Goldener Schnitt/Weitere mathematische Eigenschaften

Algebraische Zahlentheorie

Der Goldene Schnitt ist als Nullstelle des Polynoms $X^2-X-1$ eine algebraische Zahl. Weil das Polynom normiert ist und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, ist der Goldene Schnitt sogar eine algebraisch ganze Zahl. Es sei $K:=\mathbb{Q}(\mathrm{\Phi })=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$, dann ist $K/\mathbb{Q}$ eine Körpererweiterung von Grad 2. Damit ist $K$ ein quadratischer Zahlkörper. Es ist der reell-quadratische Zahlkörper kleinster Diskriminante, nämlich 5 (der reell-quadratische Zahlkörper mit nächstgrößerer Diskriminante ist $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ mit Diskriminante 8). Es sei ${𝒪}_K$ der zugehörige Ganzheitsring. Weil $\mathrm{\Phi }$ ganz ist, gilt $\mathrm{\Phi }\in {𝒪}_K$, aber mehr als das: Wegen

$N_{K/\mathbb{Q}}(\mathrm{\Phi })=\mathrm{\Phi }{\mathrm{\Phi }}^{\prime }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{1-5}{4}=-1\in {\mathbb{Z}}^{\times }$

ist der Goldene Schnitt sogar Einheit des Ganzheitsrings ${𝒪}_K$. Sein multiplikativ Inverses ist $-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\mathrm{\Phi }-1$. Dies lässt sich algebraisch allein durch Kenntnis des Minimalpolynoms $X^2-X-1$ zeigen: $\mathrm{\Phi }(\mathrm{\Phi }-1)={\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-({\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-1)=1$ Jedoch ist der Goldene Schnitt nicht nur eine Einheit des Ganzheitsrings ${𝒪}_K$, sondern sogar Fundamentaleinheit des Ganzheitsrings. Das bedeutet, jedes Element aus ${𝒪}_K^{\times }$ ist von der Form $\pm {\mathrm{\Phi }}^n$ mit $n\in \mathbb{Z}$. Darüber hinaus bilden $1,\mathrm{\Phi }\in {𝒪}_K$ eine $\mathbb{Z}$-Basis von ${𝒪}_K$. Das heißt, jedes Element aus ${𝒪}_K$ lässt sich eindeutig als $a+b\mathrm{\Phi }$ mit $a,b\in \mathbb{Z}$ schreiben. Es bildet auch $1,{\mathrm{\Phi }}^2\in {𝒪}_K$ eine $\mathbb{Z}$-Basis von ${𝒪}_K$. Dabei ist ${\mathrm{\Phi }}^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

Kettenwurzel

Aus ${\mathrm{\Phi }}^2=1+\mathrm{\Phi }$ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:

$\mathrm{\Phi }=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots }}}}$

Setzt man also ${\mathrm{\Phi }}_0:=1$ und ${\mathrm{\Phi }}_n:=\sqrt{1+{\mathrm{\Phi }}_{n-1}}$ mit $n\ge 1$, so gilt

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{\Phi }}_n=\mathrm{\Phi }$.

Hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit gilt

$\mathrm{\Phi }-{\mathrm{\Phi }}_n\sim \frac{2C}{(2\mathrm{\Phi }{)}^n},n\to \mathrm{\infty }$, wobei $C=\mathrm{1,0986419643}\dots$. Es gilt die exakte Formel

$C=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Phi }+{\mathrm{\Phi }}_n}$.

Sie kann auch implizit charakterisiert werden. Es bezeichne $F$ die für $|x|<{\mathrm{\Phi }}^2$ analytische Funktion, so dass die Differentialgleichung

$F(x)=2\mathrm{\Phi }F(\mathrm{\Phi }-\sqrt{{\mathrm{\Phi }}^2-x})$

sowie $F(0)=0$ und $F^{\prime }(0)=1$ erfüllt ist. Dann gilt $C=\mathrm{\Phi }F\left(\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\right)$.

Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen

Aus der Trigonometrie folgt unter anderem

$\mathrm{\Phi }=2\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)=2\sin \left(\frac{3\pi }{10}\right)$

und

$\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=2\sin \left(\frac{\pi }{10}\right)=2\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)$,

sowie

$\sqrt{3-\mathrm{\Phi }}=2\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$.

