Mandelbrot-Menge (Bildergalerien)

Galerie der Iterationen

Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Nullstellen einiger Polynome $z_{n} (c)$ der Iteration $z_{n + 1} = z_{n}^{2} + c$ mit $z_{0} = 0.$ Der Realteil $x$ von $c = x + i y$ erstreckt sich in den Bildern von −2,2 bis 1, der Imaginärteil $y$ von −1,4 bis 1,4.

Bild	Beschreibung
n = 1	n = 1 (1 reelle Nullstelle) Nach dem ersten Schritt gilt $z_{1} (c) = c .$ Das Bild ist also eine farbige Darstellung der komplexen Zahlen. Der Nullpunkt wird weiß dargestellt; je weiter ein Punkt vom Ursprung entfernt ist, desto dunkler erscheint er. Die Farbe eines Punktes gibt Auskunft über sein Argument, also über den Winkel, den er mit der positiv-reellen Achse (rot) hat. Die negativ-reelle Achse ist türkis gefärbt.
n = 2	n = 2 (2 reelle Nullstellen) Nach zwei Schritten gilt $z_{2} (c) = c^{2} + c = c \cdot (c + 1) .$ Dieser Ausdruck wird für $c = 0$ sowie für $c = - 1$ null. Die neu hinzugekommene linke Nullstelle liegt im Zentrum des Kopfes der Mandelbrot-Menge, während die alte auf der rechten Seite das Herz der Leib-Zykloiden ist.
n = 3	n = 3 (2 reelle und 2 konjugiert-komplexe Nullstellen) Die Anzahl der Nullstellen hat sich auf 4 verdoppelt – wie nach jedem Iterationsschritt. Die reelle Nullstelle links liegt im Herz des kleinen Antennen-Satelliten. Es treten die ersten komplexwertigen Nullstellen ober- und unterhalb der reellen Achse auf. Diese Nullstellen liegen im Zentrum des jeweiligen Ärmchens.
n = 4	n = 4 (4 reelle und 4 konjugiert-komplexe Nullstellen) Der Dutt ist entstanden: er gehört zur Nullstelle links neben der Kopf-Nullstelle bei $c = - 1.$ Die dargestellte Funktion $z_{4} (c) = ((c^{2} + c)^{2} + c)^{2} + c$ wird immer unübersichtlicher. Man kann jedoch einfach nachrechnen, dass alle Nullstellen von $z_{n}$ auch Nullstellen von $z_{k \cdot n}$ sind. Daher „erbt“ $z_{4}$ die Nullstellen von $z_{2} .$ Dieser Zusammenhang ist Ursache für das unten erläuterte periodische Verhalten der Knospen.
n = 5	n = 5 (4 reelle und 12 konjugiert-komplexe Nullstellen) Da 5 eine Primzahl ist, gibt es keine altbekannten Nullstellen – außer der Null, die von $z_{1}$ her bekannt ist. Da der Grad des Polynoms $z_{n} (c)$ gleich $2^{n - 1}$ ist, wächst $z_{n}$ mit wachsendem n immer schneller gegen Unendlich. Dadurch bildet sich der Rand zwischen der Mandelbrot-Menge und ihrem Äußeren immer klarer heraus.
n = 6	n = 6 (8 reelle und 24 konjugiert-komplexe Nullstellen) Hier kehren die Nullstellen von $z_{2}$ und $z_{3}$ wieder zurück.
n = 7	n = 7 (10 reelle und 54 konjugiert-komplexe Nullstellen) Eine Primzahl, daher leuchten keine alten Strukturen hell auf, sondern nur neu entstandene zwischen diesen.
n = 8	n = 8 (20 reelle und 108 konjugiert-komplexe Nullstellen) Bisher gibt es 2⁷ = 128 Nullstellen, wobei alle acht Nullstellen von $z_{4}$ hier wiederkehren.
n = 9	n = 9 (30 reelle und 226 konj.-kompl. Nullstellen) Inzwischen gibt es bereits 2⁸ = 256 Nullstellen, die auch innerhalb der Mandelbrot-Menge verteilt sind. Da 3 ein Teiler von 9 ist, sind die Armknospen und der kleine Antennensatellit wieder mit einer Nullstelle an der Reihe, und leuchten daher hell auf.
n = 10	n = 10 (56 reelle und 456 konj.-kompl. Nullstellen) Mit 2⁹ = 512 Nullstellen endet diese Bilderserie. Für größere n steigt die Anzahl der Nullstellen bzw. Knospen exponential weiter an. Fast alle reellen Nullstellen befinden sich auf der Antenne zwischen −2 und −1,4 (vgl. den oben erläuterten Bezug zur Chaostheorie).

