Goldener Schnitt/Vorkommen in der Natur

Biologie

Blattstand einer Pflanze mit einem Blattabstand nach dem Goldenen Winkel

Das vielleicht bekannteste Beispiel für Verhältnisse des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel – wie nebenstehend in der vereinfachten Draufsicht dargestellt – zwischen einem ersten und dem jeweils nächsten gesprossten Blatt den Vollkreis (360°) im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Im Bild handelt es sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°. Die so entstehenden Strukturen korrespondieren mit der Fibonacci-Folge und werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Hierbei findet sich das Muster der tieferen oder innersten Strukturebene in den höheren Ebenen wieder. Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadeln an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten sowie die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen – aber auch sehr vieler weiterer Organismen – ihre Strukturen robust, ökonomisch und ästhetisch ansprechend zu gestalten. Dies ist der Fall bei den auf entsprechend proportionierte Blüten bevorzugt reagierenden Insekten; jedoch ist bekannt, dass Schönheit im Sinne des Goldenen Schnitts auch beim Menschen ein Merkmal der sexuellen Attraktion darstellt und das körperliche Leistungsvermögen unter vielseitiger Beanspruchung (evolutive Fitness) stark begünstigt. Vgl. Leonardo da Vincis bekannte Skizze eines Athleten.

Es wird vermutet, dass das Genom der Lebewesen für die Knospungsfolge ihrer Gliedmaßen, Äste oder Blätter besondere Wachstumshemmer (Inhibitoren) erzeugt, die vom Kernbereich des jeweiligen Organismus aus diffundieren. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Sinnesorgan oder das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des jeweils aktuellen Umfangs, an dem die Konzentration des Inhibitators minimal ist. (Anstelle der Wachstumshemmer werden auch andere Optionen diskutiert, z. B. die analoge Steuerung der Vorgänge durch Nährstoff-Konzentrationen.) So ergibt sich ein bestimmter Winkel zur vorangegangenen Knospung. Würde dieser Winkel den Vollkreis (Umfang) im Verhältnis einer rationalen Zahl $\frac{m}{n}$ teilen, dann würde etwa ein Blatt sehr bald in genau die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige $n$ Blätter zuvor. Die irrationalste von allen Zahlen ist nun aber gerade die Goldene Zahl (siehe oben).

Der Nutzen des Wachstums gemäß der Goldenen Zahl am Beispiel vieler Pflanzen besteht deswegen u. a. darin, dass auf diese Weise gelingt, das Sonnenlicht optimal zu nutzen, denn die maximale Irrationalität dieser Zahl führt zu einer Wachstumsordnung, bei der sich die Blattflächen so selten als überhaupt möglich den Zugang zum Licht gegenseitig versperren. Ähnliches erwägte bereits Leonardo da Vinci. Weitere Annahmen beziehen sich auf die mechanische Stabilität der Strukturen (hier führt die maximale Irrationalität der Zahl zu einer Minimierung ggf. zerstörerisch wirkender Resonanzen) und auf die Effizienz des Transports der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit abweichenden Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet (der mit einer anderen Variante der Fibonacci-Folge korrespondiert als 137,5°). In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich verschiedene Muster mittels gezielt ausgetauschter Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang sogenannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinanderfolgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand $n$, wobei $n$ eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das $n$-Fache des Goldenen Winkels $2\pi -\frac{2\pi }{\mathrm{\Phi }}\approx \mathrm{137,}{5}^{\circ }$ ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

$n\cdot 360^{\circ }\cdot (1-\frac{1}{\mathrm{\Phi }})\approx n\cdot (1-\frac{m}{n})\cdot 360^{\circ }=(n-m)\cdot 360^{\circ }=k\cdot 360^{\circ }$,

wobei $m$ die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu $n$ und $k$ die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu $m$ ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind $n$ Spiralen zu sehen. Ist $\frac{n}{m}$ größer als $\mathrm{\Phi }$, so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

Berechneter Blütenstand mit 1000 Früchten im Goldenen Winkel – Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen (die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind) in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen. Dort sitzen Blüten, aus denen später Früchte entstehen, auf der stark gestauchten, scheibenförmigen Blütenstandsachse dicht nebeneinander, wobei jede einzelne Blüte einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen werden 34 und 55 Spiralen gezählt, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.