Es ist $\frac{\pi }{5}$ der volle Spitzwinkel und $\frac{3\pi }{10}$ die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl $\pi$ für den Kreis. Ein weiterer Zusammenhang zur Kreiszahl $\pi$ ergibt sich über den Arkustangens, der Umkehrfunktion des Tangens aus der Trigonometrie. Es gilt

$\pi =2(\arctan ({\mathrm{\Phi }}^5)+\arctan \left(\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^5}\right))=6\arctan \left(\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\right)-2\arctan \left(\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^5}\right)$.

Der Goldene Schnitt lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrücken:

${\mathrm{\Phi }}^{\pm 1}=e^{\mathrm{arsinh}(\pm \frac{1}{2})}$

Unendliche Reihen

Einsetzen von $q=\frac{1}{\mathrm{\Phi }}$ in die für $|q|<1$ gültige geometrische Reihenformel ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^k=\frac{q}{1-q}$ ergibt:

$\mathrm{\Phi }=\frac{\frac{1}{\mathrm{\Phi }}}{1-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}^k}$.

Es gilt zudem

$\frac{2\log (\mathrm{\Phi })}{\sqrt{5}}=(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9})+(\frac{1}{11}-\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\frac{1}{14})+\cdots$.

Eine weitere Reihe, die den logarithmierten Goldenen Schnitt enthält, beinhaltet die mittleren Binomialkoeffizienten:

$2\log (\mathrm{\Phi }{)}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$.

Da gleichzeitig auch die Identität

$\frac{{\pi }^2}{18}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}$

für die nicht alternierende Variante gilt, wird hier eine „Verbindung“ zwischen der Kreiszahl $\pi$ und dem Goldenen Schnitt gesehen.

Eine schnell konvergente Reihe beinhaltet die Fibonacci-Folge:

$4-\mathrm{\Phi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{f_{2^n}}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}+\frac{1}{f_4}+\frac{1}{f_8}+\cdots$.

Rogers-Ramanujan Kettenbrüche

Es gilt

$\frac{e^{-\frac{2\pi }{5}}}{\sqrt{\mathrm{\Phi }\sqrt{5}}-\mathrm{\Phi }}=1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\cdots }}}$,

$\frac{e^{-\frac{\pi }{5}}}{\sqrt{(\mathrm{\Phi }-1)\sqrt{5}}-(\mathrm{\Phi }-1)}=1-\frac{e^{-\pi }}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1-\frac{e^{-3\pi }}{1+\cdots }}}$.

Dabei bezeichnet $e$ die Eulersche Zahl und $\pi$ die Kreiszahl. Setzt man für $|q|<1$

$R(q):=\frac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\frac{q}{1+\frac{q^2}{1+\frac{q^3}{1+\cdots }}}}$

so hat man allgemeiner für $\alpha ,\beta >0$ mit $\alpha \beta ={\pi }^2$

$(\mathrm{\Phi }+R\left(e^{-2\alpha }\right))(\mathrm{\Phi }+R\left(e^{-2\beta }\right))=\sqrt{5}\mathrm{\Phi }$,

sowie

$({\mathrm{\Phi }}^{-1}-R(-e^{-\alpha }))({\mathrm{\Phi }}^{-1}-R(-e^{-\beta }))=\sqrt{5}{\mathrm{\Phi }}^{-1}$.

Diese Entdeckungen gehen auf Srinivasa Ramanujan zurück. Die Funktion $R$ wird auch als Rogers-Ramanujan-Kettenbruch bezeichnet und hat Verbindungen zur Theorie der Modulformen.

