Gnomonzahl
In der pythagoreischen Arithmetik ist ein Gnomon (griechisch gnomon [γνωμων] für „Erkenntniswerkzeug“ oder „Winkelmaß“) das Stück, das zu einer Zahl (in Form einer Punktfigur) hinzugefügt werden muss, um sie in die nächstgrößere Zahl derselben Form zu verwandeln.
Hier ist die Erklärung im Kontext der figurierte Zahlen, die in deinem Text erwähnt werden:
Die Pythagoreer stellten Zahlen als Anordnungen von Punkten (Steinchen) dar. Ein Gnomon ist die hakenförmige Figur, die um eine bestehende Anordnung gelegt wird.
- Das Prinzip: Ein Gnomon ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Figurenzahlen.
- Diese Betrachtungsweise erlaubte es den Pythagoreern, komplexe zahlentheoretische Zusammenhänge rein visuell durch das Legen von Rechensteinen (ψη~φoι) zu beweisen, ohne auf die heute übliche abstrakte Algebra angewiesen zu sein.
- War Ihnen bewusst, dass das Wort "Gnomon" auch für den Zeiger einer Sonnenuhr verwendet wird, weil dieser das Wissen über die Zeit „erkennt“ oder „anzeigt“?
- Bei Quadratzahlen (αριϑμoιˊ τϵτραˊγωνoι):
- Die Gnomone der Rechteckszahlen (oder länglichen Zahlen) sind die geraden Zahlen (αριϑμoιˊ αˊρτιoι).
- Wenn du mit einer 1 startest (einem Punkt) und die nächstgrößere Quadratzahl (4) bilden willst, musst du 3 Punkte in Winkelform hinzufügen. Diese 3 ist der erste Gnomon.
- Fortsetzung: Um von 4 auf 9 zu kommen, fügst du 5 Punkte hinzu. Die Folge der Gnomone für Quadratzahlen sind also die ungeraden Zahlen: 1, 3, 5, 7, ....
- Geometrische Form: Der Name rührt daher, dass die hinzugefügten Punktmengen oft die Form eines rechten Winkels oder "L-Stücks" annahmen, was dem Aussehen eines antiken Winkelmaßes entsprach.
Durch das Studium der Gnomone entdeckten die Pythagoreer fundamentale Zusammenhänge zwischen Arithmetik und Geometrie:
- Summe der Ungeraden: Sie erkannten visuell, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ergibt (z. B. 1+3+5=9).
- Rechteckszahlen (Heteromeke): Fügt man Gnomone zu einer Figur hinzu, die mit 1×2 Punkten beginnt, entstehen Rechteckszahlen. Hier sind die Gnomone die geraden Zahlen.
Der Name leitet sich ursprünglich vom Zeiger der Sonnenuhr ab, der ebenfalls im rechten Winkel steht. In der Geometrie (wie bei Euklid, Buch II) bezeichnet der Gnomon die Fläche, die übrig bleibt, wenn man aus einer Ecke eines Parallelogramms ein kleineres, ähnliches Parallelogramm entfernt.
Für Van der Waerden und Becker ist dies ein Paradebeispiel dafür, wie die Pythagoreer mathematische Sätze nicht durch abstrakte Formeln, sondern durch die Struktur der Zahlen (als μαϑηματα) bewiesen