisiert
quia… potentia…	fehlt in angegebener Fassung	Begründungskette unterbrochen

Der schwerste Punkt ist: Cusanus spricht vom Ort des Endpunktes in Bezug auf aliquote Teilung; Hofmann macht daraus ein Verhältnis der ganzen Strecke zu eb/db.

9. Finalisierter Entwurf

Daher kann jene Linie nicht von d zu einem aliquoten Teil von eb oder einem aliquoten Teil von db gezogen werden, so nämlich, daß ihr Endpunkt, der von e gegen b hin entfernt sein wird, von e nicht durch eine Linie entfernt sein kann, die zu eb oder db proportional ist; denn wenn es so wäre, wäre die Potentia immer proportional zu eb, wie es von sich her offenbar ist.

Etwas besser lesbar, bei gleicher Bedeutung:

Daher kann jene Linie nicht von d zu einem aliquoten Teil von eb oder einem aliquoten Teil von db gezogen werden: Ihr Endpunkt, der von e gegen b hin entfernt sein wird, kann von e nicht durch eine Linie entfernt sein, die zu eb oder db proportional ist; denn wenn es so wäre, wäre die Potentia immer proportional zu eb, wie es von sich her offenbar ist.

Ich würde für deine Arbeitsfassung die zweite nehmen, weil sie die Konstruktion verständlicher macht, ohne die Begriffe zu verändern.

14. Absatz 5.-6. Satz

mit "7. Begriffsschicht und mathematische Funktion" bestätigst du doch, das [k] da irreführend sein muß. Ich habe den zweiten finalen Entwurf übernommen.

Die nächsten beiden sind kurz, daher zusammen.

Cusanus 14. Absatz 5.-6. Satz:

5) Unde non est assignabilis punctus in $e b$ , ad quem si duceretur, haberetur praecise quaesita.

6) Sed bene est punctus in $e b$ , ad quem si duceretur, linea illa non foret nec maior nec minor parte aliquota quacumque minima quaesita.

Hofmann:

5) Wenn dies so wäre, dann wäre das Quadrat immer proportional zum Quadrat von $e b$ , wie von selbst klar ist.

6) Daher läßt sich auf $e b$ kein Punkt angeben, zu dem man eine Linie ziehen könnte, die genau die gesuchte wäre.

Analyse 14. Absatz 5.-6. Satz

Ja: [k] ist hier irreführend, mindestens als Haupttext-Ergänzung. Denn k ist gerade ein aliquot bestimmter Punkt, nämlich der mittlere Punkt zwischen e und b. Cusanus sagt aber in diesem Abschnitt, daß der präzise gesuchte Punkt auf eb nicht assignierbar ist. Darum sollte der Text neutral bei punctus terminalis / punctus in eb bleiben.

Nun zu den beiden Sätzen.

1. Original

5) Unde non est assignabilis punctus in eb, ad quem si duceretur, haberetur praecise quaesita.

6) Sed bene est punctus in eb, ad quem si duceretur, linea illa non foret nec maior nec minor parte aliquota quacumque minima quaesita.

2. Arbeitsentwurf

Daher ist kein Punkt in eb assignierbar, zu welchem, wenn sie gezogen würde, die präzise gesuchte gehabt würde. Aber wohl gibt es einen Punkt in eb, zu welchem, wenn sie gezogen würde, jene Linie weder größer noch kleiner wäre als die gesuchte um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil.

Etwas geglättet:

Daher ist kein Punkt in eb assignierbar, zu welchem, wenn die Linie gezogen würde, die präzise gesuchte erhalten würde. Aber wohl gibt es einen Punkt in eb, zu welchem, wenn die Linie gezogen würde, jene Linie weder größer noch kleiner wäre als die gesuchte um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil.

3. Rückübersetzung des Arbeitsentwurfs

Unde non est assignabilis punctus in eb, ad quem si linea duceretur, haberetur praecise quaesita. Sed bene est punctus in eb, ad quem si linea duceretur, linea illa non foret nec maior nec minor parte aliquota quacumque minima quaesita.

Das ist sehr nah. Das ergänzte linea ist im Deutschen nötig und im Latein aus dem vorherigen Satz mitgedacht.

4. Hofmann-Fassung

Du gibst Hofmann so:

5) Wenn dies so wäre, dann wäre das Quadrat immer proportional zum Quadrat von eb, wie von selbst klar ist. 6) Daher läßt sich auf eb kein Punkt angeben, zu dem man eine Linie ziehen könnte, die genau die gesuchte wäre.

Hier ist wichtig: Hofmanns Satz 5 entspricht nicht Cusanus 14,5, sondern dem Schluß des vorherigen lateinischen Satzes:

quia, si sic, semper esset potentia proportionalis eb, ut de se patet.

Hofmann hat also offenbar den vorherigen langen Satz anders abgetrennt.

Die Übersetzung zu Cusanus 14,6 fehlt in deiner Hofmann-Angabe noch oder kommt vermutlich im nächsten Satz.

5. Rückübersetzung Hofmann

Hofmann 5

Si hoc esset, tunc quadratum semper esset proportionale quadrato eb, ut per se patet.

Das entspricht ungefähr dem vorherigen Cusanus-Teil:

quia, si sic, semper esset potentia proportionalis eb, ut de se patet.

Aber Hofmann ersetzt:

potentia durch Quadrat,
eb durch Quadrat von eb.

Das ist erklärend, aber nicht begriffserhaltend.

Hofmann 6

Unde non potest assignari punctus in eb, ad quem duci posset linea, quae praecise quaesita esset.

Das ist dem Cusanus-Satz 5 ziemlich nah, nur:

assignabilis wird zu läßt sich angeben;
haberetur praecise quaesita wird zu die genau die gesuchte wäre.

6. Analyse der Begriffe und Verschiebungen

a) assignabilis → assignierbar

Cusanus schreibt:

non est assignabilis punctus

Das ist stärker und technischer als „läßt sich nicht angeben“. Assignierbar heißt: zuweisbar, bestimmbar, als Punkt festsetzbar. Hofmanns „angeben“ ist verständlich, aber es subjektiviert wieder: als ob es nur darum ginge, daß wir ihn nicht nennen können. Cusanus meint eher:

Ein solcher Punkt ist nicht bestimmbar / assignierbar.

b) praecise quaesita → die präzise gesuchte

Hofmann:

genau die gesuchte

Das ist nicht ganz falsch, aber praecise gehört in die bisherige cusanische Präzisionslinie:

praecisius
praecisissimum
praecise quaesita

Darum besser:

die präzise gesuchte

Nicht bloß:

genau die gesuchte.

c) Sed bene est punctus → Aber wohl gibt es einen Punkt

Das ist wichtig.