Zusammenhang zur Chintschin-Levy-Konstante

Definiert man den nächstgelegenen ganzzahligen Kettenbruch (englisch: nearest integer continued fraction) für reelle Zahlen $-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$ via

$x=1+\frac{1}{c_1+\frac{1}{c_2+\cdots }}$

über die Rekursion

$c_1=\lfloor \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\rfloor ,x_1=\frac{1}{x}-c_2,c_2=\lfloor \frac{1}{x_1}+\frac{1}{2}\rfloor ,x_2=\frac{1}{x_1}-c_2,\dots$

so können die $c_j$ eventuell negative Zahlen sein. Für die Chintschin-Levy-Konstante gilt in diesem Falle

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|c_1\cdots c_n|}={\left(\frac{5\mathrm{\Phi }+3}{5\mathrm{\Phi }+2}\right)}^{\frac{\log (2)}{\log (\mathrm{\Phi })}}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{8(k-1)\mathrm{\Phi }+(2k-3{)}^2+4}{8(k-1)\mathrm{\Phi }+(2k-3{)}^2}\right)}^{\frac{\log (k)}{\log (\mathrm{\Phi })}}=\mathrm{5,4545172445}\dots$

für alle betroffenen reellen Zahlen bis auf eine Lebesgue-Nullmenge. Das bedeutet, dass alle Zahlen $-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}$, „bis auf 0 %“ in einem asymptotischen Sinne, diese Gesetzmäßigkeit erfüllen. Ist zudem $\frac{P_n}{Q_n}$ der (vollständig gekürzte) $n$-te Näherungsbruch dieser Konstruktion, so gilt wieder bis auf Nullmenge

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|Q_n|}=e^{\frac{{\pi }^2}{12\log (\mathrm{\Phi })}}=\mathrm{5,5243079702}\dots$.

Alternierende Bit-Mengen

Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig über das Binärsystem durch Nullen und Einsen ausdrücken. Innerhalb einer solchen Darstellung lassen sich nun sog. alternierende Bit-Mengen abzählen, die wie folgt erklärt sind:

• Von links nach rechts wechseln sich in den ausgewählten Positionen die Zahlen 1 und 0 ab.
• Die Zahl ganz zur Linken der ausgewählten Positionen ist 1.
• Die Zahl ganz zur Rechten der ausgewählten Positionen ist 0.

Man bezeichnet die Anzahl der alternierenden Bit-Mengen einer Zahl $n$ mit $c(n)$. Es ist zum Beispiel $c(26)=8$, denn im Binärsystem gilt $26=11010$, und daher sind die möglichen alternierenden Bit-Mengen (aus formalen Gründen inklusive der leeren Menge):

$\{\},\{5,3\},\{5,1\},\{4,3\},\{4,1\},\{2,1\},\{5,3,2,1\},\{4,3,2,1\}$.

Es bezieht sich z. B. $\{5,3,2,1\}$ auf $11010$. Es entspricht $c(n)$ gleichzeitig der Anzahl der Möglichkeiten, $n$ als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben, ohne dabei eine Potenz mehr als zweimal zu benutzen. Diese zahlentheoretische Funktion $c$ hat eine Verbindung zum Goldenen Schnitt, denn es konnte

$\mathrm{0,9588}<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\frac{c(n)}{n^{\frac{\log (\mathrm{\Phi })}{\log (2)}}}<\mathrm{1,1709}$

gezeigt werden. Dabei ist $lim\; sup$ der Limes superior. Ob der innere Wert sogar 1 beträgt, konnte bisher nicht gezeigt werden.

Verbindung zu speziellen Funktionen

Über die Formel

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{5}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{2}{5}\pi \sqrt{5}\sqrt{2+\mathrm{\Phi }}$

wird eine direkte Verbindung zur Gammafunktion hergestellt. Dabei ist wie üblich $\pi$ die Kreiszahl. Die Gammafunktion stellt eine Fortsetzung der Fakultätsfunktion auf komplexe Zahlen dar.

Für den Trilogarithmus ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_3$ gilt die Identität

${\mathrm{L}\mathrm{i}}_3(2-\mathrm{\Phi })=\frac{4}{5}\zeta (3)+\frac{{\pi }^2}{15}\log (2-\mathrm{\Phi })-\frac{1}{12}\log (2-\mathrm{\Phi }{)}^3$.

Dabei bezeichnet $\zeta (3)$ den Wert der Riemannschen Zeta-Funktion an der Stelle $3$, der auch unter Apéry-Konstante bekannt ist.