Gespräch:Untersuchung Stoicheia Buch VII. Erklärungen

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1. Mai 2026 n. Chr. erst.  
16:23 Uhr Ausgabe 01
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unüberarbeitet ungeprüft
↑ Untersuchung Stoicheia Buch I. Grundsätze

Hallo Sophos,

wir übersetzen nun Buch 7. die Erklärungen 1–22 auf der Grundlage von dem durch Heiberg erarbeiteten griechischen Text. Du bist also als Übersetzer und Mathematiker für mich tätig.

Ich gebe dir jeweils den griechichen Text. Du erstellst mir als erstes jeweils eine deutsche Umschrift.

Due untersuchst den Satz nach mathematischen Fachbegriffen im Griechisch und beläßt diese und erstellst mir eine erste Übersetzung zu deutsch, die noch die griechischen Fachbegriffe enthält, vergleichsweise übersetzt du ἀριθμὸς zu Arithmos.

Dann werde ich einen Übersetzungsentwurf erstellen und dir die Übersetzung von Heiberg zu Latein und die von Haller zu Deutsch geben und wir werden diese einander vergleichen. Dann werden wir auch noch schauen ob und wie in welcher wissenschaftlichen Disziplinen der jeweilige Satz zur Anwendung kommt.

Hast du Fragen dazu?

Einrichtung

Hallo Nikolaos,

keine sachlichen Fragen. Die Arbeitsweise ist klar.

Ich werde je Erklärung so vorgehen:

1. Griechischer Text
   • ich übernehme den von dir gegebenen Heiberg-Text als Grundlage,
   • keine stillen Korrekturen,
   • Unsicherheiten werden markiert.
2. Deutsche Umschrift
   • zuerst eine lesbare deutsche Umschrift des griechischen Satzes,
   • also keine Übersetzung, sondern eine Annäherung an Lautung/Form.
3. Fachbegriffsprüfung
   • mathematische und logische Fachbegriffe werden herausgehoben,
   • z. B. ἀριθμός = Arithmos, μονάς = Monas, μέρος = Meros, πολλαπλάσιος = Pollaplasios usw.,
   • dabei unterscheide ich zwischen gewöhnlichem Wortgebrauch und möglichem Fachgebrauch.
4. Erste deutsche Arbeitsübersetzung mit griechischen Fachbegriffen
   • die Übersetzung bleibt nah am griechischen Satzbau,
   • zentrale griechische Fachbegriffe bleiben zunächst stehen oder werden deutsch-griechisch gekoppelt,
   • z. B. nicht vorschnell „Zahl“, sondern Arithmos.
5. Späterer Vergleich
   • dein eigener Entwurf,
   • Heibergs Latein,
   • Hallers Deutsch,
   • dann Prüfung auf Terminologie, mathematische Sachrichtigkeit und mögliche Verfälschungen.
6. Anwendungsprüfung
   • danach können wir je Erklärung prüfen, in welchen mathematischen, arithmetischen, ontologischen, logischen oder später wissenschaftlichen Zusammenhängen der Satz gebraucht wurde oder gebraucht werden kann.

Einziger Vorschlag zur Form: Wir sollten bei jedem Abschnitt eine feste Gliederung verwenden:

A. Umschrift

B. Fachbegriffe

C. Erste Arbeitsübersetzung

D. Anmerkung zur mathematischen Struktur

Du kannst mit Erklärung 1 beginnen.

1. Erklärung

Dein Vorschlag zur Gliederung ist angenommen.

1. Erklärung:

μονάς ἐστιν, καθ᾽ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.

1. Erklärung

μονάς ἐστιν, καθ᾽ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.

A. Umschrift

monás estin, kath’ hḗn hékaston tōn óntōn hèn légetai.

Etwas stärker deutsch angenähert:

Monás estin, kath hēn hékaston tōn óntōn hen légetai.

B. Fachbegriffe

μονάς — Monas

Nicht vorschnell einfach „Einheit“ im modernen mathematischen Sinn. Bei Euklid ist Monas diejenige Bestimmung, durch die etwas als eines angesprochen wird. Sie ist noch nicht der Arithmos.

ἕν — Hen / Eines

Das neutrale „eins / eines“. Hier nicht als Zahlwort im Sinne eines Arithmos, sondern als Prädikat: etwas wird eins / eines genannt.

ἕκαστον τῶν ὄντων — jedes der Seienden / jedes von den Seienden

Das ist nicht rein mathematisch enggeführt, sondern allgemein formuliert: jedes einzelne Etwas, jedes Vorliegende, jedes Seiende.

λέγεται — wird genannt / wird ausgesagt / wird bezeichnet

Wichtig: Euklid sagt nicht einfach „ist eines“, sondern wird eines genannt. Das ist sprachlich-prädikativ: Die Monas ist das, nach welcher Hinsicht etwas als eines ausgesagt wird.

καθ᾽ ἣν — gemäß welcher / nach welcher / vermöge welcher

Kein mechanisches „durch welche“ im Sinne einer Wirkursache. Es bezeichnet eher die Hinsicht, Maßgabe oder Bestimmung, nach der etwas als eines gilt.

C. Erste Arbeitsübersetzung

Monas ist das, gemäß welcher jedes der Seienden Hen, eines, genannt wird.

Etwas geglätteter, aber noch nah am Griechischen:

Monas ist das, nach welcher jedes der Seienden eines genannt wird.

Oder mit stärkerer Bewahrung der Fachstruktur:

Monas ist jene Bestimmung, gemäß welcher jedes der Seienden als Hen, als eines, ausgesagt wird.

D. Anmerkung zur mathematischen Struktur

Diese erste Erklärung setzt noch keinen Arithmos voraus. Sie bestimmt zuerst die Monas als das, wodurch oder wonach ein einzelnes Seiendes als eines bezeichnet werden kann.

Mathematisch wichtig ist also:

Monas ≠ Arithmos.

Die Monas ist noch nicht „Zahl“ im Sinne einer gezählten Vielheit, sondern die Voraussetzung dafür, daß überhaupt ein einzelnes Etwas als eins gefaßt werden kann.

Darum wäre eine Übersetzung wie „Die Einheit ist das, wodurch jedes Ding eins ist“ zwar verständlich, aber schon gefährlich:

Sie verschiebt λέγεται von „wird genannt / ausgesagt“ zu einem stärkeren ontologischen „ist“, und sie kann Monas zu modern als abstrakte „Einheit“ festlegen.

Korrekturen zur 1. Erklärung

Zur Umschrift , mir genug die Artweise der ersten Umschrift ohne weitere Glättung. Auch für die Arbeitsübersetzung genügt mir die erste Artweise ohne weitere Glättung, da ich erfahren will, wie der Grieche sich etwas vorstellt und wie er denkt. Wenn zum Verständnis zusätzliche Wörter in Deutsch bedingt sind, dann für diese bei Bedarf in Klammern gesetzt hinzu.