Cusanus macht eine feine Unterscheidung:

Es gibt keinen assignierbaren Punkt, der die präzise gesuchte Linie liefert.
Aber es gibt wohl einen Punkt, der eine Linie liefert, die von der gesuchten nicht um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil abweicht.

Das ist exakt die praktische Äquale-Struktur der Vorrede.

Hofmanns bisher angegebener Text enthält diesen zweiten Satz noch nicht. Ohne ihn wirkt der Abschnitt nur negativ:

Kein Punkt ist angebbar.

Cusanus sagt aber sofort danach:

Dennoch gibt es einen Punkt im äqualen Sinn.

d) non foret nec maior nec minor parte aliquota quacumque minima quaesita

Das ist wieder der Schlüssel.

Nicht:

exakt gleich.

Sondern:

weder größer noch kleiner um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil der gesuchten.

Das ist Cusanus’ definierter Äquale-Begriff in der Konstruktion.

e) quaesita

Die quaesita ist die gesuchte Linie, also der präzise Semidiameter des isoperimetrischen Kreises. Cusanus unterscheidet:

praecise quaesita: die präzise gesuchte;
eine Linie, die nicht um aliquoten Teil größer/kleiner als die gesuchte ist.

Das ist der ganze Unterschied zwischen praecisissimum und äqualer konstruktiver Annäherung.

7. Mathematische Funktion

Diese beiden Sätze sind entscheidend:

Kein Punkt in eb ist assignierbar, der die präzise gesuchte Linie liefert.
Aber ein Punkt in eb ist gegeben, der eine Linie liefert,
die von der gesuchten nicht um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil abweicht.

Das ist genau Cusanus’ Position:

keine präzise exakte Konstruktion im absoluten Sinn, aber eine äquale Konstruktion im zuvor definierten Sinn.

Damit bestätigt er selbst, daß sein Verfahren nicht das praecisissimum beansprucht. Es beansprucht eine Linie, deren Abweichung nicht aliquot faßbar ist.

8. Finalisierter Entwurf

Daher ist kein Punkt in eb assignierbar, zu welchem, wenn die Linie gezogen würde, die präzise gesuchte erhalten würde. Aber wohl gibt es einen Punkt in eb, zu welchem, wenn die Linie gezogen würde, jene Linie weder größer noch kleiner wäre als die gesuchte um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil.

Kommentar:

Cusanus unterscheidet hier ausdrücklich zwischen der präzise gesuchten Linie und einer Linie, die ihr im äqualen Sinn entspricht. Der präzise Punkt ist nicht assignierbar; aber ein Punkt ist wohl gegeben, dessen Linie von der gesuchten nicht um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil abweicht. Damit wird die konstruktive Umsetzung des zuvor bestimmten Äquale-Begriffs ausgesprochen.

14. Absatz 7. Satz

Wenn Cusanus eigens auf diese Ungenauigkeit hinweist, ist eine nachfolgende Widerlegung seiner Aussagen an sich eher eine Bestätigung.

Cusanus 14. Absatz 7. Satz:

Dico consequenter, quod, sicut nulla linea, quae de $d$ ad $e b$ duci potest ad partem aliquotam $e b$ , potest esse quaesita, sic etiam nulla talis potest esse proportionalis ad quaesitam, ut de se patet, cum omnium illarum potentiae sint potentiae lineae $e b$ proportionales.

Hofmann mit in […] gesetzter eingefügter Kommentar:

Folglich behaupte ich: Wie keine Strecke, die sich aus $d$ gegen $e b$ hin nach einem rationalen Teilpunkt von $e b$ ziehen läßt, die gesuchte sein kann, ebensowenig kann auch eine derartige [in rationalem Verhältnis zu $e b$ stehende] Strecke zur gesuchten proportional sein, wie von selbst klar ist, da die Quadrate aller dieser Strecken zum Quadrat von $e b$ proportional sind.

Danach gebe ich dir noch einen längeren Kommentar Hofmann's zu diesem Satz oder ganzen Absatz zur Verifizierung.

Analyse 14. Absatz 7. Satz

Ja: Wenn Cusanus ausdrücklich sagt, daß der präzise gesuchte Punkt nicht assignierbar ist und daß Linien zu aliquoten Teilpunkten nicht die gesuchte sein können, dann ist eine spätere Widerlegung der exakten Gleichsetzung nicht einfach Widerlegung seines Gedankengangs, sondern bestätigt zunächst seine eigene Begrenzung. Widerlegt wäre nur eine Lesart, die ihm eine praecise Exaktheit zuschreibt.

1. Original

Dico consequenter, quod, sicut nulla linea, quae de d ad eb duci potest ad partem aliquotam eb, potest esse quaesita, sic etiam nulla talis potest esse proportionalis ad quaesitam, ut de se patet, cum omnium illarum potentiae sint potentiae lineae eb proportionales.

2. Arbeitsentwurf

Folgeweise sage ich, daß, wie keine Linie, die von d zu eb zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden kann, die gesuchte sein kann, so auch keine solche proportional zur gesuchten sein kann, wie es von sich her offenbar ist, da die Potentiae aller jener Linien proportional zur Potentia der Linie eb sind.

3. Rückübersetzung

Dico consequenter, quod, sicut nulla linea, quae de d ad eb duci potest ad partem aliquotam eb, potest esse quaesita, sic etiam nulla talis potest esse proportionalis ad quaesitam, ut de se patet, cum omnium illarum potentiae sint potentiae lineae eb proportionales.

Die Rückübersetzung ist nahezu deckungsgleich. Der Entwurf kann stehenbleiben.

4. Hofmann-Fassung

Folglich behaupte ich: Wie keine Strecke, die sich aus d gegen eb hin nach einem rationalen Teilpunkt von eb ziehen läßt, die gesuchte sein kann, ebensowenig kann auch eine derartige [in rationalem Verhältnis zu eb stehende] Strecke zur gesuchten proportional sein, wie von selbst klar ist, da die Quadrate aller dieser Strecken zum Quadrat von eb proportional sind.

