Imaginäre Einheit i

Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist, also ${\mathrm{i}}^2=-1$; vgl. Imaginärzahl

Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußebene

Wie die reellen Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen, basieren die imaginären Zahlen auf der imaginären Einheit $\mathrm{i}$, einer nichtreellen Zahl mit der Eigenschaft

${\mathrm{i}}^2=-1$.

Gelegentlich wird auch die Formulierung $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ verwendet. Hier muss man allerdings Vorsicht walten lassen: Eine naive, aber inadäquate Übertragung der Wurzelgesetze von reellen auf komplexe Zahlen führt mit dieser Bezeichnung zum Widerspruch

$-1={\mathrm{i}}^2=(\sqrt{-1}{)}^2=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1$.

Durch Anwendung der Definition der Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen lässt sich dieser Widerspruch vermeiden.

Verdeutlichung

siehe Gespräch:Was bedeutet iħ, das "i" zur reduzierten Planck-Konstante?

Reelle Zahlen kann man sich als Punkte auf einer waagerechten Zahlengeraden vorstellen.

Komplexe Zahlen erweitert man um eine senkrechte Achse:

• waagerecht: Realteil
• senkrecht: Imaginärteil

Dann ist:

• 1 ein Schritt nach rechts,
• i ein Schritt nach oben.

So wird aus der Zahlengeraden eine Ebene.

Nicht Zahlen werden „zu einer imaginären Zahl“, weil ihr Ergebnis -1 ist.

Bei reellen Zahlen kann ein Quadrat nie −1

• ist x positiv, dann ist x² positiv,
• ist x negativ, dann ist x² ebenfalls positiv,
• ist x = 0, dann ist x² = 0.

Also kann in den reellen Zahlen ein Quadrat nie −1 sein.

Man hat den Zahlenbereich erweitert und sagt: Wir führen ein neues Symbol i ein mit der Festlegung ${\mathrm{i}}^2=-1$.

Wenn man die Gleichung x² = -1 betrachtet, dann sind im komplexen Zahlenbereich die zwei Lösungen:

• x = i
• x = −i

Man braucht i, weil man sonst viele Gleichungen nicht lösen kann.

Die Gleichung x² = 4 hat die zwei Lösungen: x = 2 und x = −2.

Ebenso hat x² = -1 im komplexen Zahlenbereich zwei Lösungen: x = i und x = -i.

Der Grund ist derselbe: Beim Quadrieren verschwindet das Vorzeichen.

• i ist eine Zahl mit der Eigenschaft i² = −1
• −i ist die entgegengesetzte Zahl zu i
• weil beim Quadrieren das erste Minus von -i wegfällt, gilt auch (−i)² = −1

Ein möglicher Stolperstein im Verständnis ist die Verwechslung von

• „ist gleich −1” mit
• „hat als Quadrat −1”

Das ist nicht dasselbe.