In deinem ersten Entwurf finde ich "benannt" nicht richtig, da légetai eher "sagen" bedeutet.

Worte wie Monas übersetzen wir nicht. Auch an sich nicht Arithmos. Mir sind die bedeutung dieser Begriffe einigermaßen bekannt. Wenn vergleichsweise mal nicht die übergeordnete Bedeutung von Arithmos verwendet und es tatsächlich Zahlen betrifft, dann füge bitte Zahlen in Klammern an.

Mein erster Entwurf ist wie folgt: Monas ist das, gemäß welcher (wir zu) jeden der Seienden Ein sagen.

Jetzt frage ich mich ob dieses hèn substantivier wie "das platonische "das Eine" oder ein Zahlwort gebraucht wird?

Heiberg: Unitas est ea, secundum quam unaquaeque res una nominatur.

Haller: Eine Einheit ist etwas, das zu einer solchen bestimmt wird.

Hallers Kommentar dazu: Die Einheit, Monas (Μονάς), ist durch ihre Wahl unterschieden von allen anderen Anzahlen.

Jetzt haben wir meinen Entwurf und die beiden Übersetzungen. Jetzt geht es mir darum die durch die Übersetzung gegebenenfalls entstehende Verfälschung zu untersuchen und ob von der ursprünglichen Bedeutung der Sätze etwas durch die Übersetzung verloren geht. Deine Aufgabe ist dies nun zu untersuchen und mir darzulegen. Besonders fragwürdig sind Hallers Bestrebungen späteren Definitionen vorzugreifen oder durch Wortwahl Begriffe in die Antike zu bringen, die derzeit nicht bekannt waren.

Analyse zur 1. Erklärung

Angenommene Anpassung ab jetzt: A. Umschrift nur in der ersten Art:

monás estin, kath’ hḗn hékaston tōn óntōn hèn légetai.

C. Arbeitsübersetzung nur eine Fassung, nah am Griechischen.

1. Zu ἕν: substantiviert oder Zahlwort?

ἕν ist hier nach meiner Prüfung nicht substantiviert im Sinn von „das Eine“.

Dafür wäre im Griechischen eher τὸ ἕν zu erwarten: also mit Artikel, als substantivierter Begriff. Hier steht aber nur ἓν λέγεται: „wird / heißt / wird gesagt: eins“. Grammatisch ist ἕν hier prädikativ zu ἕκαστον τῶν ὄντων: jedes der Seienden wird Hen / eins gesagt.

Also:

nicht: Monas ist das, gemäß welcher jedes Seiende „das Eine“ genannt wird. sondern: Monas ist das, gemäß welcher jedes der Seienden eins gesagt wird.

Es ist also ein Zahlwort / Einheitsprädikat, aber noch nicht Arithmos. Wichtig ist: ἕν steht hier vor der Arithmos-Bildung. Erst Erklärung 2 macht aus Monaden eine Vielheit: ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος. In modernen englischen Euklid-Ausgaben wird diese zweite Definition häufig als „a number is a multitude composed of units“ wiedergegeben; Definition 1 entsprechend als „that by virtue of which each of the things that exist is called one“. (aleph0.clarku.edu)

2. Zu λέγεται: „wird gesagt“ statt „wird benannt“

Dein Einwand zu λέγεται ist sachlich wichtig. λέγω hat zwar auch die Nebenbedeutung „nennen / bezeichnen“, aber der Grundwert ist sagen / sprechen; Logeion gibt für λέγω zuerst „say, speak“ an. (logeion.uchicago.edu)

Darum ist „wird gesagt“ für unser Verfahren besser als „wird benannt“.

Warum?

„Benennen“ klingt stärker nach einem fertigen terminologischen Namensakt: Man gibt einem Ding einen Namen. λέγεται hält offener: Es wird ausgesagt, gesprochen, von ihm gesagt. Damit bleibt die Definition näher an einer prädikativen Struktur:

Von jedem Seienden wird gemäß Monas gesagt: Hen.

Das ist schwächer und genauer als: „Es erhält den Namen Eins.“

3. Prüfung deines Entwurfs

Dein Entwurf:

Monas ist das, gemäß welcher (wir zu) jeden der Seienden Ein sagen.

Inhaltlich ist das sehr nah am Griechischen. Zwei kleine grammatische Anpassungen wären möglich:

Monas ist das, gemäß welcher wir jedes der Seienden Hen sagen.

oder noch näher an der passiven Form:

Monas ist das, gemäß welcher jedes der Seienden Hen gesagt wird.

Die zweite Fassung trifft λέγεται genauer, weil der Grieche nicht ausdrücklich „wir sagen“ setzt. Aber dein „wir sagen“ hat einen Vorteil: Es macht sichtbar, daß λέγεται nicht ontologisch übersteigert werden muß. Der Satz sagt nicht zuerst: „jedes Seiende ist eines“, sondern: „jedes Seiende wird / heißt / gilt im Sagen als Hen.“ Ich würde daher als Arbeitsfassung nehmen:

Monas ist das, gemäß welcher jedes der Seienden Hen gesagt wird.

4. Heibergs Latein

Heiberg:

Unitas est ea, secundum quam unaquaeque res una nominatur.

Was Heiberg trifft

secundum quam trifft καθ᾽ ἣν recht gut: „gemäß welcher“. Das ist keine Wirkursache, sondern eine Maßgabe / Hinsicht.

unaquaeque res trifft ἕκαστον τῶν ὄντων nur teilweise, aber verständlich: „jedes Ding / jede Sache“. Der Verlust liegt darin, daß τῶν ὄντων allgemeiner ist: „der Seienden / dessen, was ist“. res ist sachlicher, dinglicher, römisch-juristisch/lateinisch-pragmatisch gefärbt.

Wo Heiberg verschiebt

Unitas übersetzt Monas bereits. Dadurch geht die griechische Eigenart verloren. Monas ist im Satz nicht nur ein beliebiges Wort für „Einheit“, sondern der zu bestimmende Grundbegriff.

nominatur verschiebt λέγεται stärker zu „wird benannt“. Genau hier entsteht Verlust. λέγεται kann zwar „wird genannt“ tragen, aber nominatur macht daraus deutlicher einen Namens- oder Bezeichnungsakt. Der griechische Satz bleibt näher am Aussagen: „wird Hen gesagt.“

Heiberg ist also nicht grob falsch, aber er latinisiert und verengt:

Griechisch	Heiberg	Verlust / Verschiebung
μονάς	unitas	Monas wird in lateinische „Einheit“ übersetzt
τῶν ὄντων	res	Seiendes wird zu Sache/Ding
λέγεται	nominatur	sagen/aussagen wird zu benennen/nennen
ἕν	una	sachlich nahe, aber lateinisch eingebettet

Urteil zu Heiberg:

Philologisch vertretbar, aber für unsere Arbeit zu glatt. Besonders nominatur verdeckt den einfachen Aussagesinn von λέγεται.