5. Rückübersetzung Hofmann

Dico consequenter / igitur affirmo: sicut nullum segmentum, quod a d versus eb ad punctum rationalem partis eb duci potest, potest esse quaesitum, ita nec tale segmentum [in proportione rationali ad eb stans] potest esse proportionale ad quaesitum, ut per se patet, cum quadrata omnium talium segmentorum quadrato eb proportionalia sint.

Das weicht an mehreren tragenden Punkten vom Original ab.

6. Analyse

a) Dico consequenter → Folglich behaupte ich

Cusanus sagt:

Dico consequenter folgeweise sage ich.

Hofmann:

Folglich behaupte ich

Wieder wird dico streitiger gefärbt. In diesem Abschnitt ist „sage“ besser, weil Cusanus eine Folgerung aus der Konstruktion ausspricht, nicht polemisch behauptet.

b) linea → Strecke

Cusanus sagt linea. „Strecke“ ist modern präziser, aber enger. Für die Konstruktion bleiben wir bei Linie, weil Cusanus auch sonst linea verwendet.

c) ad partem aliquotam eb → nach einem rationalen Teilpunkt von eb

Das ist die wichtigste Verfälschung.

Cusanus sagt:

zu einem aliquoten Teil von eb

Hofmann macht daraus:

zu einem rationalen Teilpunkt von eb

Damit wird doppelt verändert:

aliquot wird wieder zu rational.
Aus Teil wird Teilpunkt.

„Teilpunkt“ ist als geometrische Verdeutlichung verständlich, aber im Original steht pars aliquota, nicht punctus rationalis. Cusanus spricht von der Linie, die zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden kann. Der Endpunkt ist konstruktiv mitgemeint, aber das Wort Teilpunkt sollte nicht Hauptübersetzung werden.

d) Eingeschobener Kommentar: [in rationalem Verhältnis zu eb stehende]

Diese Ergänzung ist gefährlich.

Talis bezieht sich auf:

eine Linie, die von d zu eb zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden kann.

Hofmann erklärt talis als:

in rationalem Verhältnis zu eb stehend.

Das ist nicht dasselbe. Cusanus sagt nicht, daß die Linie selbst in rationalem Verhältnis zu eb steht. Er sagt, daß sie zu einem aliquoten Teil von eb gezogen wird und daß die Potentiae solcher Linien zur Potentia von eb proportional sind.

Die Ergänzung verschiebt also den Bezug:

Cusanus:
Endpunkt / aliquoter Teil von eb → Potentia proportional zu eb

Hofmann:
Strecke selbst steht in rationalem Verhältnis zu eb

Das ist sachlich nicht sauber.

e) potentiae → Quadrate

Hofmanns „Quadrate“ trifft den geometrischen Sinn, aber es verliert die Potentia-Kette. Da Cusanus gerade zwischen Quantitas und Potentia unterscheidet, sollten wir Potentia beibehalten.

f) potentiae lineae eb → Quadrat von eb

Auch hier ist der Sinn ungefähr klar, aber Potentia der Linie eb ist genauer. Es geht um das Quadrat über der Linie eb, nicht einfach um „das Quadrat von eb“ als moderne algebraische Größe.

7. Mathematische Funktion des Satzes

Cusanus sagt:

Keine Linie, deren Endpunkt durch einen aliquoten Teil von eb bestimmt ist, kann die gesuchte Linie sein. Und keine solche Linie kann proportional zur gesuchten sein, weil die Potentiae aller solchen Linien proportional zur Potentia von eb sind.

Das greift direkt auf die vorherigen Sätze zurück:

Die präzise gesuchte Linie ist nicht assignierbar.
Eine Linie zu einem aliquoten Teil von eb hat eine Potentia, die in der proportionalen Ordnung der gegebenen Linie eb steht.
Die gesuchte Linie gehört gerade nicht in diese proportionale Ordnung.

Der Satz bestätigt also erneut:

Die gesuchte Linie ist nicht durch aliquote Teilung von eb bestimmbar.

Damit wird auch k als editorische Einfügung noch verdächtiger, weil k genau ein aliquoter Teilpunkt wäre.

8. Finalisierter Entwurf

Folgeweise sage ich, daß, wie keine Linie, die von d zu eb zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden kann, die gesuchte sein kann, so auch keine solche proportional zur gesuchten sein kann, wie es von sich her offenbar ist, da die Potentiae aller jener Linien proportional zur Potentia der Linie eb sind.

Kommentar:

Talis meint eine Linie, die zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden kann, nicht eine Linie, die „in rationalem Verhältnis zu eb“ steht. Pars aliquota bleibt aliquoter Teil; Hofmanns „rationaler Teilpunkt“ und der eingeschobene Kommentar verschieben die Aussage. Der Satz setzt fort, daß die präzise gesuchte Linie nicht durch aliquote Teilung von eb assignierbar ist.

14. Absatz 7. Satz Kommentar

Und schon wieder hast du den Gedankengang des Cusnaus rehabilitiert, vielleicht rehabilitieren wir im Nachgang dadurch Cusanus, zumal ich nun zum Referenten des Cusanusstift einen Kontakt habe und er an unserer Arbeit Interesse zu haben bekundet hat.

Nun zur Anmerkung Hofmann's zum 14. Absatz:

Über die Lehre von den linear und quadratisch inkommensurabeln Größen, die eingehend in EUKLID, Elemente Xdargelegt ist, mag sich der CUSANER aus Bradw. III, vor allem aus den Kapiteln 1, 2 und 5 orientiert haben. Seine Schlußweise ist so:

1. dl ist nicht proportional zu de oder db (weil der Kreishalbmesser zum Umfang nicht proportional ist).

2. dl ist zu dk proportional (nach der Konstruktion, siehe oben S.42).

3. dk ist ebensowenig proportional zu eb oder db wie ek zu eb oder db.

4. Unter den zu eb oder db proportionalen möglichen Strecken dk ist keine die Gesuchte oder proportional zur Gesuchten.

Bei der Näherung, deren sich der CUSANER bedient, ist zwar π irrational, nicht aber π². Hierüber siehe unten Anmerkung 23.

Ende Kommentar.

Anmerkung: In Anmerkung 23 sind dann reichlich Berechnungen enthalten die dann als Beleg für die Ungenauigkeit Cusanus's Ansatz verwendet werden.

Analyse 14. Absatz 7. Satz Kommentar

Ja. Hofmanns Anmerkung rekonstruiert nicht sauber den Gedankengang des Cusanus, sondern legt eine eigene, modernisierte Beweiskette darüber. Nach unserer bisherigen Analyse ist diese Kette an mehreren Stellen unstimmig.