Galerie einer Zoomfahrt

Die folgende Galerie zeigt Bilder einer Zoomfahrt in die Mandelbrot-Menge. Jedes Bild ist dabei die Vergrößerung eines kleinen Ausschnitts des vorangegangenen Bildes. Dazu wird in den 15 Bildern jeweils um einen Faktor 4 bis 8 immer tiefer in die Mandelbrot-Menge hineingezoomt. Das letzte Bild erreicht auf diese Weise einen Vergrößerungsfaktor von etwa 60 Milliarden. Die Sequenz gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente.^{[A 1]}

Bild	Beschreibung
Bild 1	Bild 1: Die Mandelbrot-Menge mit stufenlos eingefärbtem Außenraum.
Bild 2	Bild 2: Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, „Tal der Seepferdchen“ genannt.
Bild 3	Bild 3: Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“.
Bild 4	Bild 4: „Seepferdchen“. Der „Körper“ wird von 25 „Speichen“ gebildet, von denen sich zwei Zwölfergruppen nach Art einer Metamorphose auf jeweils einen der beiden „Finger“ an der „oberen Hand“ der Mandelbrot-Menge zurückführen lassen. Die Zahl der „Speichen“ nimmt daher von einem „Seepferdchen“ zum nächsten um zwei zu. Die „Nabe“ wird von einem Misiurewicz-Punkt gebildet (s. u.). Zwischen „Oberkörper“ und „Schwanz“ ist ein deformierter Satellit erkennbar.
Bild 5	Bild 5: Der „Seepferdchenschwanz“ endet ebenfalls in einem Misiurewicz-Punkt.
Bild 6	Bild 6: Teil des „Schwanzes“. Der einzige Pfad, der sich durch den gesamten „Schwanz“ windet, und damit gewährleistet, dass $𝕄$ einfach zusammenhängend ist, führt im Zickzack von einer „Schwanzseite“ zur anderen und passiert dabei die „Naben“ der großen 25-spiraligen Gebilde.
Bild 7	Bild 7: Satellit. Die beiden „Seepferdchenschwänze“ bilden den Auftakt für eine Folge von konzentrischen Kränzen mit dem Satelliten im Zentrum.
Bild 8	Bild 8: Jeder dieser Kränze besteht aus gleichartigen Strukturelementen, deren Anzahl pro Kranz mit Potenzen von 2 wächst, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten. Der oben erwähnte Pfad durch den „Seepferdchenschwanz“ passiert den Satelliten über die Kerbe der Kardioide und die Spitze der „Antenne“ auf dem „Kopf“.
Bild 9	Bild 9: „Antenne“ des Satelliten. Auf ihr sind mehrere Satelliten 2. Ordnung erkennbar.
Bild 10	Bild 10: „Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Bild 2.
Bild 11	Bild 11: Doppelspiralen und „Seepferdchen“, die jedoch im Unterschied zu Bild 3 nach außen hin mit seepferdchenschwanzartigen Fortsätzen bestückt sind. Dieses Phänomen demonstriert die für Satelliten $n$ -ter Ordnung typischen Verkettungen von $n + 1$ Strukturelementen für den Fall $n = 1.$
Bild 12	Bild 12: Doppelspiralen mit Satelliten 2. Ordnung. Sie lassen sich als Metamorphose der „Antenne“ interpretieren.
Bild 13	Bild 13: Im Bereich der äußeren Fortsätze sind stets inselartige Strukturen eingestreut, die Julia-Mengen J_c ähneln. Die im Bild größte ist im Zentrum des „Doppelhakens“ rechts gerade eben erkennbar.
Bild 14	Bild 14: Teil des „Doppelhakens“.
Bild 15	Bild 15: Diese Inseln scheinen auf den ersten Blick nach Art von Cantor-Mengen wiederum aus unendlich vielen unzusammenhängenden Teilstücken zu bestehen, wie es für die zugehörigen J_c tatsächlich der Fall ist, sie sind jedoch hier über filigrane Strukturen miteinander verbunden. Diese Strukturen gehen von einem Satelliten im Zentrum aus, der bei dieser Vergrößerung noch nicht sichtbar ist, und zwar derart, dass das Ganze ein einfach zusammenhängendes Gebilde ergibt. Der zum entsprechenden J_c gehörige $c$ -Wert ist nicht der des Bildzentrums, sondern hat relativ zur Hauptkardioide die gleiche Position wie das Bildzentrum zum Satelliten, der in Bild 8 dargestellt ist.