5. Haller

Haller:

Eine Einheit ist etwas, das zu einer solchen bestimmt wird.

Hallers Kommentar:

Die Einheit, Monas (Μονάς), ist durch ihre Wahl unterschieden von allen anderen Anzahlen.

Hier liegt eine starke Bedeutungsverschiebung vor.

5.1 „Eine Einheit“ statt Monas

Schon „Eine Einheit“ macht aus Monas ein Exemplar einer Klasse: „eine Einheit“. Im Griechischen steht aber nicht unbestimmt „eine Monas“, sondern definitorisch:

Monas ist …

Das ist eher Wesens-/Begriffsbestimmung als Auswahl eines einzelnen Einheitsexemplars.

5.2 „etwas“ ist zu unbestimmt

ἐστιν, καθ᾽ ἣν … meint nicht einfach „ist etwas“. Die Relativkonstruktion trägt den ganzen definitorischen Gehalt: Monas ist dasjenige, gemäß welchem jedes Seiende Hen gesagt wird.

Haller verliert hier die Struktur:

Monas → Maßgabe/Hinsicht → jedes Seiende → Hen gesagt

Bei ihm wird daraus:

Einheit → etwas → wird zu einer solchen bestimmt

Das ist eine andere Denkbewegung.

5.3 „zu einer solchen bestimmt wird“ ist sachlich eingeführt

Im griechischen Text steht nichts von Bestimmung durch Wahl, nichts von Auswahl, nichts von Festsetzung, nichts von Abgrenzung gegen andere Anzahlen.

λέγεται heißt hier nicht „wird dazu bestimmt“. Es heißt: „wird gesagt / wird genannt / heißt“. Haller bringt mit „bestimmt“ eine spätere begriffliche Operation hinein: Jemand bestimmt etwas zu einer Einheit. Dadurch entsteht eine aktive Setzung oder Wahlhandlung, die im griechischen Satz nicht steht.

5.4 „Anzahlen“ greift Erklärung 2 und spätere Arithmos-Struktur vorweg

Hallers Kommentar sagt:

„unterschieden von allen anderen Anzahlen“

Das ist für Erklärung 1 problematisch, weil Arithmos / Anzahl / Zahl gerade noch nicht definiert ist. Erklärung 1 bestimmt Monas; Erklärung 2 bestimmt erst Arithmos als aus Monaden zusammengesetzte Vielheit.

Wenn Haller bei Erklärung 1 schon von anderen Anzahlen spricht, greift er der zweiten Erklärung und der ganzen arithmetischen Ordnung vor. Außerdem stellt er Monas als eine Art besondere Anzahl unter Anzahlen dar. Das ist gerade fraglich, weil bei Euklid die Monas nicht einfach ein Arithmos unter Arithmoi ist, sondern das, woraus Arithmos erst zusammengesetzt wird.

Urteil zu Haller:

Haller übersetzt nicht nur frei, sondern deutet um. Seine Fassung bringt Bestimmung, Wahl, Unterscheidung von Anzahlen in den Satz hinein. Diese Elemente stehen im griechischen Text nicht. Dadurch wird die ursprüngliche griechische Aussage verdeckt.

6. Was durch Übersetzung verloren gehen kann

Der ursprüngliche Satz hat eine sehr knappe Struktur:

Monas ist,

gemäß welcher,

jedes der Seienden,

Hen,

gesagt wird.

Diese Struktur ist wichtig, weil sie keine moderne Definition im Stil „Eine Einheit ist ein Element der Menge …“ gibt. Sie sagt auch nicht: „Die Einheit ist die Zahl 1.“ Sie sagt auch nicht: „Ein Ding wird durch Wahl zur Einheit gemacht.“ Der Satz beschreibt eine Aussagebedingung:

Damit von irgendeinem Seienden gesagt werden kann: „Hen“, ist Monas die Maßgabe.

Damit steht Monas vor der Zählung. Sie ist nicht schon „Anzahl“, sondern Bedingung dafür, daß etwas als eines ansprechbar ist.

7. Ergebnis für unsere Arbeitsübersetzung

Ich würde für unsere Arbeitsfassung festhalten:

Monas ist das, gemäß welcher jedes der Seienden Hen gesagt wird.

Mit knapper Erläuterung:

• Hen hier nicht τὸ ἕν, also nicht substantiviert als „das Eine“.
• λέγεται besser „wird gesagt“ als „wird benannt“.
• καθ᾽ ἣν nicht Wirkursache, sondern Maßgabe / Hinsicht.
• τῶν ὄντων allgemeiner als „Dinge“ oder „Sachen“.
• Haller führt mit „bestimmt“, „Wahl“ und „Anzahlen“ Inhalte ein, die der griechische Satz selbst nicht enthält.

Danke für die Analyse und Auswertung, das ist großartig, genau das, daß ich benötige!

Warum beginnst du "Hen" im Satz mit Großbuchstabe und warum schreibst du nicht "ein", wenn es doch eindeutig dem "ein" im Deutsch entspricht?

Mein Entwurf zur vorläufigen Verwendung wäre: Monas ist das, gemäß welcher ein jedes Seiende gesagt wird.

Das wort ein würde ich kursiv zur Kennung der Betonung verschriften.

Monas

Ja, „Hen“ mit Großbuchstabe war von mir nur eine Kennzeichnung als griechischer Fach-/Prüfbegriff. Es war keineAussage, daß im griechischen Satz ein substantiviertes „das Eine“ steht.

Da hier ἕν ohne Artikel steht und prädikativ gebraucht wird, ist für die Arbeitsübersetzung tatsächlich „ein“ besser als „Hen“, sobald wir nicht mehr ausdrücklich den griechischen Wortkörper anzeigen wollen.

Dein Entwurf ist daher sachlich richtig ausgerichtet:

Monas ist das, gemäß welcher (ein) jedes Seiende ein gesagt wird.

Ich würde nur zwei kleine Punkte unterscheiden:

1. „(ein) jedes“ Das deutsche „ein jedes“ ist möglich und altertümlich passend. Im Griechischen steht aber nur ἕκαστον, also eigentlich „jedes“. Das erste deutsche „ein“ wäre also ein deutscher Zusatz, kein eigenes griechisches Wort.
2. Das zweite „ein“ Dieses entspricht direkt ἕν. Dieses ein sollte darum kursiv stehen, wenn du die Betonung / Fachstelle sichtbar machen willst.