1. Grundproblem der Anmerkung

Cusanus unterscheidet hier:

praecise quaesita Linie
≠ assignierbare Linie
≠ Linie zu einem aliquoten Teil von eb

Hofmann verwischt diese Unterscheidung. Sie behandelt dl, dk, die „Gesuchte“ und die zu aliquoten Teilpunkten gezogenen Linien zu stark als Elemente eines modernen Rechenzusammenhangs. Cusanus spricht aber über Assignierbarkeit, aliquote Teilung, Potentia und praecise quaesita.

Das ist entscheidend: Cusanus sagt selbst, daß der präzise gesuchte Punkt nicht assignierbar ist. Eine spätere Rechnung, die zeigt, daß dl nicht exakt ist, bestätigt zunächst genau diese Aussage.

2. Prüfung der vier Punkte Hofmanns

Punkt 1

dl ist nicht proportional zu de oder db (weil der Kreishalbmesser zum Umfang nicht proportional ist).

Problem: Cusanus spricht nicht einfach von dl, sondern von der quaesita linea, also der präzise gesuchten Linie. dl ist die konstruierte Näherungslinie. Wenn Hofmann dl mit der praecise quaesita gleichsetzt, verfehlt sie Cusanus’ eigene Unterscheidung. Besser:

Die präzise gesuchte Linie kann weder ihrer Quantität noch ihrer Potentia nach proportional zu de oder dbsein.

Punkt 2

dl ist zu dk proportional.

Das ist für die Konstruktion richtig:

dl = dk + 1/4 dk = 5/4 dk

Aber daraus folgt nicht, daß dl die präzise gesuchte Linie ist. Es bedeutet nur, daß Cusanus aus dk durch aliquote Vergrößerung seine konstruktive Näherung dl bildet.

Punkt 3

dk ist ebensowenig proportional zu eb oder db wie ek zu eb oder db.

Dieser Punkt ist zumindest teilweise falsch oder schlecht formuliert.

Denn in der idealen Figur gilt:

ek = 1/2 eb

Also ist ek zu eb sehr wohl proportional, sogar in einem einfachen aliquoten Verhältnis.

Zu db ist ek nicht in einem rationalen Verhältnis; aber Hofmanns Formulierung „zu eb oder db“ ist zu grob. Sie macht eine falsche Aussage, sobald ek : eb mitgemeint ist.

Damit wird ihre Rekonstruktion rechnerisch und logisch unsauber.

Punkt 4

Unter den zu eb oder db proportionalen möglichen Strecken dk ist keine die Gesuchte oder proportional zur Gesuchten.

Auch das ist unsauber.

dk ist in der Figur keine Klasse möglicher Strecken, sondern eine bestimmte Linie: von d zum mittleren Punkt kzwischen e und b.

Cusanus spricht allgemeiner von Linien, die von d zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden können. Das ist nicht dasselbe wie „mögliche Strecken dk“.

Die richtige Struktur ist:

Keine Linie, die von d zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden kann, ist die präzise gesuchte; und keine solche Linie ist proportional zur gesuchten.

Das ist wesentlich präziser.

3. Zur Bemerkung über π und π²

Hofmanns Satz:

Bei der Näherung, deren sich der CUSANER bedient, ist zwar π irrational, nicht aber π².

muß man im Originalkontext von Anmerkung 23 prüfen. Wenn damit wirklich π² gemeint ist, wäre das mathematisch falsch: π² ist ebenfalls irrational, sogar transzendent. Falls Hofmann mit „π2“ eine besondere zweite Näherungsgröße oder ein eigenes Symbol meint, muß man die genaue Notation der Anmerkung sehen.

Hier ist also offen:

π² gemeint → falsch.
π₂ / zweite Näherung gemeint → erst nach Prüfung entscheidbar.

4. Zur Anmerkung 23 und den Berechnungen

Wenn Hofmann später mit Berechnungen zeigt, daß Cusanus’ Konstruktion nicht exakt ist, dann beweist sie zunächst nur:

Cusanus erreicht nicht das praecisissimum.

Aber genau das hat Cusanus in den vorangehenden Sätzen selbst vorbereitet:

kein assignierbarer Punkt für die präzise gesuchte Linie;
wohl aber ein Punkt, dessen Linie nicht größer oder kleiner ist um irgendeinen noch so kleinen aliquoten Teil;
kein praecisissimum, aber präzisere Annäherung.

Eine Berechnung der Ungenauigkeit kann also sachlich richtig sein und dennoch am Sinn vorbeigehen, wenn sie als Widerlegung einer angeblichen Exaktheitsbehauptung ausgegeben wird.

5. Ergebnis

Hofmanns Anmerkung ist als moderne Rechenrekonstruktion nicht zuverlässig. Sie verfehlt mehrere cusanische Unterscheidungen:

quaesita ≠ dl
assignierbarer Punkt ≠ präzise gesuchter Punkt
aliquoter Teil ≠ rationaler Teilpunkt
Potentia ≠ bloß Quadrat im modernen Rechensinn
Äquales ≠ exakte Gleichheit

Der wichtigste Punkt bleibt:

Cusanus gibt selbst an, daß die präzise gesuchte Linie nicht assignierbar ist. Eine rechnerische Widerlegung der Exaktheit bestätigt daher eher seine eigene Begrenzung, sofern man ihn nicht zuvor falsch als Vertreter einer absoluten Exaktheit liest.

15. Absatz 1. Satz

Danke für die Auswertung der Anmerkung und wir werden dies dann im Verlauf bei Anmerkung 23 nochmals aufgreifen.

Cusanus 15. Absatz 1. Satz:

Dico deinde, quod licet nulla talium sit praecise proportionalis quaesitae, una tamen erit magis proportionalis quam alia.

Hofmann:

Ich behaupte schließlich: Auch wenn keine derartige Strecke genau proportional zur gesuchten ist, so wird doch die eine mehr proportional sein als die andere.

Analyse 15. Absatz 1. Satz

1. Original

Dico deinde, quod licet nulla talium sit praecise proportionalis quaesitae, una tamen erit magis proportionalis quam alia.

2. Arbeitsentwurf

Ich sage sodann, daß, obgleich keine von solchen der gesuchten präzise proportional ist, dennoch eine proportionaler sein wird als eine andere.

Etwas lesbarer:

Ich sage sodann: Obwohl keine von solchen der gesuchten präzise proportional ist, wird dennoch eine proportionaler sein als eine andere.