Der Goldene Schnitt ist außerdem in radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar wie bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Hecken-Rose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in seinem Verhältnis. Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.

Goldener Schnitt im Efeublatt

Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel. Im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnittes teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen der Verhältnisse im 20-%-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.

Bahnresonanzen

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit $2:5$ oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit $1:2:4$. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass noble Verhältnisse, wie sie im Fall $1:\mathrm{\Phi }$ vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.

Die Cassini-Teilungen in den Saturnringen zeigen, was passiert, wenn statt nobler Zahlen einfache rationale Zahlen vorherrschen: Die Gesteins- und Eisteilchen, aus denen die Ringe bestehen und deren Umlaufperioden in einem einfachen rationalen Verhältnis zu den Perioden der Saturnmonde stehen, werden durch die Resonanzeffekte zwischen den entsprechenden Umlaufperioden einfach aus ihrer Bahn geworfen. In der Tat hängt die Stabilität des Sonnensystems davon ab, dass zumindest einige der Bahnperiodenverhältnisse nobel sind.

Schwarze Löcher

Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche, wie Schwarze Löcher oder die Sonne, haben aufgrund ihrer Eigengravitation die paradoxe Eigenschaft, heißer zu werden, wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität). Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt. In einer $d$-dimensionalen Raumzeit kommt dabei eine Metrik $\left(\begin{array}{cc}d-3& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ins Spiel, deren Eigenwerte $\mathrm{\Phi }$ für $d=4$ sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

$\left|\left(\begin{array}{cc}1-\mathrm{\Phi }& 1\\ 1& -\mathrm{\Phi }\end{array}\right)\right|={\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-1$

ergeben.

Kristallstrukturen

Quasikristalle

Der Goldene Schnitt tritt bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden. Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie gefunden wurden. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Für die Entdeckung von Quasikristallen wurde Shechtman 2011 der Nobelpreis für Chemie verliehen.

Kobalt-Niobat

Im atomaren Aufbau des Kristalls aus Kobalt-Niobat entdeckten Forscher des Helmholtz-Zentrums Berlin für Materialien und Energie (HZB) Symmetrieeigenschaften erstmals in fester Materie, die auch den Goldenen Schnitt kennzeichnen (veröffentlicht in der Zeitschrift Science, Januar 2010). Für Untersuchungen der Quanteneigenschaften, sprich Verhalten atomarer Teilchen in der Quantenwelt nach Heisenbergs Unschärferelation, findet Kobalt-Niobat Verwendung. Ausschlaggebend dafür sind insbesondere, die auf besondere Weise angeordneten atomaren Bestandteile sowie die magnetischen Eigenschaften des Kristalls. Dies bedeutet, hervorgerufen durch den im Elektron vorhandenen Eigenimpuls (Spin), bilden in diesem Kristall die aneinandergereihten Atome eine sogenannte Spinkette mit der Wirkung eines dünnen Stabmagnets. Wirkt nun ein Magnetfeld rechtwinklig auf die Spinkette, geht sie in einen neuen Zustand über. Physiker stellen sich diesen Zustand als fraktales Muster vor.

Als die Forscher dies als Modell für die Untersuchung des Festkörpermagnetismus nutzten, machten sie eine überraschende Entdeckung: Die Wechselwirkung, die benachbarte Spinketten miteinander eingehen, entspricht der Schwingung einer Gitarrensaite, deren ersten beiden Resonanzfrequenzen im Verhältnis $\mathrm{1,618}\dots$, zueinander stehen. „Was genau dem Goldenen Schnitt entspricht“, so Radu Coldea, Leiter des über zehn Jahre laufenden internationalen Projektes.