Meine vorläufige Arbeitsfassung wäre daher:

Monas ist das, gemäß welcher jedes Seiende ein gesagt wird.

Oder, wenn du τῶν ὄντων sichtbarer erhalten willst:

Monas ist das, gemäß welcher jedes der Seienden ein gesagt wird.

Deine Fassung mit „(ein) jedes“ ist auch verwendbar, sofern klar bleibt:

(ein) = deutscher Ausdruckszusatz zu ἕκαστον ein = Übersetzung von ἕν

Die wichtigste Entscheidung ist: ἕν hier nicht als „das Eine“, sondern als prädikatives ein. Damit bleibt der Satz nahe am griechischen Denken: Nicht „die Einheit wird gewählt“, nicht „das Ding wird bestimmt“, sondern von jedem Seienden wird gemäß Monas ein gesagt.

Alleiniges

Gut. Gemäß Etymology von Monas bedeutet es wörtlich eigentlich "Alleiniges", etwas, daß allein für sich steht oder ist – oder?

In welchen Wissenschaften wurde dieser Satz als "Axiom" wie übernommen?

Monas etymologisch

Ich prüfe die Sachlage zweigeteilt: zuerst Monas etymologisch, dann die Rezeptionsfrage. Wichtig ist dabei: Bei Euklid ist der Satz formal keine Axiomatik, sondern eine Definition; spätere Autoren können ihn aber grundlegend, fast axiomatisch, verwenden.

Ja — etymologisch ist deine Richtung richtig, aber für Euklid muß man vorsichtig trennen:

μονάς hängt an μόνος = „allein, einzig, alleinstehend“. Logeion/Frisk führt μονάς ausdrücklich als Ableitung von μόνος; Wiktionary gibt die Bildung als μόνος + -άς und als Bedeutung zunächst „alone, solitary, isolated“, substantivisch dann „unit“.

Für unsere Übersetzung heißt das: „Alleiniges“ trifft den etymologischen Untergrund, aber als euklidischer Fachbegriff ist Monas nicht einfach „ein einsames Ding“. Sie ist eher: das Einzelne / Einheitssetzende / das, gemäß welchem etwas als ein gesagt wird. Also: etymologisch „alleinstehend“, fachlich bei Euklid „Monas“ als Ausgangsbegriff vor dem Arithmos.

Wurde dieser Satz als „Axiom“ übernommen?

Streng: Nein, nicht als Axiom. Bei Euklid steht er unter den Definitionen von Buch VII, nicht unter Postulaten oder Gemeinbegriffen. MacTutor unterscheidet ausdrücklich: Postulate sind Konstruktionssätze, Common Notions sind Axiome; zu Buch VII heißt es, Euklid gebe Definitionen zu Zahlen, aber keine Postulate oder Common Notions. Die Definition lautet dort in englischer Wiedergabe: „A unit is that by virtue of which each of the things that exist are called one.“

Aber: Der Satz wurde in mehreren Wissenschafts- und Lehrtraditionen grundlegend übernommen, also definitionsartig mit axiomatischem Gewicht, besonders dort, wo Monas/Unitas als Anfang der Zahllehre gilt.

1. Arithmetik / Zahlentheorie

Das ist der eigentliche Ort. Buch VII–IX der Elemente behandeln Zahlentheorie; Definition VII.1 bestimmt Monas, Definition VII.2 bestimmt Arithmos als Vielheit aus Monaden. Moderne Darstellungen geben VII.1 gewöhnlich als „A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one“ und VII.2 als „A number is a multitude composed of units“ wieder.

Hier wirkt der Satz wie ein Grundsatz der antiken Arithmetik:

Erst Monas, dann Arithmos.

Das ist der Punkt, an dem moderne Übersetzungen leicht verfälschen: Wenn sie Monas zu „Zahl 1“ machen, wird die antike Struktur umgedreht. In der griechischen Auffassung ist Arithmos gewöhnlich eine Vielheit von Monaden; die Monas selbst ist noch kein Arithmos. Die Stanford Encyclopedia fasst dies für Aristoteles und griechische Mathematik so: number/arithmos wird als „plurality of units“ verstanden; „one“ bzw. unit ist typischerweise nicht selbst number, sondern Anfang/Prinzip der Zahl.

2. Spätantike und neuplatonisch-pythagoreische Arithmetik

Der Satz begegnet nicht nur bei Euklid. Iamblichos nennt in seinem Kommentar zu Nikomachos eine Definition der Monas mit nahezu derselben Formulierung: καθ᾽ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. Er schreibt sie den „Neueren“ zu.

Dort wird die euklidische Arithmetik stärker philosophisch aufgeladen. Dann ist Monas nicht nur Recheneinheit, sondern Anfang, Einheitsprinzip, Ordnungsprinzip. Genau hier beginnt die Gefahr späterer Rückprojektion: Was bei Euklid noch knapp definitorisch ist, kann in pythagoreischer oder neuplatonischer Umgebung ontologisch gelesen werden.

3. Mittelalterliche Arithmetik / Quadrivium

Im lateinischen Mittelalter wurde der Satz in der arithmetischen Lehrtradition weitergeführt. In Tabellen zur mittelalterlichen Rezeption erscheinen Varianten wie:

Unitas est qua unaquaeque res una dicitur. Unitas est, qua dicitur res omnis una.

Solche Fassungen stehen bei der Überlieferung von Euklid, Jordanus, Campanus und verwandten arithmetischen Lehrtexten.

Das gehört zum Quadrivium: Arithmetik, Geometrie, Musik/Harmonik, Astronomie. Boethius und die mittelalterliche Lehrordnung machten Arithmetik zu einer Grundwissenschaft innerhalb dieser mathematischen Künste; die Ordnung des Quadriviums galt nicht nur als Schulordnung, sondern als Ordnung des Zugangs zu Wirklichkeit und Philosophie.

Hier wurde der Satz also nicht als einzelnes Axiom einer Fachwissenschaft übernommen, sondern als Grunddefinition der Arithmetik, auf der mittelalterliche Zahllehre, Proportionenlehre und damit auch Musiktheorie/Harmonik mittelbar aufbauen konnten.

4. Musiktheorie / Harmonik, aber nur mittelbar

In der antiken und mittelalterlichen Musiktheorie ist Zahl nicht Nebensache, sondern Grundlage der Intervall- und Proportionslehre. Aber: Ich würde nicht sagen, daß Euklid VII.1 in der Musiktheorie selbst als Axiom übernommen wurde.