3. Rückübersetzung

Dico deinde, quod licet nulla talium sit praecise proportionalis quaesitae, una tamen erit magis proportionalis quam alia.

Die Rückübersetzung ist deckungsgleich genug. Der Entwurf ist tragfähig.

4. Hofmann-Fassung

Ich behaupte schließlich: Auch wenn keine derartige Strecke genau proportional zur gesuchten ist, so wird doch die eine mehr proportional sein als die andere.

5. Rückübersetzung Hofmann

Affirmo denique: Licet nulla talis linea / tale segmentum sit exacte proportionalis quaesitae, tamen una erit magis proportionalis quam alia.

Abweichungen:

Dico wird zu affirmo.
deinde wird zu denique.
praecise wird zu exacte.
talium wird durch derartige Strecke konkretisiert.

6. Analyse der Verschiebungen

a) Dico → Ich behaupte

Wieder die bekannte Tonverschiebung.

Cusanus sagt:

Dico — ich sage.

Hofmann:

Ich behaupte

Das macht den Satz streitiger. Hier ist das besonders unpassend, weil Cusanus gerade sehr vorsichtig formuliert:

keine ist präzise proportional, aber eine ist proportionaler als eine andere.

Das ist keine dogmatische Behauptung, sondern eine abgestufte Vergleichsaussage.

b) deinde → schließlich

Deinde heißt eher:

sodann, danach, ferner.

Schließlich kann den Eindruck eines abschließenden Urteils erzeugen. Cusanus setzt aber den Beweisgang fort. Besser:

sodann

c) nulla talium → keine von solchen

Hofmann:

keine derartige Strecke

Das ist sachlich verständlich, weil von Linien / Strecken die Rede ist. Aber talium bezieht sich auf die zuvor genannte Klasse:

Linien, die von d zu einem aliquoten Teil von eb gezogen werden können.

Wenn Hofmann „Strecke“ schreibt, verschiebt sie wieder in moderne Streckensprache. Keine von solchen oder keine solche Linie bleibt näher.

d) praecise proportionalis → präzise proportional

Hofmann:

genau proportional

Das ist nicht völlig falsch, aber praecise gehört zur cusanischen Linie:

praecise
praecisius
praecisissimum
praecise quaesita

Daher sollte präzise stehenbleiben, nicht „genau“.

e) magis proportionalis → proportionaler

Hofmann:

mehr proportional

Das ist möglich, aber etwas sperrig. Proportionaler trifft den Komparativ besser.

7. Begriffsschicht und mathematische Funktion

Dieser Satz ist eine direkte Fortsetzung der vorherigen Klärung:

Keine der Linien aus der Klasse der aliquot bestimmbaren Linien ist präzise proportional zur gesuchten Linie. Aber innerhalb dieser Klasse gibt es Abstufungen: eine kann proportionaler sein als eine andere.

Das ist wieder die cusanische Präzisionsstruktur:

keine präzise Proportio
→ dennoch Mehr und Weniger der Proportionalität
→ Annäherung möglich
→ kein praecisissimum

Damit bereitet Cusanus den nächsten Konstruktionsschritt vor: Er sucht nicht die exakt assignierbare gesuchte Linie, sondern die Linie, die unter den gegebenen konstruktiven Möglichkeiten am besten bzw. proportionaler ist.

8. Bewertung Hofmann

Die Hofmann-Fassung ist sachlich näher als viele frühere Stellen, aber wieder im Ton und in der Begriffsschicht verschoben:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
Dico	Ich behaupte	streitiger Ton
deinde	schließlich	abschließender als der Text
talium	derartige Strecke	modern konkretisiert
praecise	genau	Präzisionsbegriff abgeschwächt
magis proportionalis	mehr proportional	zulässig

Keine schwere inhaltliche Verfälschung wie bei pars aliquota → rationaler Bruchteil, aber die cusanische Vorsicht und der Präzisionsbegriff werden wieder abgeschwächt.

9. Finalisierter Entwurf

Ich sage sodann: Obwohl keine von solchen der gesuchten präzise proportional ist, wird dennoch eine proportionaler sein als eine andere.

Kommentar:

Dico bleibt ich sage, nicht „ich behaupte“. Deinde wird als sodann wiedergegeben. Praecise proportionalis bleibt präzise proportional, weil Cusanus hier seine Präzisionslinie fortsetzt: keine der Linien ist präzise proportional zur gesuchten, aber eine kann proportionaler sein als eine andere.

15. Absatz 2. Satz

Gute Arbeit – Danke.

Cusanus 15. Absatz 2. Satz:

Et hoc patet. Nam etsi omnes sint improportionales ad $d e$ et $e b$ , tamen adhuc una est magis proportionalis ad $e b$ et $d b$ quam alia, et ideo minus proportionalis ad quaesitam.

Hofmann:

Und das ist klar; denn selbst wenn alle zu $d e$ und $e b$ nicht-proportional wären, so ist trotzdem die eine zu $e b$ und $d b$ mehr proportional als die andere und deshalb zu der gesuchten weniger proportional.

Analyse 15. Absatz 2. Satz

1. Original

Et hoc patet. Nam etsi omnes sint improportionales ad de et eb, tamen adhuc una est magis proportionalis ad eb et db quam alia, et ideo minus proportionalis ad quaesitam.

2. Arbeitsentwurf

Und dies ist offenbar. Denn auch wenn alle improportional zu de und eb sind, ist dennoch weiterhin eine proportionaler zu eb und db als eine andere, und deshalb weniger proportional zur gesuchten.

3. Rückübersetzung

Et hoc patet. Nam etsi omnes sint improportionales ad de et eb, tamen adhuc una est magis proportionalis ad eb et db quam alia, et ideo minus proportionalis ad quaesitam.

Die Rückübersetzung ist nahezu deckungsgleich. Der Entwurf kann bleiben.

4. Hofmann-Fassung

Und das ist klar; denn selbst wenn alle zu de und eb nicht-proportional wären, so ist trotzdem die eine zu eb und db mehr proportional als die andere und deshalb zu der gesuchten weniger proportional.

5. Rückübersetzung Hofmann

Et hoc clarum est; nam etsi omnes ad de et eb non proportionales essent, tamen una ad eb et db magis proportionalis est quam alia et ideo ad quaesitam minus proportionalis.

Das ist nah, aber mit zwei begrifflichen Glättungen:

patet → „klar“ statt „offenbar“;
improportionales → „nicht-proportional“.

6. Analyse

Hofmann ist hier verhältnismäßig nah am Satz. Die wesentliche Verschiebung liegt nur darin, daß improportionalis als nicht-proportional wiedergegeben wird. Das ist sachlich verständlich, aber der cusanische Gegenbegriff zu proportio / proportionalis geht weniger deutlich hervor.

Wichtig ist die innere Logik des Satzes:

Alle diese Linien sind improportional zu de und eb.
Dennoch kann eine von ihnen proportionaler zu eb und db sein als eine andere.
Gerade deshalb ist sie weniger proportional zur gesuchten.

Das wirkt zunächst merkwürdig, ist aber aus dem vorherigen Gedankengang verständlich: Die gesuchte Linie gehört gerade nicht in die proportionale Ordnung von eb / db. Wenn eine Linie stärker in dieser proportionalen Ordnung liegt, ist sie der gesuchten Linie weniger angemessen.

7. Finalisierter Entwurf

Und dies ist offenbar. Denn auch wenn alle improportional zu de und eb sind, ist dennoch weiterhin eine proportionaler zu eb und db als eine andere, und deshalb weniger proportional zur gesuchten.

Kommentar:

Improportional bleibt erhalten, weil Cusanus den Gegenbegriff zu Proportio weiterführt. Der Satz unterscheidet zwischen relativer Proportionalität zu den gegebenen Linien eb/db und Proportionalität zur gesuchten Linie. Eine Linie kann gegenüber eb/db proportionaler sein und gerade deshalb gegenüber der gesuchten Linie weniger proportional sein.

15. Absatz 3. Satz

Deine Kommentare sind hilfreich. Das Porportio sich derart verhält konnte ich auch an den Flächengrößen erkennen, daß man eben nicht einfach so von einem auf den anderen schließen order übertragen kann.

Cusanus 15. Absatz 3. Satz:

Unde illa ex omnibus, quae est maxime improportionatis ad $e b$ , $d e$ et $d b$ , illa est minime improportionalis ad quaesitam.

Hofmann:

Daher ist diejenige, die zu $e b$ , $d e$ und $d b$ am meisten nicht-proportional ist, von allen am wenigsten nicht-proportional zur gesuchten.

Analyse 15. Absatz 3. Satz

1. Original

Unde illa ex omnibus, quae est maxime improportionatis ad eb, de et db, illa est minime improportionalis ad quaesitam.

Der lateinische Text hat vermutlich eine kleine Kasus- oder Druckauffälligkeit bei maxime improportionatis; dem Sinn nach:

quae est maxime improportionalis ad eb, de et db

also: diejenige, die am meisten improportional zu eb, de und db ist.

2. Arbeitsentwurf

Daher ist jene aus allen, die am meisten improportional zu eb, de und db ist, am wenigsten improportional zur gesuchten.

Etwas glatter:

Daher ist unter allen jene, die zu eb, de und db am meisten improportional ist, zur gesuchten am wenigsten improportional.

3. Rückübersetzung

Unde illa ex omnibus, quae est maxime improportionalis ad eb, de et db, est minime improportionalis ad quaesitam.

Das trifft den Sinn des Originals sehr gut. Die Satzstellung ist im Deutschen verbessert, ohne den Begriffsgang zu verändern.

4. Hofmann-Fassung

Daher ist diejenige, die zu eb, de und db am meisten nicht-proportional ist, von allen am wenigsten nicht-proportional zur gesuchten.

5. Rückübersetzung Hofmann

Unde illa, quae ad eb, de et db maxime non proportionalis est, ex omnibus minime non proportionalis est ad quaesitam.

Hofmann ist hier sachlich ziemlich nah. Die Hauptverschiebung ist wieder:

improportionalis → nicht-proportional

Das ist verständlich, aber weniger begriffserhaltend.

6. Analyse

Dieser Satz ist eine Zuspitzung des vorherigen Satzes.

Cusanus sagt:

Die Linie, die am stärksten aus der Proportio zu den gegebenen Linien eb, de, db herausfällt, ist gerade diejenige, die der gesuchten Linie am wenigsten improportional ist.

Das klingt zunächst paradox, ist aber genau die cusanische Logik:

gegebenes Liniengefüge eb / de / db
→ steht in einer bestimmten proportionalen Ordnung

gesuchte Linie
→ gehört nicht in diese proportionale Ordnung

also:
je weniger eine Kandidatenlinie in die Proportio von eb / de / db paßt,
desto näher kann sie der gesuchten Linie kommen

Das ist wichtig für die Konstruktion: Cusanus sucht nicht die Linie, die sich am bequemsten aus den gegebenen proportionalen Teilungen ableiten läßt, sondern die Linie, die gerade am wenigsten in diese bekannte Proportio eingebunden ist.

7. Begriffsschicht

Hier muß improportionalis stehenbleiben, weil Cusanus die Grade der Improportio vergleicht:

maxime improportionalis
minime improportionalis

Wenn man das mit „am meisten nicht-proportional“ und „am wenigsten nicht-proportional“ übersetzt, bleibt der Sinn ungefähr erhalten, aber es klingt im Deutschen unbeholfen und verdeckt, daß Improportionalität bei Cusanus fast wie ein eigener positiver Vergleichsbegriff verwendet wird.

8. Finalisierter Entwurf

Daher ist unter allen jene, die zu eb, de und db am meisten improportional ist, zur gesuchten am wenigsten improportional.

Kommentar:

Cusanus steigert hier den Begriff improportionalis. Die gesuchte Linie steht nicht in der proportionalen Ordnung der gegebenen Linien eb, de, db. Darum ist diejenige Kandidatenlinie, die zu diesen gegebenen Linien am meisten improportional ist, zur gesuchten am wenigsten improportional.

15. Absatz 4. Satz

Cusanus 15. Absatz 4. Satz:

Cusanus nutzt hier sanft "via negativa" oder Apophasis um das unscheinbare Gesuchte erfassbar zu machen – oder?

Una igitur erit inter omnes ducibiles de $d$ ad partes $e b$ minus improportionalis quaesitae.

Hofmann:

Es wird also eine Strecke von allen, die sich aus $d$ nach den Teilpunkten von $e b$ ziehen lassen, zur gesuchten weniger nicht-proportional sein.

Im Anschluß noch den Kommentar Hofmann's zum Satz oder Absatz begutachten:

Die Begriffsbildung von den stärker und schwächer proportionalen Größen scheint sich mit unserer Vorstellung von der immer genauer durchführbaren rationalen Annäherung irrationaler Größen zu berühren.