Genauer:

Die Musiktheorie übernimmt nicht primär diesen Satz als eigenen Satz, sondern sie übernimmt die arithmetische Grundlage, in der Monas und Arithmos vorgeordnet sind.

Darum: mittelbare Wirkung über Arithmetik und Proportion, nicht direkter Musik-Lehrsatz.

5. Philosophie / Metaphysik / Ontologie

Hier wird es heikel. Der Satz kann wegen τῶν ὄντων — „der Seienden“ — philosophisch gelesen werden. Er sagt ja nicht nur „jedes Zählbare“, sondern „jedes der Seienden“. Dadurch ist er anschlussfähig an Fragen nach Einheit, Eines, Seiendem, Individuation, Prinzip des Zählens.

Bei Aristoteles und in der späteren Tradition ist die Verbindung von Monas, Arithmos, Maß und Einheit grundlegend; die Stanford Encyclopedia weist darauf hin, daß griechische Mathematiker Zahl als Vielheit von Monaden verstehen und daß das Eine / die Monas typischerweise Anfang oder Prinzip des Arithmos ist.

Aber auch hier gilt: Als metaphysisches Axiom im strengen Sinn wurde der euklidische Satz nicht einfach übernommen. Er wurde eher als Definition mit metaphysischer Anschlussfähigkeit verwendet.

Ergebnis

Für deine Untersuchung würde ich so formulieren:

Euklids Satz über die Monas ist formal keine Axiomatik, sondern eine Definition. In der Arithmetik wirkt er aber grundlegend, weil er die Monas vor den Arithmos setzt. In spätantiker pythagoreisch-neuplatonischer Arithmetik und mittelalterlicher Quadriviumslehre wurde er als Grunddefinition weitergeführt. In Musiktheorie, Astronomie und Metaphysik wirkt er mittelbar über Zahl, Proportion, Maß und Einheit. Eine Übersetzung, die daraus „Zahl 1“, „gewählte Einheit“ oder „Anzahl“ macht, greift der späteren Systembildung vor und verdeckt die ursprüngliche Reihenfolge: Monas → ein gesagt → Arithmos als Vielheit aus Monaden.

Für Haller heißt das: Sein Kommentar „durch ihre Wahl unterschieden von allen anderen Anzahlen“ ist gerade deshalb verdächtig, weil er eine spätere mathematische Operation — Wahl einer Einheit unter Anzahlen — in die erste euklidische Definition hineinträgt. Bei Euklid ist noch keine „Anzahl“ bestimmt; erst die nächste Definition bestimmt Arithmos.

Lehre vom Geraden und Ungeraden

Danke für all die Informationen Es ist ja auch anders herum, Euklid hat es als Axiom übernommen, er übernimmt die Lehre vom Geraden und Ungeraden der Pythagoräer. Wer wird als derjenige geführt, der diesen oder einen ähnlichen Satz gesagt oder verschriftet haben soll?

Ich prüfe hier nicht nur „wer hat es gesagt“, sondern auch, ob eine antike Quelle wirklich einen Namen nennt. Bei solchen Grunddefinitionen ist der Unterschied zwischen „pythagoreische Lehre“, „euklidische Redaktion“ und „spätere Zuschreibung“ entscheidend.

Ja, von der Traditionsrichtung her ist das anders herum zu sehen: Euklid setzt in Buch VII eine ältere arithmetisch-pythagoreische Begriffsordnung voraus. Die Loeb-Ausgabe stellt die Definitionen von Buch VII sogar unter “Pythagoräische Arithmetik” und merkt an, daß die dem Buch VII vorangestellten Definitionen „wholly Pythagorean in their outlook“ seien.

1. Der direkteste genannte Name: Pythagoras

Der Satz oder ein sehr nah verwandter Satz wird in der späteren antiken Überlieferung Pythagoras zugeschrieben.

Bei Sextus Empiricus, Adversus mathematicos X, 261 steht sinngemäß:

Pythagoras sagte, die Monas sei die Archē der Seienden, an deren Teilhabe jedes der Seienden ein gesagt wird.

Griechisch nach der überlieferten Stelle:

ὁ Πυθαγόρας ἀρχὴν ἔφησεν εἶναι τῶν ὄντων τὴν μονάδα, ἧς κατὰ μετοχὴν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.

Das ist dem euklidischen Satz sehr nahe:

Euklid: μονάς ἐστιν, καθ᾽ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. Sextus über Pythagoras: … τὴν μονάδα, ἧς κατὰ μετοχὴν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.

Die entscheidenden Unterschiede:

Euklid	Sextus über Pythagoras
Monas ist das, gemäß welcher …	Pythagoras sagte, die Monas sei Archē der Seienden …
καθ᾽ ἣν = gemäß welcher	ἧς κατὰ μετοχήν = durch Teilhabe an welcher
definitorisch knapp	metaphysisch stärker aufgeladen
keine ausdrückliche Archē-Lehre	Monas als ἀρχή τῶν ὄντων

Für unsere Arbeit heißt das:

Der nächste namentlich zugeschriebene Satz wird Pythagoras zugeschrieben, aber in einer späteren, stärker platonisierenden Form.

2. Historische Vorsicht: Pythagoras hat nichts erhalten Schriftliches hinterlassen

Die Zuschreibung an Pythagoras darf nicht als sicherer Originalsatz des historischen Pythagoras behandelt werden. Die Stanford Encyclopedia hält fest: Pythagoras selbst schrieb nichts, und unser Wissen über seine Ansichten beruht auf Berichten anderer; außerdem fehlt ein ausführlicher zeitgenössischer Bericht.

Gerade die spätere Überlieferung macht aus Pythagoras oft den Ursprung fast aller wahren Philosophie. Die SEP weist ausdrücklich darauf hin, daß Pythagoras in späteren Quellen so dargestellt wurde, als habe er Platons spätere Metaphysik von dem Einen und der unbestimmten Dyade bereits vorweggenommen.

Das ist für Sextus wichtig: Die Fassung mit μετοχή und ἀρχή klingt nicht mehr rein arithmetisch, sondern schon platonisch/metaphysisch.

3. Burkerts kritische Einordnung

Walter Burkert ordnet die Sextus-Stelle als spätere „pythagoreische“ Tradition ein. Er weist darauf hin, daß Sextus Math. 10.261 die Formel enthält: die Monas, „durch Teilhabe an welcher jedes Ding ein genannt wird“. Burkert sagt zugleich, daß das Modell dieser späteren Fassung in Euklids Definition zu finden sei: „monad: that according to which each existing thing is called one“. Die späteren Quellen führen dann zusätzlich den Begriff Teilhabe ein.

Das ist für deine Frage sehr wichtig:

Die spätere Überlieferung nennt Pythagoras.