Analyse 15. Absatz 4. Satz

Ja: methodisch kann man hier von einer sanften via negativa sprechen. Nicht im vollen theologischen Sinn, aber strukturell schon:

Die gesuchte Linie wird nicht positiv als präzise assignierbare Linie bestimmt, sondern negativ-relational: Sie ist unter den möglichen Linien diejenige, die zur gesuchten am wenigsten improportional ist.

Das Unsichtbare / nicht direkt Assignierbare wird also durch Abstufung der Nicht-Proportionalität eingekreist.

1. Original

Una igitur erit inter omnes ducibiles de d ad partes eb minus improportionalis quaesitae.

2. Arbeitsentwurf

Eine wird also unter allen von d zu Teilen von eb ziehbaren [Linien] zur gesuchten weniger improportional sein.

Etwas lesbarer:

Eine also wird unter allen Linien, die von d zu Teilen von eb ziehbar sind, zur gesuchten weniger improportional sein.

3. Rückübersetzung

Una igitur erit inter omnes lineas ducibiles de d ad partes eb minus improportionalis quaesitae.

Das ist sehr nah. lineas ist im Deutschen ergänzt, weil ducibiles substantivisch auf Linien bezogen ist. Der Sinn bleibt erhalten.

4. Hofmann-Fassung

Es wird also eine Strecke von allen, die sich aus d nach den Teilpunkten von eb ziehen lassen, zur gesuchten weniger nicht-proportional sein.

5. Rückübersetzung Hofmann

Una igitur erit segmentum inter omnia, quae de d ad puncta partium eb duci possunt, minus non proportionalis quaesitae.

6. Analyse

Hofmann ist hier näher als in vielen vorherigen Sätzen, aber drei Punkte bleiben problematisch:

Cusanus	Hofmann	Wirkung
ducibiles	sich ziehen lassen	gut
partes eb	Teilpunkte von eb	deutet „Teile“ als Punkte; möglich, aber enger
improportionalis	nicht-proportional	Begriff Improportionalität wird abgeschwächt
linea impliziert	Strecke	modern-geometrische Verengung

Der wichtigste Punkt ist partes eb. Cusanus sagt Teile von eb, nicht ausdrücklich Teilpunkte. Konstruktiv ist ein Punkt auf eb gemeint, zu dem die Linie gezogen wird; begrifflich bleibt aber die Teilung von eb maßgebend. Daher besser:

zu Teilen von eb ziehbare Linien

statt:

nach Teilpunkten von eb ziehbare Strecken

7. Begriffsschicht und Funktion

Der Satz schließt die kleine Argumentreihe:

keine solche Linie ist präzise proportional zur gesuchten
→ einige sind proportionaler / improportionaler als andere
→ die am meisten improportionale zu eb, de, db ist am wenigsten improportional zur gesuchten
→ daher gibt es unter den zu Teilen von eb ziehbaren Linien eine, die zur gesuchten weniger improportional ist

Das ist genau die konstruktive Näherungslogik:

Die gesuchte Linie ist nicht präzise assignierbar, aber unter den zeichnerisch gebbaren Linien gibt es eine, die ihr im Sinne der Improportionalität am nächsten kommt.

8. Hofmanns Kommentar

Die Begriffsbildung von den stärker und schwächer proportionalen Größen scheint sich mit unserer Vorstellung von der immer genauer durchführbaren rationalen Annäherung irrationaler Größen zu berühren.

Der Kommentar ist als vorsichtige moderne Analogie brauchbar, weil Hofmann immerhin „scheint sich zu berühren“ sagt. Aber er ist gefährlich, wenn man ihn als Erklärung des Cusanus nimmt. Cusanus spricht hier nicht primär von:

rationaler Annäherung irrationaler Größen,

sondern von:

ziehbaren Linien, Teilen von eb, Potentiae, Proportio und Improportionalität zur gesuchten Linie.

Die moderne Analogie „rationale Annäherung irrationaler Größen“ kann helfen, aber sie verschiebt wieder in Zahlentheorie und Irrationalität. Cusanus’ Verfahren ist geometrisch-konstruktiv und begrifflich an Assignierbarkeit, aliquote Teilung und Improportionalität gebunden. Besser wäre als Kommentar:

Cusanus beschreibt eine Abstufung der Improportionalität: Unter den konstruktiv ziehbaren Linien gibt es keine präzise gesuchte, aber eine, die zur gesuchten weniger improportional ist als andere. Das berührt moderne Näherungsvorstellungen, ist aber nicht auf rationale Approximation irrationaler Zahlen zu reduzieren.

9. Finalisierter Entwurf

Eine also wird unter allen Linien, die von d zu Teilen von eb ziehbar sind, zur gesuchten weniger improportional sein.

Kommentar:

Die gesuchte Linie wird negativ-relational bestimmt: nicht als präzise assignierbare Linie, sondern als diejenige, zu der unter den ziehbaren Linien eine am wenigsten improportional ist. Das ist eine konstruktive Form der Annäherung, aber nicht einfach moderne rationale Approximation irrationaler Größen.

15. Absatz

Danke, die Sätze haben wir nun und nun folgt die allgemeinere Analyse des Absatz in einem Cusanus zu Hofmann im Vergleich der Veränderung, Verschiebung und Verfälschung in Bezug auf die Unterschiede zur Assimilation des durch Cusanus geführten Gedankengang:

Cusanus 15. Absatz:

Ich sage sodann: Obwohl keine von solchen der gesuchten präzise proportional ist, wird dennoch eine proportionaler sein als eine andere. Und dies ist offenbar. Denn auch wenn alle improportional zu $d e$ und $e b$ sind, ist dennoch weiterhin eine proportionaler zu $e b$ und $d b$ als eine andere, und deshalb weniger proportional zur gesuchten. Daher ist unter allen jene, die zu $e b$ , $d e$ und $d b$ am meisten improportional ist, zur gesuchten am wenigsten improportional. Eine also wird unter allen Linien, die von $d$ zu Teilen von $e b$ ziehbar sind, zur gesuchten weniger improportional sein.