Die sichere Textgestalt liegt bei Euklid.

Die vermittelnde spätantike Deutung fügt μετοχή und ἀρχή hinzu.

Also: Pythagoras wird geführt, aber nicht als sicherer Schriftzeuge.

4. Ein zweiter wichtiger Name: Thymaridas

Für eine ähnliche Monas-Definition wird außerdem Thymaridas genannt, ein alter Pythagoreer, meist mit Paros verbunden. Iamblichos berichtet, Thymaridas habe die Monas als περαίνουσα ποσότης bestimmt, also als begrenzende / zu Ende bringende Quantität. Die SEP nennt diese Stelle ausdrücklich: Thymaridas’ Definition der Monas als “limiting quantity” bei Iamblichos, In Nicomachi arithmeticam introductionem 11 und 27.

Das ist nicht derselbe Satz wie bei Euklid, aber sachlich verwandt:

Monas ist nicht einfach „Zahl 1“, sondern etwas Grenzendes / Vereinzelndes / Einheitsgebendes, von dem her Arithmos erst möglich wird.

Thymaridas ist daher für deinen Zusammenhang besonders brauchbar, weil Haller mit „gewählter Einheit“ oder „Anzahl“ gerade eine andere Richtung einschlägt. Bei Thymaridas ist Monas eher Grenze der Quantität, nicht beliebig gewählte Recheneinheit.

5. Archytas und Philolaos als terminologische Zeugen

Ein weiterer wichtiger Hinweis kommt über Theon von Smyrna: Dort heißt es, Archytas und Philolaos gebrauchten τὸ ἕν und μονάς ohne Unterschied, also sie nannten das Ein Monas und die Monas ein.

Das belegt nicht unseren Satz, aber es zeigt, daß in der pythagoreischen Tradition ἕν und μονάς eng zusammenstanden. Damit wird verständlich, warum Euklid die Monas gerade so definiert:

Monas ist das, gemäß welcher jedes Seiende ein gesagt wird.

Ergebnis

Der beste Befund ist:

1. Als direkter Name für den ähnlichen Satz: Pythagoras, bei Sextus Empiricus, aber in später, platonisierender Form.
2. Als namentlicher Pythagoreer mit verwandter Monas-Definition: Thymaridas, bei Iamblichos: Monas als περαίνουσα ποσότης, „begrenzende Quantität“.
3. Als frühe pythagoreische Terminologiezeugen: Archytas und Philolaos, bei Theon: τὸ ἕν und μονάς werden eng bzw. unterschiedslos gebraucht.

Für unsere Bewertung von Euklid VII, Definition 1 würde ich daher formulieren:

Euklid übernimmt hier eine pythagoreische Grundbestimmung der Monas. Der nächstverwandte namentlich zugeschriebene Satz wird Pythagoras zugeschrieben, ist aber nur in späterer doxographischer, bereits platonisierender Form bei Sextus Empiricus greifbar. Für eine ältere pythagoreische Fachbestimmung der Monas ist Thymaridas wichtig, der die Monas als begrenzende Quantität bestimmt haben soll.

2. Erklärung

Danke für die Recherche, wir bleiben also bei Monas, sollte es erneut in einer Erklärung (Definition) verwendet werden.

2. Erklärung:

ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.

Führe das Verfahren wie zuvor aus. Im Anschluß gebe ich dann wieder die Übersetzungen Heiberg/Haller.

2. Erklärung

ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.

A. Umschrift

arithmòs dè tò ek monádōn synkeímenon plē̂thos.

B. Fachbegriffe

ἀριθμός — Arithmos

Wird nicht mit „Zahl“ übersetzt. Hier wird Arithmos ausdrücklich erst nach Monas bestimmt.

δὲ — aber / jedoch / und nun

Das δὲ verbindet Erklärung 2 mit Erklärung 1. Es ist kein harter Gegensatz, aber es markiert einen Übergang:

Monas ist das, gemäß welcher jedes Seiende ein gesagt wird; Arithmos aber ist ein aus Monaden bestehendes Plethos.

μονάδων — von / aus Monaden

Genitiv Plural von Monas. Wichtig: Arithmos entsteht nicht aus einem unbestimmten Stoff, sondern ἐκ μονάδων, aus Monaden.

συγκείμενον — zusammenliegend / zusammengesetzt / bestehend

Von σύγκειμαι: zusammenliegen, zusammengesetzt sein, zusammengefügt sein.

Für die erste Arbeitsübersetzung ist „zusammenliegend“ besonders nah am griechischen Bild. Mathematisch ist gemeint: ein Plethos, das aus Monaden besteht.

πλῆθος — Plethos

Nicht einfach modern „Menge“ im mengentheoretischen Sinn. Plethos meint Vielheit, Vielzahl, Menge im vormodernen Sinn: ein Mehreres. Da der Begriff hier definitorisch wichtig ist, würde ich ihn zunächst stehen lassen.

C. Erste Arbeitsübersetzung

Arithmos aber (ist) das aus Monaden zusammenliegende Plethos.

Etwas weniger roh, aber immer noch nah:

Arithmos aber (ist) das aus Monaden bestehende Plethos.

Für unsere Arbeitsweise würde ich die erste Fassung bevorzugen, weil συγκείμενον darin sichtbarer bleibt.

D. Anmerkung zur mathematischen Struktur

Diese zweite Erklärung ist die unmittelbare Fortsetzung der ersten.

Erklärung 1:

Monas ist das, gemäß welcher jedes Seiende ein gesagt wird.

Erklärung 2:

Arithmos ist ein Plethos aus Monaden.

Damit ist die Reihenfolge:

Monas → mehrere Monaden → Plethos → Arithmos

Wichtig ist: Monas selbst wird hier nicht als Arithmos bestimmt. Arithmos beginnt erst dort, wo ein Plethos aus Monaden vorliegt. Das ist der Grund, weshalb eine Übersetzung wie „Zahl ist eine aus Einheiten bestehende Menge“ zwar ungefähr verständlich ist, aber bereits mehrere Verschiebungen erzeugt:

• Arithmos wird zu „Zahl“.
• Monaden werden zu „Einheiten“.
• Plethos wird leicht zu moderner „Menge“.
• συγκείμενον verliert das Bild des Zusammenliegens / Zusammengesetztseins.

Die griechische Aussage denkt also nicht von einer abstrakten modernen Zahl aus, sondern von einer Vielheit, die aus Monaden zusammenliegt.

Entwurf 2. Erklärung

Wie wäre es mit Mannigfaltigkeit für Plethos?

Mein Entwurf: Arithmos (Zahlenordnung) aber die aus Monaden (Einzelheiten) zusammenliegede Mannigfatigkeit.

Heiberg: Numeros autem est multido ex unitatibus composita.

Haller: Eine Zahl bezeichnet die Anzahl der Einheiten, aus denen etwas besteht.

Anmerkung seitens Haller: Eine Zahl, Arithmos (Ὰριθμός), bezeichnet eine Anzahl ohne die Nennung des Gezählten. Die Zahl der Einheit ist Eins.

Jetzt geht es mir wieder darum die durch die Übersetzung gegebenenfalls entstehende Verfälschung zu untersuchen und ob von der ursprünglichen Bedeutung der Sätze etwas durch die Übersetzung verloren geht. Deine Aufgabe ist dies nun zu untersuchen und mir darzulegen. Besonders fragwürdig sind Hallers Bestrebungen späteren Definitionen vorzugreifen oder durch Wortwahl Begriffe in die Antike zu bringen, die derzeit nicht bekannt waren.

Bewerte auch meinen Entwurf.

Analyse 2. Erklärung

Ich prüfe wieder vier Ebenen getrennt: griechische Satzstruktur, mögliche Bedeutungen von πλῆθος, deinen Entwurf, dann Heiberg/Haller. Besonders wichtig ist hier der Unterschied zwischen Arithmos als zusammengesetztes Plethosund „Zahl als Anzahl von Einheiten“.

1. Zu πλῆθος: „Mannigfaltigkeit“?

Mannigfaltigkeit ist möglich, aber nicht ungefährlich.

πλῆθος bedeutet im Grundfeld: Vielheit, Menge, Anzahl, Fülle, große Zahl. LSJ gibt für πλῆθος u. a. „great number, multitude“ und im attischen Gebrauch auch „quantity or amount“ an.

Für Euklid VII.2 ist der entscheidende Sinn: ein Mehreres / eine Vielheit, die aus Monaden besteht. In der üblichen englischen Wiedergabe steht daher: „A number is a multitude composed of units.“

Mannigfaltigkeit hat im Deutschen zwei Seiten:

Wort	Vorteil	Nachteil
Vielheit	sehr nah an πλῆθος; zeigt das „Mehr-als-eins“	etwas nüchtern
Mannigfaltigkeit	zeigt ein Zusammengesetztes / ein Mehrfaches	kann qualitative Verschiedenheit oder moderne mathematische „Mannigfaltigkeit“ nahelegen
Menge	alltagssprachlich möglich	moderne Mengenlehre kann hineinklingen
Anzahl	quantitativ verständlich	bei Euklid gefährlich, weil Haller gerade in diese Richtung verengt

Für unsere Arbeitsweise würde ich Plethos zunächst stehen lassen. Wenn du ein deutsches Begleitwort willst, wäre Vielheit genauer als Mannigfaltigkeit.

Also eher:

Plethos (Vielheit)

als:

Plethos (Mannigfaltigkeit)

Nicht weil „Mannigfaltigkeit“ falsch ist, sondern weil es zu reich ist: Es kann Verschiedenartigkeit, Ordnung, Struktur oder später sogar „manifold“ anklingen lassen. πλῆθος sagt hier zuerst: ein Mehreres aus Monaden.

2. Bewertung deines Entwurfs

Dein Entwurf:

Arithmos (Zahlenordnung) aber die aus Monaden (Einzelheiten) zusammenliegede Mannigfatigkeit.

Ich würde ihn so bewerten:

Was gut ist

„Arithmos“ bleibt stehen.

Das ist richtig, weil ἀριθμός hier nicht vorschnell mit moderner „Zahl“ gleichgesetzt werden soll.

„aus Monaden“ bleibt stehen.

Das ist ebenfalls richtig, weil Definition 2 unmittelbar an Definition 1 anschließt. Monas wird nicht zu „Einheit“ geglättet.

„zusammenliegend“ trifft συγκείμενον gut.

Das griechische Wort enthält tatsächlich das Bild des Zusammenliegens / Zusammengesetztseins. Heibergs compositaist sachlich verständlich, aber „zusammenliegend“ läßt den griechischen Bau sichtbarer.

Was ich ändern würde

„Zahlenordnung“ würde ich nicht in Klammern setzen.

Der griechische Satz sagt nicht „Ordnung“. Er sagt: Arithmos ist ein Plethos aus Monaden. „Zahlenordnung“ bringt bereits Struktur, Ordnung, Reihung oder System hinein. Das kann später wichtig werden, steht aber hier noch nicht.

„Einzelheiten“ für Monaden ist ebenfalls gefährlich.

„Einzelheit“ klingt im Deutschen oft nach „Detail“ oder „Besonderheit“. Monas ist aber nicht einfach ein Detail, sondern dasjenige, gemäß welchem etwas ein gesagt wird. Wenn du ein deutsches Hilfswort willst, wäre eher Einzelnesoder Eines möglich, aber auch das würde ich nur vorsichtig verwenden.

„Mannigfaltigkeit“ ist möglich, aber ich würde es nicht als Hauptwort für πλῆθος nehmen.

Besser wäre Plethos (Vielheit).

Meine korrigierte Fassung deines Entwurfs wäre:

Arithmos aber (ist) das aus Monaden zusammenliegende Plethos.

Mit deutschem Hilfswort:

Arithmos aber (ist) das aus Monaden zusammenliegende Plethos (Vielheit).

Oder, wenn du unbedingt „Mannigfaltigkeit“ verwenden willst:

Arithmos aber (ist) die aus Monaden zusammenliegende Mannigfaltigkeit.

Diese letzte Fassung ist brauchbar, aber sie entfernt sich stärker vom griechischen Fachwort πλῆθος.

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3. Heiberg

Heiberg:

Numerus autem est multitudo ex unitatibus composita.

Das ist im lateinischen Rahmen relativ nah.

Griechisch	Heiberg	Bewertung
ἀριθμός	numerus	verständlich, aber Arithmos wird latinisiert
δὲ	autem	gut: Übergang / „aber“
πλῆθος	multitudo	recht gut; „Vielheit“
ἐκ μονάδων	ex unitatibus	sachlich nahe, aber Monaden werden zu unitates
συγκείμενον	composita	sachlich treffend, aber das Bild des Zusammenliegens geht verloren

Heibergs größte Verschiebung liegt wie bei Erklärung 1 in der Latinierung der Fachbegriffe:

• Arithmos wird numerus.
• Monaden werden unitates.
• Plethos wird multitudo.