Hofmann:

Ich behaupte schließlich: Auch wenn keine derartige Strecke genau proportional zur gesuchten ist, so wird doch die eine mehr proportional sein als die andere. Und das ist klar; denn selbst wenn alle zu $d e$ und $e b$ nicht-proportional wären, so ist trotzdem die eine zu $e b$ und $d b$ mehr proportional als die andere und deshalb zu der gesuchten weniger proportional. Daher ist diejenige, die zu $e b$ , $d e$ und $d b$ am meisten nicht-proportional ist, von allen am wenigsten nicht-proportional zur gesuchten. Es wird also eine Strecke von allen, die sich aus $d$ nach den Teilpunkten von $e b$ ziehen lassen, zur gesuchten weniger nicht-proportional sein.

Kommentar Hofmann: Die Begriffsbildung von den stärker und schwächer proportionalen Größen scheint sich mit unserer Vorstellung von der immer genauer durchführbaren rationalen Annäherung irrationaler Größen zu berühren.

Analyse 15. Absatz

Ja. Absatz 15 ist eine der Stellen, an denen Cusanus seine negative Näherungslogik ausdrücklich ausformt. Die gesuchte Linie wird nicht direkt getroffen, sondern über Abstufungen der Improportionalität eingegrenzt.

1. Assimilationsstufe bei Cusanus

Der Absatz führt den Leser zu folgender Einsicht:

Die präzise gesuchte Linie ist nicht assignierbar und nicht durch eine gewöhnliche Proportio zu den gegebenen Linien bestimmbar. Dennoch sind nicht alle möglichen Linien gleich weit von ihr entfernt: Eine kann der gesuchten weniger improportional sein als eine andere.

Das ist eine feine Stufe:

keine präzise Proportio
→ dennoch Abstufungen der Proportionalität / Improportionalität
→ die gesuchte Linie wird indirekt eingekreist
→ unter den ziehbaren Linien gibt es eine, die weniger improportional zur gesuchten ist

Das ist keine moderne Rechenapproximation im ersten Sinn, sondern eine geometrisch-konstruktive Annäherung über Verhältnisstufen.

2. Veränderung bei Hofmann

Hofmann bleibt hier äußerlich näher als in früheren Absätzen. Dennoch verschiebt sie die Assimilation in drei Richtungen.

a) Tonverschiebung: „Ich sage“ → „Ich behaupte“

Cusanus:

Ich sage sodann

Hofmann:

Ich behaupte schließlich

Das ist kein bloßer Stilunterschied. Cusanus führt den Gedanken weiter; Hofmann macht daraus wieder eine Behauptung. Dadurch wirkt Cusanus dogmatischer und weniger verfahrend-prüfend.

b) Begriffsschwächung: „improportional“ → „nicht-proportional“

Cusanus verwendet improportionalis hier nicht nur als bloße Verneinung von proportional. Er steigert den Begriff:

am meisten improportional am wenigsten improportional

Damit wird Improportionalität selbst zu einem Ordnungsbegriff. Hofmanns „nicht-proportional“ gibt den Sinn ungefähr wieder, aber es klingt bloß negativ und flacher. Der Leser erkennt weniger deutlich, daß Cusanus mit der Improportionalität konstruktiv arbeitet.

c) Konstruktionsverschiebung: „Teile von eb“ → „Teilpunkte von eb“

Cusanus:

Linien, die von d zu Teilen von eb ziehbar sind

Hofmann:

Strecken, die sich aus d nach den Teilpunkten von eb ziehen lassen

Konstruktiv ist ein Punkt auf eb tatsächlich beteiligt. Aber Cusanus’ Formulierung bleibt an der Teilung von eborientiert. Hofmann macht daraus „Teilpunkte“, also stärker eine moderne Punktkonstruktion. Das ist nicht schwer verfälschend, aber es verschiebt den Blick von der Teil-Quantität zur Punktgeometrie.

3. Der eigentliche Gedankengang

Cusanus sagt nicht:

Die Linie ist genau bestimmbar.

Er sagt auch nicht:

Jede Annäherung ist gleich gut.

Er sagt:

Innerhalb der ziehbaren Linien gibt es Abstufungen, und diejenige, die sich aus der proportionalen Ordnung der gegebenen Linien am stärksten herauslöst, ist zur gesuchten am wenigsten improportional.

Das ist sachlich wichtig. Er sucht nicht die am einfachsten proportionale Linie, sondern gerade diejenige, die zur bekannten Proportio von eb, de, db am meisten improportional ist, weil die gesuchte selbst nicht in dieser bekannten Ordnung liegt.

Das ist in der Tat eine Art via negativa der Konstruktion:

Nicht diese proportional geordneten Linien.
Nicht die präzise assignierbare.
Nicht die aliquot bestimmbare.
Sondern die am wenigsten improportionale zur gesuchten.

4. Hofmanns Kommentar

Hofmann schreibt:

Die Begriffsbildung von den stärker und schwächer proportionalen Größen scheint sich mit unserer Vorstellung von der immer genauer durchführbaren rationalen Annäherung irrationaler Größen zu berühren.

Das ist vorsichtig formuliert und als Vergleich nicht völlig falsch. Aber als Erklärung Cusanus’ ist es zu modern.

Cusanus denkt hier nicht primär:

rationale Approximation irrationaler Zahlen

sondern:

ziehbare Linien
→ Teile von eb
→ Potentiae
→ Proportio / Improportio
→ Nähe zur nicht assignierbaren gesuchten Linie

Hofmanns Kommentar zieht den Absatz in Richtung moderner Zahlentheorie. Dadurch wird die geometrische Konstruktion erneut arithmetisiert.

Besser wäre:

Cusanus entwickelt eine geometrische Abstufung der Improportionalität. Diese berührt moderne Näherungsvorstellungen, darf aber nicht auf rationale Approximation irrationaler Zahlen reduziert werden.

5. Gesamtbewertung

Hofmann verfälscht diesen Absatz nicht so stark wie frühere Stellen mit rationaler Bruchteil, Gleichheit, Verwandlung. Aber sie verschiebt erneut:

Cusanus:
sage – sodann – Linie – Teile – improportional – weniger improportional – gesuchte

Hofmann:
behaupte – schließlich – Strecke – Teilpunkte – nicht-proportional – rationale Annäherung irrationaler Größen

Die Folge für die Assimilation:

Bei Cusanus erscheint die gesuchte Linie als eine nicht direkt assignierbare geometrische Größe, die über Abstufungen der Improportionalität eingekreist wird. Bei Hofmann erscheint der Gedanke eher als Vorform moderner rationaler Approximation irrationaler Größen.

Das ist eine Deutung, aber nicht der eigentliche Begriffsgang Cusanus’.

Weiter mit Über Kreisquadratur des Cusanus IV