Das ist für eine lateinische Übersetzung normal und nicht grob verfälschend. Aber für deine Untersuchung geht etwas verloren: Die griechische Begriffskette

Monas → Monaden → Plethos → Arithmos

wird zur lateinischen Begriffskette

unitas → unitates → multitudo → numerus

Das ist verständlich, aber nicht mehr derselbe Denkraum. Besonders unitas kann später leicht als abstrakte „Einheit“ oder Recheneinheit gelesen werden, während Monas bei Euklid noch an die erste Erklärung gebunden ist: das, gemäß welcher jedes Seiende ein gesagt wird.

Urteil zu Heiberg:

Sachlich brauchbar, aber für unsere Arbeitsweise zu glatt. Er verfälscht nicht grob, doch er verdeckt das griechische Verhältnis von Monas und Arithmos.

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4. Haller

Haller:

Eine Zahl bezeichnet die Anzahl der Einheiten, aus denen etwas besteht.

Hallers Anmerkung:

Eine Zahl, Arithmos (Ὰριθμός), bezeichnet eine Anzahl ohne die Nennung des Gezählten. Die Zahl der Einheit ist Eins.

Hier ist die Verschiebung viel stärker.

4.1 „Eine Zahl bezeichnet …“

Im Griechischen steht nicht:

Arithmos bezeichnet …

sondern:

Arithmos ist …

Also nicht ein Zeichenverhältnis, sondern eine Seins-/Begriffsbestimmung:

ἀριθμὸς … τὸ … πλῆθος Arithmos aber (ist) das Plethos …

Haller macht daraus Semantik:

Eine Zahl bezeichnet eine Anzahl.

Das ist eine moderne oder zumindest spätere sprachlogische Umformung. Euklid definiert nicht das Wort „Zahl“ als Bezeichner, sondern den Arithmos als ein aus Monaden zusammenliegendes Plethos.

4.2 „Anzahl der Einheiten“ verengt Plethos

πλῆθος ist nicht einfach „Anzahl“.

„Anzahl“ ist bereits das Ergebnis einer Zählung oder Abstraktion. πλῆθος meint hier eher die vorhandene Vielheit selbst: das aus Monaden Zusammengesetzte.

Haller verschiebt:

aus Monaden zusammenliegendes Plethos

zu:

Anzahl der Einheiten

Das ist nicht gleichgültig. Bei Euklid ist Arithmos nicht bloß ein abstrakter Wert, der etwas zählt, sondern ein Plethos, das aus Monaden besteht.

4.3 „aus denen etwas besteht“ fügt ein fremdes Träger-Ding ein

Im griechischen Satz steht nicht „etwas“, aus dem oder aus dessen Einheiten eine Zahl gebildet würde.

Der Satz lautet schlicht:

Arithmos ist das aus Monaden zusammenliegende Plethos.

Haller schreibt:

„aus denen etwas besteht“

Dadurch erscheint ein gezähltes Objekt oder ein zusammengesetztes Ding im Hintergrund. Das steht in der Definition nicht. Die Definition spricht nicht von einem Ding, das aus Einheiten besteht, sondern vom Arithmos selbst als Plethos aus Monaden.

4.4 „ohne die Nennung des Gezählten“ ist eine spätere Abstraktionslehre

Hallers Kommentar:

„bezeichnet eine Anzahl ohne die Nennung des Gezählten“

Das kann aus heutiger Sicht verständlich klingen: „drei“ ohne „drei Pferde“. Aber dieser Gedanke steht nicht in Euklid VII.2. Euklid sagt nicht:

Arithmos ist eine abstrakte Anzahl, die vom Gezählten abgelöst ist.

Er sagt:

Arithmos ist ein Plethos aus Monaden.

Hallers Kommentar bringt eine Theorie des abstrakten Zahlworts hinein. Das ist nicht notwendig falsch als spätere Erklärung, aber es ist nicht die griechische Definition selbst.

4.5 „Die Zahl der Einheit ist Eins“ ist besonders problematisch

Das ist der stärkste Eingriff.

Denn bei Euklid ist gerade nicht gesagt:

Die Monas hat die Zahl Eins.

Sondern:

1. Monas wird zuerst bestimmt.
2. Arithmos wird danach als Plethos aus Monaden bestimmt.

Wenn Haller sagt:

„Die Zahl der Einheit ist Eins“

dann macht er aus der Monas bereits etwas, dem eine Zahl zukommt. Damit rückt er die Monas in den Bereich des Arithmos hinein. Das ist gegen die euklidische Reihenfolge. Für die antike arithmetische Struktur ist entscheidend:

Monas ist nicht einfach der Arithmos 1. Arithmos entsteht erst als Plethos aus Monaden.

Haller greift hier also nicht nur voraus, sondern dreht die begriffliche Abfolge teilweise um.

5. Hauptverlust bei Haller

Der griechische Satz hat diese Form:

Arithmos

aber

das aus Monaden zusammenliegende

Plethos.

Haller macht daraus:

Eine Zahl

bezeichnet

die Anzahl

der Einheiten

aus denen etwas besteht.

Damit gehen mehrere Dinge verloren:

1. Arithmos als Fachwort wird zu moderner „Zahl“.
2. Plethos wird zu „Anzahl“.
3. Monaden werden zu „Einheiten“.
4. συγκείμενον verliert das Bild des Zusammenliegens.
5. Die Definition wird von „ist“ zu „bezeichnet“ verschoben.
6. Ein nicht genannter Träger, „etwas“, wird eingeführt.
7. Die Monas wird durch „Die Zahl der Einheit ist Eins“ zu früh als Zahl behandelt.

Das ist nicht mehr nur Übersetzung, sondern deutende Neufassung.

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6. Ergebnis

Für deine Arbeitsfassung würde ich festhalten:

Arithmos aber (ist) das aus Monaden zusammenliegende Plethos.

Mit erklärendem Hilfswort:

Arithmos aber (ist) das aus Monaden zusammenliegende Plethos (Vielheit).

Bewertung der drei Fassungen:

Fassung	Bewertung
Dein Entwurf	Grundrichtung richtig: Arithmos und Monaden bleiben erhalten; „zusammenliegend“ ist gut. Problematisch sind „Zahlenordnung“, „Einzelheiten“ und etwas auch „Mannigfaltigkeit“.
Heiberg	Relativ nah, aber latinisiert und glättet: numerus, unitates, multitudo, composita.
Haller	Starke Umdeutung: „bezeichnet“, „Anzahl“, „Einheiten“, „etwas besteht“, „Zahl der Einheit ist Eins“ bringen spätere oder moderne Denkformen in die Definition.

Die wichtigste Sachlinie bleibt:

Bei Euklid ist Arithmos nicht zuerst ein abstraktes Zahlzeichen und nicht eine bloße Anzahl, sondern ein Plethos, das aus Monaden zusammenliegt.

Zwischenschritt

Gespräch:Übersetzung Thelogoumenon Arithmeticae Monaden